かけ算の性質とパターン

ここにはいくつの風船があるのか 知りたいと思います。 単純にこれを全部 数えてもいいのですが， しかしここでは，他の方法で 考えてみたいと思います。 特にここでは素敵な配列， きちんと並んだ格子の パターンがあるからです。 そしてこういうものをいつも単純に 1, 2, 3, と数えて いかない理由は， 行の数と列の数の かけ算を使うことができるからです。 というのも，あなたはいつかものの数を 1 つずつ数えることが できない場合にきっと出会うでしょう。 しかし，その時でも行の数と 列の数だけを数えることは できる場合があります。 例としてここには， 1, 2, 3, 4 行があります。 そして 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 列があります。 そして，この 4 というものを 物の配列が 4 行あるものと 見ることもできます。 ちょっと書いておきましょう。 4 行があります。 そして，7 列があります。 多分あなたは，全部の物の数が， 行かける列の数で計算できることを， 覚えているかもしれません。 4 行かける 7 列です。 さて，どうしてこれが 上手くいくのでしょうか? どうしてこれが実際の物の 全部の数になるのでしょうか? そうですね。これは，4 行あると見る ことができます。(注:音声誤りあり) つまり，ある物のグループが 4 個あります。 そしてそれぞれの行には 何個の物がありますが? それは列の数ですね。 これらの 4 行のそれぞれには 7 個のものがあります。 つまり，7 個でできた グループが 4 個あります。 またはこれを他の方向から 見てもいいです。 これをそれぞれの列が グループになっていると見ると， 7 個のグループがあります。 それぞれのグループには 何個の物があるかというと， それは行の数のこと ですから 4 です。 そして私たちはもう これらの両方の量が まったく同じ数になることは わかっています。 物の数はここにあるもの (だけ) だからです。 するとこれら 2 つの式は等価で， 4 かける 7 は 7 かける 4 に等しいです。 そしてこれらのどちらについても 計算する方法はいくつもあります。 4 ずつ飛ばして数える 手もあります。 4, 8, 12, 16, 20, 24, 28 と言えます。 ここには7 個ありますか? 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 個あります。 すると 28 になります。 28 個の物がここに あると計算できました。 同じように，7 ずつ数えてもいいです。 7, 14, 21，28 と， 毎回 7 をたしていくことができます。 こちらの方法でも 28 になりました。 同じ色で書いておきましょう。 こちらの方法でも 28 になりました。 しかし，もしあなたがこうすることを 知らない場合とか， または，この方法を使いたくない時， あるいはこの方法ができない場合， または，4 かける 7 をまだ覚えて いない場合があるでしょう。 しかしあなたはできるだけ早く 九九の表は覚えておくべきです。 その場合，これを何かもっと 簡単に計算できるものや， またはあなたが覚えているものに 分解できないでしょうか? 7 列というのは，5 列たす 2 列と 同じだと気がつくかもしれません。 すると，7 列は，ここの 5 列と， あと 2 列，…それにたす 2 列です。 すると，これは 4 かける 7 というのは 4 かける 5 … 4 かける 7 というのは， 4 かける，(5 たす 2) と同じ だと言っているのです。 5 たす 2 です。 ここで私は 7 を 5 たす 2 に 置きかえただけです。 7 が 5 たす 2 で 置きかえられました。 さて，どうしてこんなことを するのでしょうか? そうですね。これを 2 つの配列に 分解することができました。 つまり，4 行 2 列の 配列がここにあって， そして 4 行 5 列の配列がここにあります。 ではここにある黄色の部分には いくつの物がありますか? そうですね。これは 4 かける 5 個の物です。 これは 4 かける 5 の物が 黄色の格子，または黄色の 配列に並んでいます。 そしてこちらのオレンジっぽいところ にはいくつの物がありますか? これは 4 かける 2 です。 すると，4 かける 5 と 4 かける 2 の和をとると， どうなるか? そうですね。これは 4 かける 7 になります。 4 かける，5 たす 2 になります。 これらの和をとりましょう。 かけ算を先に計算しますので カッコを書いて強調しておきます。 この式は，この上の式と 同じものです。 もしかしたらあなたは，下の式で おや，4 かける 5 ならわかる。 4 かける 5 は 20 だ。 そして，4 かける 2 は 8 だ。 それで 20 たす 8 は 28 だとなります。 ここであなたはこう言うかもしれません。 OK，わかりました。 4 かける 7 は 28 に等しい。 そしてそれは 4 かける (5 たす 2） に等しい。 そして，それが 4 かける 5 たす 4 かける 2 に等しいのもわかると。 実際，これは分配法則と 言われているものです。 これは 4 かける， （5 たす 2） が， 4 かける 5 たす 4 かける 2 に 等しいことを言います。 しかし，最初の方法でも これはできたのです。 それでもできるのに，どうしてわざわざ， このかけ算の問題を解くのに 分配法則を使って みせたのでしょうか? そうですね。 その疑問に答えるためには， もう少し難しい問題を やってみたいと思います。 たとえば，6 かける 36 を 計算したいと思います。 ちょっとこのカッコは書く 必要はなかったです。 6 かける 36 を計算したいと思います。 これはどんなふうにできますか? そうですね。36 を分解して 2 つの積にしましょう。 または，6 との積がより簡単に 求まるような 2 つの数に 分解したいと思います。 たとえば 36 というのは， 30 たす 6 と同じです。 ですからこれは 6 かける， 30 たす 6 と同じです。 これは何でしょうか? そうですね。さっき見た通りです。 6 かけるこれら 2 つの ものを先にたすことは， これは 6 かける 30 たす 6 かける 6 と同じことになります。 注意して下さい。 6 を分配したのです。 6 かける 30 たす， 6 かける 6 です。 では，どうしてこれが 役に立つのでしょうか? そもそもどうしてこれが役に立つ のか? (なぜこんなことをするのか) ちょっとカッコを書いて，かけ算を 先にすることを強調しておきます。 一般に，かけ算とたし算が このように並んでいるのを見たら， または割り算がある場合でも， まずはかけ算と割り算を 先に計算してから， たし算とひき算をします。 では，6 かける 30 は何ですか? これは簡単にできます。 6 かける 3 は 18 に等しい と知っているので， 6 かける 30 は 180 です。 6 かける 6 は 36 に等しい と知っているでしょう。 ですからこれは 180 たす 36 になります。 それは何かと計算してみましょう。 0 たす 6 は 6 で， 8 たす 3 は 11 で， 1 たす 1 は 2 です。 これで 6 かける 36 が 216 に等しいとわかりました。 ここでは分配法則を 使って計算しました。 これは実はあなたがどんな場合でも 大きな数を計算する ときに使う方法です。 ここで見たよりももっと 大きな数の場合です。 分配法則を使って 数を分解することで， 大きな大きな数の計算が できるとわかると嬉しいです。 そしてあなたの数学の 学びが今後進んでいくと， これがさらに有用だと わかる時が来るでしょう。