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演算の順序の入門

演算の順序とは,複数の演算を持つ問題を解く時に一貫性のある結果を保証するための重要な数学の概念です。PEMDAS (括弧(Parentheses),指数(Exponents),乗算(Multiplication)と除算(Division),加算(Addition)と減算(Subtraction)) の順序に従うことで,生徒たちは式を正確に評価し,間違いを避けることができます。数学で成功するためには,このスキルを習得することが不可欠です。 Sal Khan により作成されました。

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何ヶ月かに 1 度, ソーシャルメディアなどで こんなふうな,簡単に見えますが, 人によって解釈の違う式が 話題になることがあります。 まずは,ビデオを停めて この,3 たす 2 かける 5 が何に 等しいかを考えてみましょう。 よし,では一緒に解いてみましょう。 人によっては,これを左から右に 計算していくものだと言うでしょう。 その時には,まず 3 たす 2 を 計算します。 この部分を最初に計算すると, 5 に等しいです。 それに 5 をかけます。 すると,これは 25 に等しくなります。 また他の人はそれは意味が ないというでしょう。 私たちはある種の演算を先に 優先すべきことを知っています。 例えばかけ算はたし算より 先に計算します。 そのルールに従うと 2 かける 5 が先です。 するとここは 10 になります。 そして 3 たす 10 で これはもちろん 13 に等しいです。 どちらが正しいでしょうか? 実は 2 つめの方法が正しいと 言われる方法です。 なぜなら,演算子の優先順位と いうものが決められているからです。 演算子の優先順位とは 数学者たちが決めたもので, このような式の解釈を 1 つにする方法です。 つまり宇宙の真理とかではなくて, こういうふうに解釈すると 皆で決めたものです。 カッコ内が優先される などがあります。 例えば本当に 3 たす 2 を 先に計算したいときには この回りにカッコを置くべきです。 それで最初に計算することがわかります。 カッコの次はべき乗です。 べき乗はかけ算の繰り返しと 見ることもできます。 そして掛け算と割り算をして それからたし算とひき算になります。 こういうふうに順番を ちゃんと決めておかないと, ここで書いたように値が 異なってしまいます。 カッコは単に式を書いた人が これを最初にすると示しています。 これを最初にする。カッコを 最初にすると示しています。 考えてみると,べき乗とは かけ算の繰り返しで かけ算はたし算の 繰り返しになっています。 ですから,最も繰り返しの多いものから 計算していくというふうな 規則になっています。 そして次はかけ算,それからたし算 という風に規則的に決められています。 かけ算と割り算は同じ優先順位で たし算とひき算も同じ優先順位です。 同じ優先順位しかない場合には 左から右へと計算します。 では,演算子の優先順位がわかったので もう少し難しい式にチャレンジしましょう。 難しいというのはもう少し 複雑ということです。 2 かける 10, ひく 8 割る 4 たす 1 を考えてみます。 ではビデオを停めて 自分でやってみましょう。 演算子の優先順位は もうわかっていますね。 では,一緒に解きましょう。 ここにはカッコはないですね。 べき乗もありません。 しかしかけ算と割り算があります。 ここにかけ算と割り算があるので,… ここと,… これは 2 かける 10 です。 そして 8 割る 4 の割り算です。 ですからこれらを先に計算します。 2 かける 10 は 20 に等しいです。 そして 8 割る 4 はもちろん 2 です。 そして 20 ひく 2 たす 1 です。 これは左から右へと計算します。 たし算とひき算の場合は 左から右です。 20-2 は 18 で,それに1 を たせば 19 に等しいです。 できました。 しかしもし,4 と 1 を先にたしたかった 場合にはどうすればいいでしょうか? ひとつのやり方はこれをかっこで 囲んで優先させるという方法です。 または,割り算を書き 換えることもできます。 例えば,はっきりさせるためには 分数で書くことができます。 4 たす 1 を優先したければ 8 割る 4 たす 1 を 8 を分子に,4 たす 1 を分母にします。 ここにあるものとここに あるものは違うものです。 なぜならここは 8 割る 4 が 先に計算され, それから 1 をたします。 しかし,こちらは,4 たす 1 を 先に計算して それで 8 を割ります。