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正と負の傾き

傾きが正または負であるという意味は何かについて分析します。(ネタばれ: それは直線の方向に関係します!).

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「傾き」とは何かですが,それは まず垂直方向の変化量, これを私はギリシャ文字の デルタ(Δ), この小さな 3 角形が ギリシャ文字のデルタで, 変化量を意味します。 この垂直方向の変化量,割る, 水平方向の変化量です。 これが「傾き」の標準の定義です。 これは何かの坂がどれだけ急かを 測る時に理にかなった定義です。 ただ,こう,これが傾きの良い 定義だと私が言うだけでは 不親切だと思うので, もう少し詳しく話をしましょう。 たとえば,この xy 平面を 見てみましょう。 垂直方向の変化量は, 変数 y の変化量で, それ割る水平方向の変化量は, 変数 x の変化量になります。 では,どうしてこれが「傾き」の 良い定義になるのでしょうか? ではまず,例として 1 の傾きの 直線を描いてみます。 1 の傾きの直線は... どこでも よいですが,ここから始めましょう。 さっきの定義だと 1 の傾きというのは, x が 1 増えると,y も 1 増える。 x が 1 増えると,y も 1 増える というものです。 ですから傾き 1 の直線は こんな感じになるはずです。 こんな感じ。 注意して下さい。 x の変化量が何であっても, たとえばここでは,x の 変化量が +2 とすると, y の変化量もそれと 同じになるはずです。 デルタ y は +2 になるはずです。 そうすれば y の変化量 割る x の変化量は 2 割る 2 で 1 になります。 ですからこの直線の傾きは 1 に等しいです。 では,傾きが 2 の直線は どうでしょうか? 2 の傾きの場合はもっと 急になるはずです。 それを描いてみましょう。 同じ点から... いや,やっぱり違う点から始めます。 さて,もしこの点から始めると, 2 の傾きの直線は… それは x 方向に 1 増えるたびに y 方向には 2 増えます。 ですからこんな感じに なるはずです。はい。 ここで見えると思いますが, x の変化量,デルタ x は 1 で, そして y の変化量, デルタ y は 2 です。 y の変化量割る x の変化量は 2 割る 1 ですから その傾きは 2 です。 これで,なぜこの傾きの 定義がいいのか 見えてきたらいいのでしょうが, どうでしょうか? 傾きの値が大きい方が, 坂がより急に, つまり同じ水平方向の 移動に対して, 傾きの大きい方が垂直方向の 値がより速く増えます。 つまりこの定義ならどれだけ 急かがわかるということです。 では,負の傾きの 場合はどうでしょうか? その意味を考えてみましょう。 たとえば,y 方向の変化量割る x 方向の変化量が -1 だとしましょう。 傾きが -1 の場合。 この場合,もし x 方向に 1 動いた場合には, 傾きが -1 になるためには, y 方向の変化量は -1 に 等しいはずです。 すると負の傾きを持つ直線は, こんな感じになるはずです。 こんな感じ。 -1 の傾きを持つ直線は, こんな感じになるはずです。 注意しましょう。 x がある量増えると, ここではデルタ x は 1 ですが, y は同じ大きさの量ですが, 増えるのではなく減ります。 y が 1 減る,または -1 増えるとも言えるでしょう。 デルタ y が -1。 これは下り坂の直線だと 考えることができます。 すると y の変化量割る x の変化量は, -1 割る 1 で,-1 に等しくなります。 するとこの直線の傾きは -1 です。 さて,もし -2 の傾きの直線ならば, y の値は -1 の傾きの時よりも もっと速く減るはずです。 -2 の傾きの直線は, こんな感じになるでしょう。 x が 1 増えると,y は 2 減るので, こんな感じになるでしょう。 こんな感じです。 注意しましょう。この時 x が ある量増えれば, y はその量の 2 倍減ります。 y は x が増えた量の 2 倍の量減ります。 するとここにあるこれが, -2 の傾きの直線です。 これで「傾き」というのが 何を表すのか, 傾きを表す数がどんなものか, 傾きというのが,ある直線が どれだけ急かを どう可視化できるか, などがわかると嬉しいです。 高い(「x の」は誤り)正の傾きの 時には,x が増加すると, y もとても速く増加します。 もし負の傾きがあれば, x が増加する時には, y は実は減少します。 そして傾きの値が大きければ, 同じ x の増加量でも, その坂は急になり, そしてより大きな 負の傾きのものは, 同じ x の増加量でも より y が減少します。 この傾きの定義の良いところは, 上りも下りも表せるし, 坂がどれだけ急かの 比較もできます。 ただ,垂直軸の傾きだけは 表せないことに 気がついた人も いるかもしれません。 これについてはまた いつかお話しましょう。