座標平面入門

これはルネ・デカルトの絵です。 彼は数学と哲学の 両方の偉人の 1 人です。 過去の他の偉人との 共通点を思い出すと， 偉大な哲学者はしばしば 偉大な数学者であり，その逆もそうでした。 また，彼はガリレオと同時期の人でした。 デカルトは 32 歳彼（ガリレオ）よりも 若かったのですが， ガリレオの死後すぐに亡くなっています。 ガリレオよりも若くして亡くなった人です。 ガリレオは 70 歳を越えて生きましたが， デカルトは 54 歳の若さでなくなりました。 多分デカルトといえばこの言葉が 一番有名だと思います。 哲学的な引用です。 「我思う，故に我あり。(Cogito, ergo sum)」 しかし私はこちらも好きです。 これは代数とは関係ありません。 そして，ほとんど知られていないのではないでしょうか。 でも私はこれが好きです。 なぜならこれはとても実用的で， この偉大な天才，哲学と数学の巨人が， 実は普通の人でもあったことに 気付かせてくれるからです。 「挑戦し続けよう。ただ挑戦し続けよう。 私は思いつく限りのあらゆる間違いをしてきました。 でも私はただ挑戦し続けたのです。」 私はこれは良い人生のアドバイスだと思います。 間違いや失敗の大切さも言っています。 正しいことというのは「過去」に 正しいとされたことにすぎず， 間違いと挑戦なしには新しいことも 成長もありません。 さて，彼は哲学と数学の分野で いろいろなことをしました。 しかし，私が代数の基礎を作った人として 彼を含める理由というのは， 彼が代数と幾何学の間の強い関係を 発見した第一人者だからです。 たとえばこの左側に代数の世界があるとしましょう。 もうこれまで少しやってきました。 記号を扱う方程式というものがあり， それらの記号は値をとることができます。 たとえば y = 2x ひく 1 があるとします。 これは x と y の具体的な数というよりも その間の「関係」を与えています。 ここで表を作ってみましょう。 x の値を何か １ つ選べば，それに 対応する y の値がわかります。 私は x のランダムな値を選ぶことができて， それから y が何かを求めます。 ランダムといってもここでは計算が複雑に ならないように，簡単な値を選びます。 たとえば，x が -2 の時， y は 2 かける -2 ひく 1 になります。 そして 2 かける ‐2 は -4 で， それひく 1 だから -5 です。 もし，x が -1 ならば， y は 2 かける -1 ひく 1 ， それは -2 ひく 1 ですから -3 です。 もし，x が 0 ならば， y は 2 かける 0 ひく 1 です。 2 かける 0 は 0 で， それから 1 をひけば -1 です。 あといくつか計算してみましょう。 x が 1 の時… 実はここではどんな値を選んでもかまいません。 x がマイナスルート 2 だったらどうでしょうか? あるいは，x がマイナス 2 分の 5 とか， 7 分の 6 だったらどうでしょうか? しかし，私がこれらの数にしたのは 単に計算しやすいからです。 今回は計算の話ではないですから。 x が 1 の時には，y は 2 かける 1 ひく 1 になので， 2 ひく 1 で 1 になります。 もう １ つやってみましょう。 もう 1 個をまだ使っていない色で書いてみます。 この紫色にします。 x が 2 ならば，y は 2 かける 2， それひく 1 です。 するとこれは 4 ひく 1 で，それは 3 に等しいです。いいでしょう。 私はこの関係の特定の値を サンプルしただけです。 この式は変数 y と x の間の 一般的な関係を表しています。 そして私はそこからサンプルして 少し具体的な値を出してみました。 これらの x の値のそれぞれについて， 対応する y の値は何かをいくつか 具体例としてサンプルしました。 ここでデカルトが気がついたのは， これを可視化できるということです。 これらのそれぞれの点を 可視化することができます。 しかしそれはまた，一般にこの関係を 可視化するということでもあります。 彼は，このとても抽象的な世界，記号代数と， 幾何学，つまり形，大きさ，角度， との間の橋渡しをしました。 これはちょっと意味が分からないかもしれません。 つまりこの式には形があるということです。 突拍子もない考えかもしれません。 こちらには，幾何学の世界があります。 歴史上にはたくさんの人々がいるので， これに気が付いたけれども 忘れ去られた人もいると思います。 しかしデカルト以前には， 一般に幾何学というのは ユークリッド幾何学と見られていました。 それは一般的な中学の 2 年や 3 年， または高校 1 年生の授業 で習う幾何学のことです。 そして幾何学というのは， 3 角形の相似の関係とか， その角度の間の関係， 円やその半径との間の関係， または円に内接する 3 角形， などなどを考える学問です。 これは幾何学のプレイリストをご覧ください。 しかしデカルトは言いました。 私はこれら 3 角形や円を考えるように， この関係についても可視化して表現できる。 彼が言うには，もし 1 枚の紙を見るのなら， もし 2 次元の平面について考えるのならば， 1 枚の紙は 2 次元の平面の 一部と考えることもできる。 私たちがこれを 2 次元と呼ぶのは， そこには 2 つの方向があるからです。 まず上下方向があります。 ちょっとこれは青で描きましょうか。 さっき幾何学の世界を青色で描いたので， 可視化の世界も同じ青色にします。 すると上下の方向があって， それから左右の方向があります。 これが 2 次元平面と呼ぶ理由です。 もし 3 次元を扱うのであれば， さらにもう 1 つ奥行き方向があります。 そしてスクリーンは 2 次元なので， スクリーン上で 2 次元を扱うのは簡単です。 それから彼は，ここには 2 個の変数がある。 そしてその間には方程式の関係がある。 それなら，これらの変数を これらの次元に結びつけても いいのではないか。と，考えました。 これは慣習ですが，変数 y を 垂直軸に書きます。 それは実は従属変数で x に依存します。 そして独立変数を 水平軸上に置きましょう。 それはここで y がどうなるかを見るために ランダムに選んだ値でした。 実は x と y を使うという 慣習もデカルトからです。 後になると z もでてきます。 代数では未知数や操作している変数は だいたい x, y, z を使います。 しかし彼は，これらの次元， まあ，具体的には軸なのですが， それに数をふろうと言いました。 そうですね。これを x 方向と言いましょう。 そしてここを -3 としましょう。 ここを -2 に，ここを -1 にします。 ここを 0 にします。 今私は，x 方向，左右方向だけ 数をふっています。 ここは +1，ここは +2， ここは +3 です。 そして y 方向も同じようにできます。 ここを -5 にしましょう。 -4, -3, - ・・・，うーん，ちょっとこれでは… もう少し綺麗に描きましょう。 もっときれいに描いてみます。 これを消して，もっと下まで延ばして， あまりごちゃごちゃしないように -5 まで広げます。 それで数をふりましょう。 ここは 1，ここは 2，ここは 3, そしてここは -1, -ここは 2… これも単なる慣習です。 もしかしたら軸の名前は逆に なっていたかもしれません。 こちら（垂直軸）が x，こちら （水平軸）が y だったかもしれませんし， こちらが正方向で，こちらが 負だったかもしれません。 デカルトがこう始めて，後の人々は それに習って慣習になっただけです。 実際，コンピュータのスクリーンは y 軸下が正方向ですし， 私も地下資源関係の人と仕事をしたときには 地下にしか興味がなかったので 下方向が正の座標を使いました。 それで，-3, -4, -5 です。 そして彼はこう言いました: これらの値の組は 平面上の 2 次元の点と 関係づけることができると， x 座標をとって，するとここにある x の値をとって， そして OK それは -2 だと，それは ここにある左右の方向の値です。 ここは負なので左に行きます。 それから垂直方向の -5 を関係づけます。 すると，y の値は -5 で， 左に 2，下に 5 行くと， ここにあるこの点につきます。 そして彼が言うには，これらの 2 個の値，-2 と -5 というのは， この 2 次元の平面のこの点と 関係づけることができる。 それをこの点が 2 個の「座標」を持っていて， この点をどうやってみつけるかがわかる。 (-2, -5) です。 そしてこれらの座標はデカルトが 考えたので，デカルト座標， またはカーテシアン座標と言います。 カーテシアンはデカルトを ラテン語で言った名前です。 彼は突然この座標平面上で点と 値の組を関係づけました。 今はあたりまえかもしれませんが，数の組と 場所を一緒にするというのは革命でした。 古代の都市（例： 平安京，京都市街など）の 道路区画などでは似た考えがありましたが， 私は何もない平面上でこれを考えたというのが デカルトのすごいところだと思います。 ではもう 1 つ，ここの組でもやってみましょう。 x が -1 で，y が -3 です。 x が -1 で，y が -3。 それはここにあるこの点です。 慣習では，座標を並べる時には， まず，x 座標を書き， それから y 座標を書きます。 -1, -3 それはこの点です。 まあ逆もあったかもしれませんが，皆が そういうふうに書くように決めたのです。 今でも区切りにカンマを使わない国もあります。 そして x が 0 で y が -1， x が 0 いうのは，右左どちらにも 行かないという意味です。 y が -1 というのは，1 下に行くという意味です。 するとこの点です。0, -1 はここです。 こうやって続けていくことができます。 x が 1, y が 1， x が 1 で, y が 1 はここです。 そして，x が 2, y が 3， それは x が 2 で, y が 3。 これは同じ紫で書きましょう。 x が 2 の時，y は 3 です。2 カンマ 3 です。 ここにあるオレンジの点は 1 カンマ 1 です。 まあ，これ自身素敵な考えです。 ここでは可能な x をいくつか サンプルしただけですが 彼が本当に理解したことは，もしここで x の値をずっとサンプルし続けていくと 1 本の直線がでてくるということです。 もしあなたが可能な x を全部とると， こんなふうな直線が出てきます。 こんな感じです。直線とは点の集合です。 この関係では，もしどんな x をとっても， それから y を求めれば， それはこの直線上の点を表します。 もう 1 つのの考えとしては， この直線上のどんな点でも， ここにある方程式の解を 表すということです。 たとえば，この点は，だいたい x が 1.5 で，y が 2 位でしょう。 1.5 カンマ 2 と書きましょう。 それはこの方程式の解の 1 つです。 x が 1.5 の時，2 かける 1.5 は 3 でそれひく 1 は 2 です。 それはここです。 つまり突然，彼はここの間の ギャップを埋めたのです。 または，代数と幾何学の間の 関係を埋めたのです。 これでこのここにある方程式を 満たす x と y の組 全てを可視化することができます。 ここには無限の点があります が，私はこれはすごいと思います。 普通は無限は描けないと 考えるのではないでしょうか。 これは連続性．．．いや，それは またいつかにしましょう。 つまり彼はこの間に橋をかけた人なのです。 そのために，これらの点を示すために使われる 座標のことをデカルト座標と言うのです。 今後も見ていきますが， 私たちが習う最初のタイプの 方程式はこの形の方程式です。 そして伝統的な代数のカリキュラムでは， これらの方程式は「線形方程式」とか 「1 次方程式」と言います。 イコールの記号（と変数）が入っているものを 方程式と呼ぶと習いましたが， しかしこれの何が「線形」なのでしょうか? 何がこれを「線の形」にするのでしょうか? なぜこれが線形というのかを理解するには， あなたはルネ・デカルトがした， ここの間を埋める必要があります。 なぜなら，これをユークリッド平面上の デカルト座標でプロットすると， 1 本の直線になるからです。 今後あなたは直線ではないタイプの 方程式にも出会うでしょう。 曲線とか，もっとファンキーなものにも 出会うことになるでしょう。 方程式には形がある。 代数と幾何学を結び付けた デカルトを私はすごい人だと思います。