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グラフから関数を見分ける

与えられた点の集合がある関数を表しているかどうかを調べます。ある集合が関数を表すためには,最大でもそれぞれの値域の要素が 1 つの対応する変域を持つ必要があります。 Sal Khanテクノロジーと教育のためのマネタリー財団 により作成されました。

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このグラフ上の点が関数を表して いるかどうかを求めましょう。 さて,おさらいですが,関数とは, 2 個の集合の要素間の ある関係のことを言います。 その 2 個の集合は定義域と 値域と言います。 もし私が定義域の要素のどれか, ここでは x と呼ぶことにしますが, この x をとって,関数に入れます。 すると関数はそれに関係している 値域の要素はどれかを言います。 するとこれは何かの値を返します。 これは関数です, では関数ではないものは何かというと, そうですね。y だけでなくて z を指すこともあり, もしかしたら e とか何か他のものを 返すかもしれません。 これは関数にはなりません。 するとここにあるこういうものは 関数ではないです。 なぜなら,入力に x を入れると, 値域のどれが出力になるか はっきりしないからです。 これが関数になるためには, 関数に入力する値が何であっても, 何が出力になるかが完全に はっきりする必要があります。 さて,これまでのことから, グラフで定義された 関数について考えてみましょう。 すると定義域の有効な値は, この関数が定義されている x の値です。 たとえばこの x が -1 の点は 定義があります。 この時にはこちらの軸が x 軸で, こちらが y 軸と (仮定) しましょう。 これが言うことは,x が -1 に等しい時, 出力,または,y は 3 に 等しくなるということです。 この写像を書く 1 つの方法は, x を関数の入力,...いや, -1 を入力として,それを この関数に入れます。 関数の小さな f の箱をここに描きます。 すると,数の 3 が出てくる。 数 3 が出てくるということです。 これが x で,これが y です。 これは良さそうですね。 -1 が入力の時,3 が出力なのは とても明らかです。 では,次の点はどうでしょうか? 2 をこの関数に入力する, x が 2 の時,y は -2 です。 もう一度, x が 2 の時を 考えて関数に入れる。 入力 2 は定義域の要素で,(点が 打たれているので) 定義があります。 入力 1 についての定義はありません。 この関数は入力が 1 の時には 定義されていません。 つまり 1 は定義域には 入っていません。 2 は定義域に入っていて, x が 2 の時, y が -2 に等しくなると言っています。 つまり -2 へ写像されます。 ここまでは問題はなさそうです。 さて,ここを見てみましょう。 この関数は x が 3 に等しい時も 定義されていることがわかります。 この関数は入力 3 に 関係づけるもの, または写像するものは 2 に等しいです。 つまり y は2 に等しいです。 これはとても素直だと思います。 そして x が 4 に等しい時もあります。 ここまで,このグラフは関数を定義して いるかもしれないと思ってみてきました。 x が 4 のところでも 定義があるようです。 しかしここで興味深いのは, 4 が 2 個の異なるものに, 関係づけられていることです。 ここまでは私たちはこれを関数かも しれないと考えてきましたが, ちょっと,わからなくなりました。 4 は 5 に関係づけられていますか? それとも,それは -1 に 関係づけられていますか? ここにあるものは,実は関係です。 定義域の 1 個の要素が,値域の 複数の要素に関係づけられています。 しかしもしそういうものがあれば, それは関数ではありません。 もう一度,これがあるので,この グラフは関数を表していません。 4 が入力されると,何が出力に なるのかはっきりしないからです。 5 が出力ですか? それとも -1 が出力でしょうか? 時々これは垂直線の テストと呼ばれるもので ある関係が関数かどうかを テストします。 その関係がこのようにグラフで 定義されている時には x が 4 の時,垂直線を引いて, 関数に 2 箇所以上の場所で 交差しますか? と考えます。 2 箇所だけではなく,もっと多くの 場所で交差するかもしれません。 入力に対して 2 個以上の 出力があります。 そしてもし 1 個の入力に対して 2 個以上の出力がある場合には, それは関数ではありません。 その場合には (単なる) 関係です。 関数とは関係の特別な場合です。 または,関数とは,良い振舞いの 関係であると考えても良いでしょう。