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等式が関数であるかどうかを判断する

ある等式をみて, y が x の関数であるかどうかを求めます。 Sal Khan により作成されました。

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関係 x = y の 2 乗たす 3 がある時, この y を x の数学的な関数として 表すことはできますか? ここでは,x は y の関数として 表わされています。 つまり,x は y の関数で, それイコール y^2+3 で あるとも言えます。 では,ここで x と y の関係を逆にして y が x の関数で 表わせるかを考えましょう。 1 つの考え方としては, この方程式を y について 解くことです。 やってみましょう。 x=y^2+3 があり, 両辺から 3 をひくと x-3=y^2 です。 さて,次のステップは ちょっと難しいです。 x-3=y^2 ですから,y が 等しいのは何かというと,… ちょっと両辺を入れかえましょう。 両辺の平方根を取ると, y =,右辺は x-3 の正の平方根, または y は負の平方根の x-3 に等しい可能性があります。 両辺を 2 乗してみて下さい。 こちらからは y^2 = x-3 になり, こちらで両辺を 2 乗すると -1 の 2 乗はプラス 1 なので ここが 1 になって y の 2 乗は x-3 に 等しくなります。 つまり任意の x に対して 2 個の y の値が存在するということです。 どういう感じかお見せしましょう。 このグラフを描いてどんな 感じか見てみましょう。 こちらを y 軸とします。 これは関係と呼ぶものですね。 これが x 軸です。 こちらは y が x-3 の正の平方根 に等しいもののグラフです。 するとこんなものです。 ここが x が 3 に等しい点で, グラフはこんな感じです。 y が正の平方根の x-3 に等しい場合。 こちらは y が負の平方根の x-3 に等しくなる場合で, こんな感じに,…もうちょっと 対称的にしましょう。 このグラフは x 軸に対して反転した または,鏡に写したような グラフになるはずです。 こんな感じですね。 y は負の平方根の x-3 に等しいです。 そして,ここにある関係は x の関数にはなりません。 x の関数にはならない。 x の関数であるためには 任意の x に対して 関数は一個の値にのみ 写像される必要があります。 ここでは 2 個の値に 写像されています。 例えば,x が 4 に等しいと してみましょう。 x が 4 に等しい時, y は ⁺1 かもしれません。 こちらで 4-3 は 1 に等しく, その正の平方根を取ると プラスの 1 です。 または, x が 4 の時に負の 平方根を取ると y は -1 です。 ですからこれは関数にはなりません。 x と y の表を書いてみると, y を x の関数として考えると x が 4 のときは,ある時には +1 です。 もう一つの考えでは,x が 4 の 時 y は -1 になります。 1 個の入力値に 2 個の 値を持っているものは 関数ではありません。(定義) ですからこの関係は x について 解くと関数ではありません。 y は x の関数としては表されません。 ちょっとここで補足をします。 (訳柱: 日本語版での補足) この先はわからなくても 無視してかまいません。 このビデオの関数は現代 数学の標準的な定義です 数学には複数の値を出力する関数の 定義もないわけではありません。 正確に言えば,ここでの関数は 一価一変数関数のことです。 数学を後まで学ぶと もっといろいろな関数, 多変数関数や,多価関数と いうものに出会うでしょう。 しかし今私たちはここにいます。 ここでは関数とは 1 入力 1 出力 のものだと考えてかまいません。 このビデオは順に概念を 理解するために作っています。 そのため,整数のたし算 1 + 1 のたし算の答えが 整数ということを習っている時, 実はたし算でもルート 3 たすルート 5 のように整数にならないことがある。 こういうふうなことは 言わないようにしています。