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関係と関数

与えられたある順序対の集合がある関数を表しているかどうかを求めることを学びましょう。 Sal Khanテクノロジーと教育のためのマネタリー財団 により作成されました。

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以下の順序対の集合で与えられる 関係は関数ですか? この問題を解く前にここでまず, 関係とは何か, どのようなタイプの関係が関数に なるかを思い出しましょう。 数の間の関係を見る時には,まず, 関係への入力となる 数の集合があります。 これを定義域,ドメインと呼びます。 この数の集合を, 関係がどこで定義されているかと 考えることができます。 そして,関係からの出力の数の 集合があります。 それは定義域の中の数と関係 付けられた数と見ることもできます。 それを値域,レンジと呼びます。 これはとても素直な考えだと思います。 例えば 定義域に数 1 があり, それに関係づけられた数 2 があるとします。 ここでの表記では (1,2) という順序対が関係の集合の 中にあると言えます。 これらは同じことを 2 個の 言い方で言っています。 この関係には,ここに 2 があったとすると, それもまた 2 と関係づけられて いるかもしれません。 2 も 2 と関係づけられています。 注意して欲しいのですが,私は今 いくつもの関係を作っています。 上の図で可視化したものを,下では 順序対で書いていますが, これらは同じことです。 数 3 が定義域にあるとしましょう。 今回は 3 は -7 に関係 づけられているとしましょう。 すると (3,-7) です。 このタイプの関係ですが, もしあなたが定義域の要素を 何か私に与えると 値域のどの要素が関係づけられて いるかが正確にわかります。 この関係も関数と言えます。 後ですぐに,関数でない関係は どんなものか説明します。 ここでは,定義域のどの 要素でも選ぶことができます。 そして関数とは実はある 関係のことです。 この関係は定義域と特定の 値域の間の写像とも呼ばれます。 もしあなたが定義域の 要素を何か与えると, 私はそれが値域のどの要素に写像 されるか正確に言うことができます。 1 を与えると,2 に, 2 を与えると,2 に写像されると言います。 3 は -7 に関係づけられています。 この関係は,-- 明らかにこれは関係ですが,-- それはまた関数でもあります。 では,関数ではない関係を見てみましょう。 もう一度定義域を描きましょう。 すべての要素をあげない時, このようなふわふわの雲を 定義域として描きます。 そしてこちらのふわふわの雲の ようなものが値域だとしましょう。 上で描いたものと同じようにこちらも 関係を描いていきます。 まずこの関係で 1 と 2 が 関係づけられるとします。 そして順序対の集合を作りましょう。 1 は 2 とに関係づけられます。 (1, 2) です。 そして 2 は -3 に関係 づけられるとします。 (2, -3) です。 そして,それに加えて 1 が 4 にも 関係づけられるとしましょう。 1 は 4 に関係づけられます。 これは順序対 (1,4) です。 これらは関係を示しています。 ここにはいくつかの関係がありますが, もしこれがすべての 関係だったのならば, 定義域全体は数 1 と 2 と,… 実は 1 と 2 だけですね。 これは関係を示しますが, これは関数ではありません。 これが関数でない理由は もし,あなたが定義域の なかから 1 を選ぶと, それに関係づけられた 値域の要素は何か? ここでは,定義域の要素 1 に 対する値域の要素が 2 か 4 かわかりません。 どちらも可能です。 はっきりとした関係づけがないのです。 1 を与えると,2 か 4 かどちらを 返せば良いのかわかりません。 そのようなものは 関数ではありません。 関数なら,1 を与えられたら 2 を, 2 が与えられたら,2 を 返せば良いとわかります。 さてここまでのことをふまえて, ここにある問題を解きましょう。 では,まず定義域を見て その値域を見ていきます。 ここに定義域を書きます。 それは x の値か入力値と 考えてよいでしょう。 これはまだ関数かわかりませんが, 確実に関係ではあります。 まず -3 があって, -2 もあって, 0 もあります。 -2 ですが,すでにそれはありました。 そして +3 もあります。 これらはすべてこの関係で 定義されている可能な値です。 この関係にこれらの値を入力して 出力されるものが何か考えましょう。 それが値域です。 それは出力の値,または定義域の 要素に関係づけられた値です。 2,4,5,6,そして,8 があります。 この関係をこちらのように 雲で描くこともできます。 こちらも雲で描くことができます。 しかし,ここでは定義域と値域の 要素の特定の値を見ていきます。 では,実際の関係を描きましょう。 -3 は 2 に関係づけられ, または,写像されます。 ここにある順序対です。 そしてこの順序対からは,-2 が 4 に関係づけられています。 最初の順序対,… そうですね。こうしましょうか。 混乱しないようにします。 この順序対で -3 が 2 に 関係づけられていて, それから -2 は…。ちょっと 色を変えましょう。 -2 は 4 に関係づけられます。 そして,0 は 5 に 関係づけられます。 0 は 5 に行く。またはこれを 5 に 写像するという人もいます。 そして -2 は 6 に写像されていますが,… でも -2 はもう何かに 写像されていますが, この順序対は 6 にも写像 されていると言っています。 そして最後は,…。まだ 使っていない色にしましょう。 でも大体使ってしまいました。 3 が 8 に写像されています。 質問は,これが関数かどうかでした。 関数であれば,定義域の 要素はどれでも, 値域のどれに写像されるかが わかっています。 値域の要素の 1 個だけに 写像されます。 -3 を関数の入力とすれば, その時は 2 が出力されるとわかります。 もし -2 をこの関数に入力すると 突然困ってしまいます。 4 が出力か,6 が出力か? 4 を出力すべきか,6 を 出力すべきかわかりません。 このように混乱するために, これは関数ではありません。 ある 1 つの定義域の要素に, 複数の値域の要素が 写像されています。 するとここにあるこれは, 関数ではありません。 関数ではない。