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中学 2 年生

コース: 中学 2 年生 > 単位 3

レッスン 5: 傾き切片標準形の入門
数学
中学 2 年生
一次方程式と関数
傾き切片標準形の入門
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傾き切片標準形の入門

グーグル クラスルーム
2 変数の線形方程式の傾き切片形式について学び，その傾きと y 切片を見つけるためにそれを解釈しましょう。

このレッスンを受ける前にあなたが学んでおくべきこと

  • あなたは 2 変数の線型方程式 とは何かを知っている必要があります。 特に，そのような方程式のグラフが直線になることを知っておく必要があります。もしこれについてまだ学んでいない場合には 2変数の方程式. をチェックしてみて下さい。
  • あなたは次の線型方程式の性質についても学んでいる必要があります: y 切片と x 切片 と 傾き。

このレッスンで何を学ぶか

  • 2 変数の線型方程式の傾き切片形式とは何か
  • 傾き切片方程式から傾きと y 切片を求める方法
  • 傾きと y 切片が与えられた時に直線の方程式を求める方法

傾き切片形式とは何ですか?

傾き切片形式は線型方程式の特別な形です。それは次のような一般の形を持ちます。
y, equals, start color #ed5fa6, m, end color #ed5fa6, x, plus, start color #0d923f, b, end color #0d923f
ここで，start color #ed5fa6, m, end color #ed5fa6 と start color #0d923f, b, end color #0d923f は任意の実数です。たとえば，次のような傾き切片形式の線型方程式があります:
一方，以下の線型方程式は傾き切片形式ではありません:
  • 2, x, plus, 3, y, equals, 5
  • y, minus, 3, equals, 2, left parenthesis, x, minus, 1, right parenthesis
  • x, equals, 4, y, minus, 7
傾き切片形式は線型方程式の形の中で一番よくある形です。なぜそうなのかについてもう少し深く学びましょう。

傾き切片形式の中の係数

傾き切片形式はきちんとして簡潔なだけではなく，それは直線を表す 2 つの主な特徴を与えてくれるという利点があります。
  • 傾きは start color #ed5fa6, m, end color #ed5fa6 です。
  • y 切片の y 座標は start color #0d923f, b, end color #0d923f です。言いかえれば，直線の y 切片は left parenthesis, 0, comma, start color #0d923f, b, end color #0d923f, right parenthesis です。
たとえば，直線 y, equals, start color #ed5fa6, 2, end color #ed5fa6, x, start color #0d923f, plus, 1, end color #0d923f は傾き start color #ed5fa6, 2, end color #ed5fa6 と y 切片 left parenthesis, 0, comma, start color #0d923f, 1, end color #0d923f, right parenthesis を持ちます:
そもそもこれが傾き切片形式と呼ばれる理由は，この形式が傾きと y 切片を与えるからです。

あなたの理解度をチェックしましょう

問 1
y, equals, 5, x, minus, 7 で表される直線の傾きは何ですか?
  • 答えは
  • 6 のような整数
  • 簡単にされた真分数，たとえば 3, slash, 5
  • 簡単にされた仮分数，たとえば 7, slash, 4
  • 帯分数，たとえば1, space, 3, slash, 4
  • 厳密な小数，たとえば 0, point, 75
  • πの倍数，たとえば 12, space, start text, p, i, end text や 2, slash, 3, space, start text, p, i, end text

問 2
y, equals, x, plus, 9 で表される直線の傾きは何ですか?
  • 答えは
  • 6 のような整数
  • 簡単にされた真分数，たとえば 3, slash, 5
  • 簡単にされた仮分数，たとえば 7, slash, 4
  • 帯分数，たとえば1, space, 3, slash, 4
  • 厳密な小数，たとえば 0, point, 75
  • πの倍数，たとえば 12, space, start text, p, i, end text や 2, slash, 3, space, start text, p, i, end text

問 3
y, equals, minus, 6, x, minus, 11 で表される直線の y 切片は何ですか?
答えを 1 つだけ選んで下さい:

問 4
y, equals, 4, x で示される直線の y 切片は何ですか?
答えを 1 つだけ選んで下さい:

問 5
y, equals, 1, minus, 8, x で表される直線の傾きは何ですか?
  • 答えは
  • 6 のような整数
  • 簡単にされた真分数，たとえば 3, slash, 5
  • 簡単にされた仮分数，たとえば 7, slash, 4
  • 帯分数，たとえば1, space, 3, slash, 4
  • 厳密な小数，たとえば 0, point, 75
  • πの倍数，たとえば 12, space, start text, p, i, end text や 2, slash, 3, space, start text, p, i, end text

問 6
y 切片が left parenthesis, 0, comma, 4, right parenthesis の直線はどれですか?
あてはまる答えを全て選んで下さい:

確認の質問
傾き切片形式で与えられた直線の傾きはどのようにしたら求められますか?
答えを 1 つだけ選んで下さい:

チャレンジ問題 1
減少する線形関数のグラフと座標平面があります。この線形関数は正の y 軸と正の x 軸に交差しています。
このうちのどれが直線の方程式になれますか?
答えを 1 つだけ選んで下さい:

チャレンジ問題 2
傾きが 10 で y 切片が left parenthesis, 0, comma, minus, 20, right parenthesis の直線の方程式を書いてください。

なぜこれが上手くいくのでしょうか?

もしかしたらあなたは傾き切片形式がどうしてそうなっているのかと思うかもしれません。つまり，start color #ed5fa6, m, end color #ed5fa6 が傾きになって， start color #0d923f, b, end color #0d923f が y 切片を与えるのはどうしてなのかと。
これはある種の魔法なのでしょうか? いや，もちろんこれは魔法ではありません。数学ではいつも理由があります。この節では方程式 y, equals, start color #ed5fa6, 2, end color #ed5fa6, x, plus, start color #0d923f, 1, end color #0d923f を例として見ていくことにしましょう。

なぜ start color #0d923f, b, end color #0d923f が y-切片を与えるか

y 切片では x の値は常に 0 です。するともし y, equals, start color #ed5fa6, 2, end color #ed5fa6, x, plus, start color #0d923f, 1, end color #0d923f の y 切片を求めたければ，x, equals, 0 を代入して y について解きます。
y=2x+1=2⋅0+1x=0 を代入=0+1=1\begin{aligned} y&=\maroonC{2}x+\greenE{1} \\\\ &=\maroonC{2}\cdot 0+\greenE{1}&\gray{x=0 \text{ を代入}} \\\\ &=0+\greenE{1} \\\\ &=\greenE{1} \end{aligned}
y 切片では start color #ed5fa6, 2, end color #ed5fa6, x が 0 になります。ですから， y, equals, start color #0d923f, 1, end color #0d923f が残ります。

なぜ start color #ed5fa6, m, end color #ed5fa6 が傾きを与えるのでしょう

直線の傾きとは正確に何だったのかを思い出しましょう。傾きとはある 2 点間にひかれた直線の y の変化と x の変化の比でした。
start text, 傾, き, end text, equals, start fraction, y, start text, space, の, 変, 化, 量, end text, divided by, x, start text, space, の, 変, 化, 量, end text, end fraction
もし，x の変化がちょうど 1 単位の 2つの点をとると，y の変化は傾き自身と等しくなります。
start text, 傾, き, end text, equals, start fraction, y, start text, space, の, 変, 化, end text, divided by, 1, end fraction, equals, y, start text, space, の, 変, 化, end text
では，x の値が 1 ずつ一定に増加する時に方程式 y, equals, start color #ed5fa6, 2, end color #ed5fa6, x, plus, start color #0d923f, 1, end color #0d923f の y の値がどうなるかを見てみましょう。
xy
0start color #0d923f, 1, end color #0d923f, plus, 0, dot, start color #ed5fa6, 2, end color #ed5fa6equals, start color #0d923f, 1, end color #0d923f
1start color #0d923f, 1, end color #0d923f, plus, 1, dot, start color #ed5fa6, 2, end color #ed5fa6equals, start color #0d923f, 1, end color #0d923f, plus, start color #ed5fa6, 2, end color #ed5fa6
2start color #0d923f, 1, end color #0d923f, plus, 2, dot, start color #ed5fa6, 2, end color #ed5fa6equals, start color #0d923f, 1, end color #0d923f, plus, start color #ed5fa6, 2, end color #ed5fa6, plus, start color #ed5fa6, 2, end color #ed5fa6
3start color #0d923f, 1, end color #0d923f, plus, 3, dot, start color #ed5fa6, 2, end color #ed5fa6equals, start color #0d923f, 1, end color #0d923f, plus, start color #ed5fa6, 2, end color #ed5fa6, plus, start color #ed5fa6, 2, end color #ed5fa6, plus, start color #ed5fa6, 2, end color #ed5fa6
4start color #0d923f, 1, end color #0d923f, plus, 4, dot, start color #ed5fa6, 2, end color #ed5fa6equals, start color #0d923f, 1, end color #0d923f, plus, start color #ed5fa6, 2, end color #ed5fa6, plus, start color #ed5fa6, 2, end color #ed5fa6, plus, start color #ed5fa6, 2, end color #ed5fa6, plus, start color #ed5fa6, 2, end color #ed5fa6
x が 1 単位増加するときにはいつでも，y は start color #ed5fa6, 2, end color #ed5fa6 単位増加することがわかります。これは，y の計算の時に x にかかっている start color #ed5fa6, 2, end color #ed5fa6 がその増加量を決めているからです。
上で述べているように x が 1 単位増加した時の y の変化量は直線の傾きに等しいです。そのため，傾きは start color #ed5fa6, 2, end color #ed5fa6 になります。
チャレンジ問題 3
直線の方程式を完成させてください。
y, equals

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