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線形関数を見い出す

ある関数が線型であるかどうかを見分けることを学びます。 Sal Khanテクノロジーと教育のためのマネタリー財団 により作成されました。

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ディドレは,次の点を含む 関数を調べています。 これらは x で,こちらは y の値です。 問題は,この関数は線形ですか, それとも非線形ですか? と尋ねています。 線形関数は,どんな x の 変化量が与えられても, それに対する y の変化量は いつでも同じです。 たとえば,x が 1 変化した時に, y の変化量はいつも 3 でしょうか? それともいつも 5 でしょうか? もしそれがいつも同じ値であれば, 線形関数を扱っています。 もしそれぞれの x の変化量について,… ここでは, x の変化量は いつでも 1 です。 すると,x の変化量は いつも 1 なので, 線形になるには y の変化量も いつも同じになる必要があります。 そうでない場合, 非線形(の関数)です。 実際にこれをプロットして みることもできます。 もし x の変化量が 毎回違う場合, たとえば, 1 から 2, 2 から 4 に行く場合は, y の変化量を x の変化量で 割ることができ, そうすれば変化量はいつも 定数になるはずです。 実際にちょっと書いてみましょう。 もし何かが線形であるならば, y の変化量割る x の変化量... これはいつでも定数です。 いつでも定数。 さて,この例では,x の 変化量はいつも 1 ですね。 1 から 2,2 から 3, 3 から 4, 4 から 5 に行きます。 するとこの例では,x の変化量は いつでも 1 になっています。 するとこの関数が線形で あるためには, y の変化量は定数で ある必要があります。 なぜなら,その値を 1 で 割ることになるからです。 では,y の変化量が定数か を見てみましょう。 11 から 14 では 3 増えています。 14 から 19 では 5 増えています。 ということはもう定数ではないです。 ここは 3 ではなく,5 増えました。 そしてここでは 7 増えます。 ここでは 9 増えます。 するとこれは変化量が 増えています。 これは確実に非線形関数です。 これをグラフにして みることもできます。 グラフを描いてみましょう。 おおまかなグラフを描いてみます。 これが垂直軸,y 軸です。 そしてこれは 35 まで行きます。 ですから 10, 20, 30 と書き... いや,もう少し細かく 書くことができますね。 5, 10, 15, 20, 25, 30, そして35 です。 そして x は 1 から 5 までです。 こちらを x 軸にします。 ちょっと,縮尺は軸ごとに 違っていますが,... 1, 2, 3, 4, 5 です。 これらの点をプロットしましょう。 最初の点は x が 1 の時, y は 11 です。 これは x 軸です。 x が 1 の時,y は 11 で, このあたりです。 x が 2 の時,y は 14, それは (x が) 2 の時, y が 14 で,ここです。 x が 3 の時,y が 19 です。 (x が) 3 の時,(y は) 19 はここです。 x が 4 の時,y は 26 です。 (x が) 4 の時,(y は) 26 , ここです。 そして最後に,x が 5 の時, y は 35 です。 x が 5 の時,y は 35 です。 ここです。 すぐこれが直線では ないことがわかりますね。 もしこれが線形関数ならば, 全ての点が, こんな一直線上に並ぶはずです。 線形関数というのは 直線の関数ということです。 この場合,そうではないです。 ですから非線形です。 x が大きくなると,変化率が(一定ではなく)大きく なっています。