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中学 2 年生
コース: 中学 2 年生 > 単位 3
レッスン 7: 傾き切片標準形の方程式を書くグラフから傾き切片の方程式
3本の異なる直線について傾き切片形式で方程式を書くことを学びましょう。 Sal Khan により作成されました。
ビデオのトランスクリプト
これまでの動画で
どんな線形方程式でも y = mx+b の形に書けることが
わかったと思います。 ここで m は直線の傾きを表します。 傾きについては,もういくつかの
動画で学んできました。 横移動に対する上昇, つまり直線の傾斜です。 そして b は y 切片です。 b が y 切片であることは 簡単に確認できます。 確認するためには,x に 0 を代入します。 x が 0 に等しいということは そこで直線が y 軸と交差していることを
表しています。 x が 0 に等しいならば,この方程式は
y = m 0 + b になり, m かける 0 は 0 です。 m がどんな数でも関係ありません。 そして y=b になります。 点 (0,b) はこの直線上にあります。 (0,b) は直線上にある。 そして直線は y 軸にこの点で交差し, その時の y は b に等しいです。 後で実際の数で考えたいと思います。 m が 実際に傾きであることを確認するために いくつかの数を試してみましょう。 もう,点 (0,b) はこの直線上に
あることがわかりました。 では,x が 1 に等しい時はどうでしょうか。 y イコール m かける 1 ⁺ b なので m+b です。 だから点 (1,m+b) も この直線上にあることがわかります。 これは x が 1 の時の y の値です。 ですから,これらの 2 点間の傾きは何か? y の変化量は m+b… m+b の方を終点にしましょう。 すると始点の y は b なので,ひく b です。 これ割る x の変化量の 1-0 です。 これが y の変化量割る x の変化量です。 2 点を使いました。
終点と始点です。 これを簡単化すると b-b は 0 で 1-0 は 1 です。 ですから m/1 が得られ,
それは m に等しいです。 ちょっと変数を使って抽象的
だったかもしれません。 しかし m が傾きで b は y 切片が
確実になったと思います。 では,これを基にして, ここに描かれているグラフから 方程式を求めるという
練習をしたいと思います。 これらのグラフを見て傾きを求め, そして y 切片を求めて
式を求めましょう。 では直線 A から始めましょう。 A から始める。 A の傾きは何でしょうか? 1 つ適当な点から始めましょう。 この点から始めたいと思います。 わかりやすい点にしたつもりです。 横移動を 1,2,3 といくと, この場合デルタ x が 3 に
等しいです。1, 2, 3 ときました。 デルタ y は… ここで私は整数の点を
選んでいます。 ここでのデルタ y は
2 下がるので -2 です。 直線 A (の傾き)は,y の変化量
割る x の変化量が x の変化量は 3 で,
y の変化量は -2 です。 すると傾きは -2/3 です。 3 横移動すると 2 下がります。 または,1 横移動すると,
2/3 下がっているはずです。 1 移動の場合にははっきりしませんが ここは 3 下がっていることがわかります。 これがこの直線の傾きで,
問題が半分解けました。 では y 切片を求めましょう。 これが m です。 では b は何か? y 切片は何か? この直線の y 軸との交差点はどこですか? 傾きはすでに -2/3 とわかっています。 この点は y が 2 に等しい点です。 右に 1 移動すると 2/3 下がるはずです。 するとこの点の y は 1 と 1/3 のはずです。 4/3 と言うこともできます。 この点の y は 4/3 です。ここです。 1 より少し大きいです。 だいたい 1 と 1/3 でしょう。 すると b は 4/3 に等しいと言えるでしょう。 この方程式は y イコール m,m は -2/3 で, そして x たす b,b は 4/3 だとわかりました。 これが直線 A の方程式です。 では方程式 B に行きましょう。 今回あまり分数がないといいですね。 まずは傾きを求めましょう。 わかりやすい,整数座標の点を
見つけましょう。 この点から始められるでしょう。 ここでやってみましょう。B ですね。 方程式 B デルタ x は何に等しいか… こう書きますか。 デルタ x は 1 にできます。 ここで右に 1 移動すると
デルタ y は何ですか? 3 上がっています。 デルタ x,デルタ y です。 y の変化量は 3 です。 デルタ y 割るデルタ x です。 右に 1 行くと,x の変化量は 1 で, y の変化量はプラス 3 です。 すると傾きは 3 に等しいです。 y 切片は何でしょうか? x が 0 のとき y は 1 に等しいです。 するとこの方程式の b は 1 です。 これはさっきよりも簡単でした。 この方程式は y=3x+1 です。 最後の直線を見てみましょう。 直線 C です。 では,y 切片をまず求めましょう。 x が 0 のときの y は すぐにわかって,それは -2 です。 すると b は -2 に等しいです。 では,傾きは何でしょうか? m は y の変化量割る
x の変化量に等しいです。 y 切片から始めましょう。 右に 1,2,3,4, x の変化量は 4 に等しいです。 y の変化量は何でしょうか? ここで y の変化量はプラス 2 です。 y の変化量が 2 のとき,
x の変化量は 4 です。 この方程式の傾きは1/2 に等しいです。 ですからこれは y=1/2 x (これは傾きで,)
-2 の方程式になります。 できました。 ではまったく逆の方向をやってみましょう。 いくつかの直線の方程式を見て 傾きはこれで,y 切片はこれです。 これが m で,これが b です。 そしてグラフを描きましょう。 最初の直線を描きましょう。 この y 切片は 5 です。 x が 0 のとき,y は 5 に等しいです。 方程式を使って確認できます。 x が 0 のとき (y) は 1,2,3, 4,5
になります。 これが y 切片で傾きは 2 です。 これは x の方向に 1 動くとけば y 方向に 2 上がることを意味します。 x 方向に 1,するとy 方向に 2 上がる。 x 方向に 1,すると y 方向に 2 上がります。 x 方向にもし 1 戻れば,
y 方向は 2 下がります。 x 方向に 1 戻れば
y 方向は 2 下がります。 こうやって続けていけます。 ですからこの直線はこんな感じになります。 手書きは難しいですが こんな感じになります。 こちらにも伸ばすことができます。 これが最初の直線です。 こちらに下がっていきます。 では,2 本目の直線を描きましょう。 y =-0.2x+7 これは書いておきましょう。
y =-0.2x+7 です。 直線の場合,分数で考える
ほうがいつも簡単です。 0.2 は 1/5 ですから,
y =-1/5x+7 とも書けます。 ここでもう y 切片が 7 とわかります。 …,3,4,5,6,7。 これが x が 0 のときの点,y 切片です。 そしてこれは x を 5 右に移動するたびに, y が 1 下がることを表しています。 これは -1 割る 5 と見ることができます。 デルタ y 割る デルタ x は -1/5 です。 5 右に移動するごとに 1 下がります。 5 ごとで 1,2,3,4,5,
すると 1 下がるわけです。 右に 5 ,1,2,3,4,5 行くと,
y が 1 下がる。 反対に戻る時,5 戻ると, これは 1 割る -5 とみなすことができます。 これは等価な数です。 すると 5 戻ると,1,2,3,4,5
戻ると,1 上がります。 5 (戻ると,) 1,2,3,4,5,
戻ると,1 上がります。 すると直線はこンな感じです。 点をつなぎました。わかりますかね。 これらの点をつないだだけです。 もう少しまっすぐ描けると良いのですが… では,次はこれです。y=-x。 b の項はどこでしょうか? ここには b がないです。 今まで,私は y=mx+b と何度も
言ってきました。 b はどこでしょうか? そうですね。ここでは b は 0 です。 ですから(これを) +0 と書いてもいいです。 x が 0 の時は b は 0 です。 これが y 切片で,原点にあります。 そして,傾きにはマイナスの
符号だけになっていますが, これは -1x+0 と書いておきます。 すると傾きは -1 です。 右に 1 動くと (x の変化量は 1 で),
y の変化量は -1 です。 x が 1増えると,y は 1 減る。 x が 1 増えると y は 1 減ると。 または x が 1 減れば,y は 1 増えます。 x と y は逆の符号を持ちます。 それぞれは逆の方向に移動します。 ですから直線はこんな感じになります。 これは第 2 象限と第 4 象限を 半分に切るような直線だと思ってもいいでしょう。 もう 1 問解きましょう。 最後の式です。 y=3.75 もしかしたらあなたは,これまで y=mx+b の
方程式を見てきたのに x の項はどこにあるのか? と思ったかもしれません。 x の項が完全になくなっています。 実はこれを書き換えると y=0x+3.75です。 わかりますか? つまり傾きは 0 です。 x がどう変わっても y は変わりません。 デルタ y 割るデルタ x は 0 に等しいです。 どれだけ x を変化させても関係ありません。 y 切片は 3.75 です。 1, 2, 3.75 はこのあたりでしょう。 できるだけ正確にしたいですね。 3 と 3/4 です。 x を変えても,y は変わりません。 y はいつでも 3.75 です。 するとこれは y=3.75 という
水平の直線になります。 とにかく,これがお役に立てればうれしいです。