グラフから傾き切片の方程式

これまでの動画で どんな線形方程式でも y = mx+b の形に書けることが わかったと思います。 ここで m は直線の傾きを表します。 傾きについては，もういくつかの 動画で学んできました。 横移動に対する上昇， つまり直線の傾斜です。 そして b は y 切片です。 b が y 切片であることは 簡単に確認できます。 確認するためには，x に 0 を代入します。 x が 0 に等しいということは そこで直線が y 軸と交差していることを 表しています。 x が 0 に等しいならば，この方程式は y = m 0 + b になり， m かける 0 は 0 です。 m がどんな数でも関係ありません。 そして y=b になります。 点 (0，b) はこの直線上にあります。 (0，b) は直線上にある。 そして直線は y 軸にこの点で交差し， その時の y は b に等しいです。 後で実際の数で考えたいと思います。 m が 実際に傾きであることを確認するために いくつかの数を試してみましょう。 もう，点 (0，b) はこの直線上に あることがわかりました。 では，x が 1 に等しい時はどうでしょうか。 y イコール m かける 1 ⁺ b なので m+b です。 だから点 (1，m+b) も この直線上にあることがわかります。 これは x が 1 の時の y の値です。 ですから，これらの 2 点間の傾きは何か? y の変化量は m+b… m+b の方を終点にしましょう。 すると始点の y は b なので，ひく b です。 これ割る x の変化量の 1-0 です。 これが y の変化量割る x の変化量です。 2 点を使いました。 終点と始点です。 これを簡単化すると b-b は 0 で 1-0 は 1 です。 ですから m/1 が得られ， それは m に等しいです。 ちょっと変数を使って抽象的 だったかもしれません。 しかし m が傾きで b は y 切片が 確実になったと思います。 では，これを基にして， ここに描かれているグラフから 方程式を求めるという 練習をしたいと思います。 これらのグラフを見て傾きを求め， そして y 切片を求めて 式を求めましょう。 では直線 A から始めましょう。 A から始める。 A の傾きは何でしょうか? 1 つ適当な点から始めましょう。 この点から始めたいと思います。 わかりやすい点にしたつもりです。 横移動を 1，2，3 といくと， この場合デルタ x が 3 に 等しいです。1, 2, 3 ときました。 デルタ y は… ここで私は整数の点を 選んでいます。 ここでのデルタ y は 2 下がるので -2 です。 直線 A （の傾き）は，y の変化量 割る x の変化量が x の変化量は 3 で， y の変化量は -2 です。 すると傾きは -2/3 です。 3 横移動すると 2 下がります。 または，1 横移動すると， 2/3 下がっているはずです。 1 移動の場合にははっきりしませんが ここは 3 下がっていることがわかります。 これがこの直線の傾きで， 問題が半分解けました。 では y 切片を求めましょう。 これが m です。 では b は何か? y 切片は何か? この直線の y 軸との交差点はどこですか? 傾きはすでに -2/3 とわかっています。 この点は y が 2 に等しい点です。 右に 1 移動すると 2/3 下がるはずです。 するとこの点の y は 1 と 1/3 のはずです。 4/3 と言うこともできます。 この点の y は 4/3 です。ここです。 1 より少し大きいです。 だいたい 1 と 1/3 でしょう。 すると b は 4/3 に等しいと言えるでしょう。 この方程式は y イコール m，m は -2/3 で， そして x たす b，b は 4/3 だとわかりました。 これが直線 A の方程式です。 では方程式 B に行きましょう。 今回あまり分数がないといいですね。 まずは傾きを求めましょう。 わかりやすい，整数座標の点を 見つけましょう。 この点から始められるでしょう。 ここでやってみましょう。B ですね。 方程式 B デルタ x は何に等しいか… こう書きますか。 デルタ x は 1 にできます。 ここで右に 1 移動すると デルタ y は何ですか? 3 上がっています。 デルタ x，デルタ y です。 y の変化量は 3 です。 デルタ y 割るデルタ x です。 右に 1 行くと，x の変化量は 1 で， y の変化量はプラス 3 です。 すると傾きは 3 に等しいです。 y 切片は何でしょうか? x が 0 のとき y は 1 に等しいです。 するとこの方程式の b は 1 です。 これはさっきよりも簡単でした。 この方程式は y=3x+1 です。 最後の直線を見てみましょう。 直線 C です。 では，y 切片をまず求めましょう。 x が 0 のときの y は すぐにわかって，それは -2 です。 すると b は -2 に等しいです。 では，傾きは何でしょうか? m は y の変化量割る x の変化量に等しいです。 y 切片から始めましょう。 右に 1，2，3，4， x の変化量は 4 に等しいです。 y の変化量は何でしょうか? ここで y の変化量はプラス 2 です。 ｙ の変化量が 2 のとき， x の変化量は 4 です。 この方程式の傾きは1/2 に等しいです。 ですからこれは y=1/2 x (これは傾きで，) -2 の方程式になります。 できました。 ではまったく逆の方向をやってみましょう。 いくつかの直線の方程式を見て 傾きはこれで，y 切片はこれです。 これが m で，これが b です。 そしてグラフを描きましょう。 最初の直線を描きましょう。 この y 切片は 5 です。 x が 0 のとき，y は 5 に等しいです。 方程式を使って確認できます。 x が 0 のとき (y) は 1，2，3, 4，5 になります。 これが y 切片で傾きは 2 です。 これは x の方向に 1 動くとけば y 方向に 2 上がることを意味します。 x 方向に 1，するとy 方向に 2 上がる。 x 方向に 1，すると y 方向に 2 上がります。 x 方向にもし 1 戻れば， y 方向は 2 下がります。 x 方向に 1 戻れば y 方向は 2 下がります。 こうやって続けていけます。 ですからこの直線はこんな感じになります。 手書きは難しいですが こんな感じになります。 こちらにも伸ばすことができます。 これが最初の直線です。 こちらに下がっていきます。 では，2 本目の直線を描きましょう。 y =-0.2x+7 これは書いておきましょう。 y =-0.2x+7 です。 直線の場合，分数で考える ほうがいつも簡単です。 0.2 は 1/5 ですから， y =-1/5x+7 とも書けます。 ここでもう y 切片が 7 とわかります。 …，3，4，5，6，7。 これが x が 0 のときの点，y 切片です。 そしてこれは x を 5 右に移動するたびに， y が 1 下がることを表しています。 これは -1 割る 5 と見ることができます。 デルタ y 割る デルタ x は -1/5 です。 5 右に移動するごとに 1 下がります。 5 ごとで 1，2，3，4，5， すると 1 下がるわけです。 右に 5 ，1，2，3，4，5 行くと， y が 1 下がる。 反対に戻る時，5 戻ると， これは 1 割る -5 とみなすことができます。 これは等価な数です。 すると 5 戻ると，1，2，3，4，5 戻ると，1 上がります。 5 (戻ると，) 1，2，3，4，5， 戻ると，1 上がります。 すると直線はこンな感じです。 点をつなぎました。わかりますかね。 これらの点をつないだだけです。 もう少しまっすぐ描けると良いのですが… では，次はこれです。y=-x。 b の項はどこでしょうか? ここには b がないです。 今まで，私は y=mx+b と何度も 言ってきました。 b はどこでしょうか? そうですね。ここでは b は 0 です。 ですから（これを） +0 と書いてもいいです。 x が 0 の時は b は 0 です。 これが y 切片で，原点にあります。 そして，傾きにはマイナスの 符号だけになっていますが， これは -1x+0 と書いておきます。 すると傾きは -1 です。 右に 1 動くと (x の変化量は 1 で)， y の変化量は -1 です。 x が 1増えると，y は 1 減る。 x が 1 増えると y は 1 減ると。 または x が 1 減れば，y は 1 増えます。 x と y は逆の符号を持ちます。 それぞれは逆の方向に移動します。 ですから直線はこんな感じになります。 これは第 2 象限と第 4 象限を 半分に切るような直線だと思ってもいいでしょう。 もう 1 問解きましょう。 最後の式です。 y=3.75 もしかしたらあなたは，これまで y=mx+b の 方程式を見てきたのに x の項はどこにあるのか? と思ったかもしれません。 x の項が完全になくなっています。 実はこれを書き換えると y=0x+3.75です。 わかりますか? つまり傾きは 0 です。 x がどう変わっても y は変わりません。 デルタ y 割るデルタ x は 0 に等しいです。 どれだけ x を変化させても関係ありません。 y 切片は 3.75 です。 1, 2, 3.75 はこのあたりでしょう。 できるだけ正確にしたいですね。 3 と 3/4 です。 x を変えても，y は変わりません。 y はいつでも 3.75 です。 するとこれは y=3.75 という 水平の直線になります。 とにかく，これがお役に立てればうれしいです。