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べきの乗算 & 除算 (整数指数)

どんな基数 a とどんな整数指数 n と m に対しても,aⁿ⋅aᵐ=aⁿ⁺ᵐ が成り立ちます。非ゼロの基数について,aⁿ/aᵐ=aⁿ⁻ᵐ が成り立ちます。ここでは整数の指数に対してこれらの性質を使う例題を通して解きます。

ビデオのトランスクリプト

では少し指数法則の 練習をしましょう。 ここでは特に整数指数を 考えます。 では,4 の -3 乗 かける 4 の 5 乗は何に 比しいでしょうか? ここでビデオをポーズして, 自分で考えてみて下さい。 これを解く方法はいくつかありますが, 基数の同じ指数を 2 個 かけているので, この場合基数 4 をとって, その指数をたします。 すると, -3 たす 5 乗になります。 それは 4 の 2 乗に等しいです。 これは指数法則をそのまま 使ったものですが, なぜこうすると意味が 通るのかも考えましょう。 4 の -3 乗というのは, 4 の 3 乗分の 1 と同じです。 またはこれを 1 割る 4 かける 4 かける 4 と 考えることもできます。 そして 4 の 5 乗があります。 それは 5 個の 4 が かけられています。 かける 4 かける 4 かける 4 かける 4 かける 4 です。 気がついたと思いますが, これらをかければ, 5 個の 4 が分子で, 3 個の 4 が分母になるので, 分母の 3 個の 4 と分子にある 3 個の 4 がキャンセルされます。 これらがキャンセルされます。 すると残ったのは, 5 ひく 3 個, または -3 たす 5 個の 4 です。 するとこれは 4 かける 4 で, それは 4 の 2 乗と同じです。 すなおだと思います。 では,変数でもやってみましょう。 a の -4 乗かける a の 2 乗にしましょう。 これは何になりますか? ここでもさきほどと一緒で, 同じ基数の指数のかけ算です。 この場合,基数は a です。 これらをかけ算しているので, 指数部分をたすことができて, a の -4 たす 2 乗になります。 それは a の -2 乗です。 これも先程と同じく 意味が通るでしょう。 ここにあるものは 1 割る a かける a かける a かける a で, そしてこちらは a かける a です。 するとこれとこれ,これとこれが キャンセルされて, 残ったのは 1 割る a かける a で, それは a の -2 乗と同じです。 では商でもやってみましょう。 ではもし… もし 12 の -7 乗, 割る 12 の -5 乗は何かと 尋ねたらどうでしょうか? 指数法則では同じ基数の割り算では, 指数のひき算をするのでした。 するとこれが等しいのは 12 の -7 ひく -5 です。 分母の指数をひくのです。 するとこれは 12 の何かというと,・・・。 負の数をひくということは, たすことと同じでしたから, 12 の -2 乗になります。 これも先程と同じように, なぜこれで意味が通るのかを 考える必要があります。 実はこれは 12 の -7 乗 割る 12 の -5 乗を これを書き直せば, 12 の -7 乗かける, 12 の 5 乗です。 もしこの逆数をとれば,・・・。 ここにある分母の逆数をとれば, 指数は符号が変わって正になります。 それから前の問題と同じように, 積を計算すれば良いです。 では変数でも, もう一問解きましょう。 x の -20 乗割る x の 5 乗があるとしましょう。 ここでも同じ基数 x があって, 商を考えています。 するとこれは x の -20 ひく 5 です。 なぜならこれは分母にあるので 指数をひくことになります。 するとこれは x の -25 乗に等しいです。 もう一度,この元の式を見れば, x の -20 乗があって, 分母に x の 5 乗があるのて, これは x の 5 乗で割っていますけれども, それは x の -5 乗を かけることと同じでした。 こうすれば指数を たせばよいです。 こう考えても同じく x の -25 乗です。