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積と商の冪 (整数指数)

どんな基数 a とどんな指数 n と m に対しても,(a⋅b)ⁿ=aⁿ⋅bⁿ と (a/b)ⁿ=aⁿ/bⁿ になります。これらは,整数の指数に対してこれらの性質を使う実例です。

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ビデオのトランスクリプト

このビデオでは指数や,指数の積の 指数を計算する例題をいくつか, 特に整数指数を扱う 場合を考えましょう。 では,3 の -8 乗かける 7 の 3 乗があり, この全体の -2 乗があったとしましょう。 ここでぜひビデオをポーズして 自分で簡単化できるか 考えてみて下さい。 するとここでの鍵は, これを解く方法はいくつも あると気がつくことです。 ただし,ここには 2 つのものの積があって, その指数をとっていると 気がつくことが鍵になります。 これと同じものは, これらのそれぞれの指数を とってから積をとることです。 するとこれはどうなるかというと, 3 の -8 乗と,その -2 乗かける, 7 の 3 乗の -2 乗です。 この中には 7 の 3 乗があります。 これを簡単化すると, 3 の -8 乗の -2 乗です。 ここでもう一つの指数法則があって, ある数の指数全体の 指数乗の時には 指数部分をかけ算できるというものです。 それは 3 の -8 かける -2 乗です。 -8 かける -2 は +16 です。 するとこのこれは 3 の 16 乗になります。 それからこちらの部分ですが, 7 の 3 乗の -2 乗で, それは 7 の 3 かける -2 乗です。 それは 7 の -6 乗です。 7 の -6 乗です。 そしてこれ以上の 簡単化はできません。 ただし,7 の -6 乗を違う方法 で書き直すことはできます。 それは 7 の 6 乗分の 1 と同じです。 するとこれを書き直すことはできて, 3 の 16 乗に,・・・ 同じ青を使いましょう。 3 の 16 乗割る, 7 の 6 乗です。しかし これら 2 つの式は等価です。 これにとりくむ他の方法もあり, それはここにある元の式を見て, これは 3 の -8 乗は,3 の 8 乗分の 1 と同じなので, これを 7 の 3 乗割る 3 の 8 乗と言うこともでき, それ全体の -2 乗をとると, この分子の -2 乗とこの 分母の -2 乗になります。 しかし,結局まったく 同じ答えになります。 ではもう一問こういう 例題を解きましょう。 そうですね。では,ここには... a の -2 乗かける 8 の 7 乗があって, その全体の 2 乗を考えましょう。 前と同じように,このそれぞれの 2 乗をとることができます。 するとこれは a の -2 乗の 2 乗かける, こちらの 2 乗です。 これは 8 の 7 乗の 2 乗です。 それからここでは -2 かける 2 は -4 です。 ですから a の -4 乗かける 8 の 7 かける 2 で 8 の 14 乗です。 これがなぜそうなるべきなのかは 他のビデオで詳しくみていますが, 直感的に意味が通ると嬉しいです。 ここは 8 の 7 乗 かける 8 の 7 乗なので, 2 個の指数をたすと, 8 の 14 乗になります。 すると,何回 8 の 7 乗が あるかを考えるか, またはたす回数かける 7 のかけ算になるでしょう。 これで混乱しないと良いのですが。 しかし一般的な考え方は, もし何かの指数乗があり, その指数をとる時にはそれらの 指数をかけ算できるというものです。 では商を扱う例題を もう 1 つ解きましょう。 最初の例題も商を扱っていると 考えることができます。 では,2 の -10 乗割る 4 の 2 乗があり, これ全体が 7 乗に なっているとしましょう。 これは 2 の -10 乗の 7 乗 割る 4 の 2 乗の 7 乗と等価です。 すると,2 つの数の割り算があり, その指数乗をとっている時には, 分子をこの指数乗し,それ割る, 分母をこの指数乗したものと同じです。 では分子はどうなりますか? この練習は前やりました。 2 の -10 かける 7 乗です。 するとこれが等しいのは 2 の -70 乗です。 それから分母ですが, これは 2 かける 7 で 14 乗です。 するとこれは 4 の 17 乗になります。 実はこれをさらに 簡単化することができます。 これを書くいくつかの 方法があります。 1 つの方法は,4 というのが 2 のべき乗だと気がつくことです。 するとこれは 2 の -70 乗割ることの 4 の 17 乗と書く代わりに, どうして 4 の 17 乗と 書いたのでしょうか, これは 4 の 14 です。 2 × 7 = 14 です。 直しておきましょう。 4 の 14 乗と書く代わりに, これは 2 の,・・・ 色を正しく使いましょう。 これは 2 の -70 乗割る,これは… 4 と書く代わりに 2 の 2 乗と 書いて,その 14 乗です。 4 は 2 の 2 乗と同じです。 するとこの全体というのは 2 の -70 乗割る 2 の 2 かける14 ですから 2 の 28 乗です。 そしてこれはさらに簡単化 することができます。 これは 2 の,・・・ 同じ基数を持つ指数の商は, 指数のひき算ができました。 ですからこれは, -70 - 28 乗になります。 これを簡単化すると, 2 の -98 乗です。 これがこの同じ式を 書く他の方法です。