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コース: 中学 2 年生 > 単位 1
レッスン 8: 指数法則 (整数指数)積と商の冪 (整数指数)
どんな基数 a とどんな指数 n と m に対しても,(a⋅b)ⁿ=aⁿ⋅bⁿ と (a/b)ⁿ=aⁿ/bⁿ になります。これらは,整数の指数に対してこれらの性質を使う実例です。
ビデオのトランスクリプト
このビデオでは指数や,指数の積の
指数を計算する例題をいくつか, 特に整数指数を扱う
場合を考えましょう。 では,3 の -8 乗かける
7 の 3 乗があり, この全体の -2 乗があったとしましょう。 ここでぜひビデオをポーズして 自分で簡単化できるか
考えてみて下さい。 するとここでの鍵は, これを解く方法はいくつも
あると気がつくことです。 ただし,ここには 2 つのものの積があって, その指数をとっていると
気がつくことが鍵になります。 これと同じものは, これらのそれぞれの指数を
とってから積をとることです。 するとこれはどうなるかというと, 3 の -8 乗と,その -2 乗かける, 7 の 3 乗の -2 乗です。 この中には 7 の 3 乗があります。 これを簡単化すると,
3 の -8 乗の -2 乗です。 ここでもう一つの指数法則があって, ある数の指数全体の
指数乗の時には 指数部分をかけ算できるというものです。 それは 3 の -8 かける -2 乗です。 -8 かける -2 は +16 です。 するとこのこれは 3 の
16 乗になります。 それからこちらの部分ですが,
7 の 3 乗の -2 乗で, それは 7 の 3 かける -2 乗です。 それは 7 の -6 乗です。 7 の -6 乗です。 そしてこれ以上の
簡単化はできません。 ただし,7 の -6 乗を違う方法
で書き直すことはできます。 それは 7 の 6 乗分の
1 と同じです。 するとこれを書き直すことはできて,
3 の 16 乗に,・・・ 同じ青を使いましょう。 3 の 16 乗割る, 7 の 6 乗です。しかし
これら 2 つの式は等価です。 これにとりくむ他の方法もあり, それはここにある元の式を見て, これは 3 の -8 乗は,3 の
8 乗分の 1 と同じなので, これを 7 の 3 乗割る
3 の 8 乗と言うこともでき, それ全体の -2 乗をとると, この分子の -2 乗とこの
分母の -2 乗になります。 しかし,結局まったく
同じ答えになります。 ではもう一問こういう
例題を解きましょう。 そうですね。では,ここには... a の -2 乗かける
8 の 7 乗があって, その全体の 2 乗を考えましょう。 前と同じように,このそれぞれの
2 乗をとることができます。 するとこれは a の
-2 乗の 2 乗かける, こちらの 2 乗です。 これは 8 の 7 乗の 2 乗です。 それからここでは -2
かける 2 は -4 です。 ですから a の -4 乗かける 8 の 7 かける
2 で 8 の 14 乗です。 これがなぜそうなるべきなのかは
他のビデオで詳しくみていますが, 直感的に意味が通ると嬉しいです。 ここは 8 の 7 乗
かける 8 の 7 乗なので, 2 個の指数をたすと,
8 の 14 乗になります。 すると,何回 8 の 7 乗が
あるかを考えるか, またはたす回数かける
7 のかけ算になるでしょう。 これで混乱しないと良いのですが。 しかし一般的な考え方は,
もし何かの指数乗があり, その指数をとる時にはそれらの
指数をかけ算できるというものです。 では商を扱う例題を
もう 1 つ解きましょう。 最初の例題も商を扱っていると
考えることができます。 では,2 の -10 乗割る
4 の 2 乗があり, これ全体が 7 乗に
なっているとしましょう。 これは 2 の -10 乗の 7 乗 割る 4 の 2 乗の 7 乗と等価です。 すると,2 つの数の割り算があり, その指数乗をとっている時には, 分子をこの指数乗し,それ割る,
分母をこの指数乗したものと同じです。 では分子はどうなりますか? この練習は前やりました。 2 の -10 かける 7 乗です。 するとこれが等しいのは
2 の -70 乗です。 それから分母ですが, これは 2 かける 7 で 14 乗です。 するとこれは
4 の 17 乗になります。 実はこれをさらに
簡単化することができます。 これを書くいくつかの
方法があります。 1 つの方法は,4 というのが
2 のべき乗だと気がつくことです。 するとこれは
2 の -70 乗割ることの 4 の 17 乗と書く代わりに, どうして 4 の 17 乗と
書いたのでしょうか, これは 4 の 14 です。
2 × 7 = 14 です。 直しておきましょう。
4 の 14 乗と書く代わりに, これは 2 の,・・・
色を正しく使いましょう。 これは 2 の -70 乗割る,これは… 4 と書く代わりに 2 の 2 乗と
書いて,その 14 乗です。 4 は 2 の 2 乗と同じです。 するとこの全体というのは
2 の -70 乗割る 2 の 2 かける14 ですから
2 の 28 乗です。 そしてこれはさらに簡単化
することができます。 これは 2 の,・・・ 同じ基数を持つ指数の商は,
指数のひき算ができました。 ですからこれは,
-70 - 28 乗になります。 これを簡単化すると,
2 の -98 乗です。 これがこの同じ式を
書く他の方法です。