積の指数法則

このビデオでは指数法則を 含む例題を たくさん解いてみたいと思います。 しかしその前に，そもそも 指数というものが何か 少し復習しておきましょう。 では，2 の 3 乗があるとしましょう。 もしかしたら，あなたはこれは 6 だと 言いたいかもしれません。 しかしそれはいいえです。 これは 6 ではありません。 この意味は 2 自身を 3 回 かけるという意味です。 ですからこれは 2 かける 2 かける 2 に等しいです。 これが等しいのは 2 かける 2 は 4 で， 4 かける 2 は 8 に等しいです。 もし 3 の 2 乗が何かと尋ねると， または，3 の平方が何かと言うと， これは 3 自身を 2 回かけることで， 3 かける 3 に等しくなります。 それは 9 に等しいです。 もう 1 つこういうものをやってみましょう。 もしこれをまだ見たことが なかったとしても， なんとなく感覚が つかめてくるかと思います。 では，何か，．．． 5 の 7 乗を考えてみましょう。 これは 5 自身を 7 回 かけたものです。 5 かける 5 かける 5 かける 5 かける 5 かける 5 かける 5 です。 これで 7 回? 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 回です。 これはとてもとてもとても 大きな数になります。 ここではこれを計算はしません。 もし手でやってみてければ 試してみて下さい。 または計算機を使いましょう。 しかしこれは本当に本当に本当に 大きな数になります。 あなたは，指数というものが とても速く増えることをすぐに 感じるようになるでしょう。 もし 5 の 17 乗となるともっと もっともっと大きな数になります。 とにかく，これは指数の復習です。 ではちょっと指数を使った 代数を考えましょう。 では 3x，違う色を使いましょう。 3x かける 3x かける 3x は 何になるでしょうか? そうですね。かけ算について あなたが覚えている必要のあることは， かけ算の順番は関係 ないということです。 するとこれは，3 かける 3 かける 3 かける x かける x かける x と 同じだと言うことです。 ここまで復習したことに基づくと， ここにある 3 かける 3 かける 3 は，3 の 3 乗です。 そしてこちらの部分は x 自身を 3 回かけていますので， x の 3 乗です。 するとこの全体は，3 の 3 乗かける x の 3 乗と書くことができます。 または，3 の 3 乗が 何かを知っていれば， それは 9 かける 3 で，27 です。 ですから 27 x の 3 乗です。 さて，あなたは，これは 3x かける 3x かける 3x じゃないの? つまり 3x の 3 乗じゃないの? と聞く かもしれません。そうでしょう? 3x 自身を 3 回かけています。 それに私は，「はい，そのとおりです」， と言います。 するとこれは，ここにあるものは， 3x の 3 乗と解釈できます。 いままた指数法則の一つにであいました。 注意してください。 何かと何かの積があって， その全体の 3 乗がある時， それはこれらそれぞれの 3 乗の積に等しいです。 すると 3x の 3 乗は 3 の 3 乗かける x の 3 乗に等しく，それは 27 かける x の 3 乗です。 ではもう少し例を見ていきましょう。 もし 6 の 3 乗かける 6 の 6 乗があるとどうなりますか? それはとても大きな数に なりますが， ここでは私は 6 のベキの まま書きます。 ちょっと 6 の 6 乗は 違う色で書いておきましょう。 6 の 3 乗かける 6 の 6 乗は， 何に等しくなりますか? そうですね。6 の 3 乗は 6 自身を 3 回かけています。 すると 6 かける 6 かける 6 です。 そしてそれにかける，・・・ この「かける」は緑にしましょう。 いや，多分，オレンジの方が いいでしょうか。 これかける 6 の 6 乗です。 6 の 6 乗とは何でしょうか? それは 6 自身を 6 回 かけたものです。 ですから 6 かける 6 かける 6 かける 6 かける 6， これで 5 個ですからあと 1 個， 6 です。 これ全体は何になりますか? そうですね。これ全体は 6 自身を， 何回かけているでしょうか? 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 回です。 ここには 3 回，こちらには 6 回あります。 すると 6 自身を 9 回かけています。 3 たす 6 回かけています。 するとこれは 6 の 3 たす 6 乗です。 または 6 の 9 乗です。 ここでもまた，もう一つの 指数法則に出あいました。 指数をとる場合，この 場合 6 の 3 乗で， この数 6 が基数です。 この基数の指数が 3 です。 同じ基数の 2 個の 指数をかける場合， その指数をたすことができます。 もう少しこの例を見ていきましょう。 これはマジェンタ色で書きましょう。 2 の 2 乗かける 2 の 4 乗 かける 2 の 6 乗があるとしましょう。 ここの基数は全部同じですから， ですから指数部分を たすことができます。 これは 2 の 2 たす 4 たす 6 乗に等しいです。 それは 2 の 12 乗に等しいです。 この意味が通るといいです。 なぜなら，ここでは 2 自身が 2 回，2 自身が 4 回， 2 自身が 6 回かかっています。 これらを全部かければ，2 自身は 12 回かかっていますので 2 の 12 乗です。 ではもう少し変数を使って 抽象的に考えてみましょう。 しかしそれでも考えは まったく同じです。 x の 2 乗，または x の平方 かける x の 4 乗は何でしょうか? さっき見た法則を使ってみましょう。 ここにはまったく同じ基数 x があります。 すると x の 2 たす 4 乗になります。 それは x の 6 乗です。 もし私を信じられない場合は， x の 2 乗は何ですか? それは x かける x に 等しいです。 それにかけることの， x の 4 乗です。 それは x 自身を 4 回かけます。 ですから x かける x かける x かける x です。 x 自身を何回かけていますか? 1, 2, 3, 4, 5, 6 回です。 x の 6 乗です。 では同じようなものを もう一つ考えてみましょう。 より多くの例題を見れば， よりわかると思います。 では他の指数法則も見てみましょう。 これまでのものを混ぜたものです。 a の 3 乗の 4 乗があるとしましょう。 まずここでは法則を言って，それが なぜかをおみせしましょう。 何かの指数があって， その指数がある場合， 指数部分をかけ算できます。 するとこれは a の 3 かける 4 乗， a の 12 乗に等しくなります。 どうしてこれが意味が 通るのでしょうか? そうですね。これは a の 3 乗自身を 4 回かけています。 するとこれは a の 3 乗かける a の 3 乗 かける a の 3 乗かける a の 3 乗です。 すると，同じ基数があるので， 指数部分をたすことができます。 するとこれは 3 かける 4 に なるでしょう。 これは a の 3 たす 3 たす 3 たす 3 乗です。 これは a の 3 かける 4 乗， つまり a の 12 乗です。 ではこのビデオでこれまでに見た 指数法則の復習をしましょう。 ただ，何が指数かというのは もう良いでしょう。 もし x の a 乗かける x の b 乗があった場合， これは x の a たす b 乗に 等しいです。 それはここで見ました。 x の 2 乗かける x の 4 乗は x の 6 乗，2 たす 4 乗に等しかったです。 また，x かける y の a 乗がある時には， これは x の a 乗かける y の a 乗と同じです。 それもこのビデオの前の方で 見ました。ここです。 3x の 3 乗は 3 の 3 乗かける x の 3 乗と同じです。 それはここで言っている ことと同じです。 3x の 3 乗は 3 の 3 乗かける x の 3 乗と同じです。 そしてさっき見た最後の法則ですが， x の a 乗の，これ全体の b 乗というのは， x の a かける b 乗に等しいです。 それはここで見ました。 a の 3 乗の 4 乗は， a の 3 かける 4 乗，a の 12 乗に等しいです。 ではもっと複雑な問題を解くために， これらの法則を使っていきましょう。 もっと複雑な問題を解いてみます。 そうですね。たとえば，何がいいで しょうか? 2xy の 2 乗かける， (-x 2 乗かける y) の 2 乗かける 3 x の 2 乗 y の 2 乗です。 これを簡単化 したいと思います。 どこから始めたらいいでしょうか。 多分この真ん中がいいでしょう。 これは -1 かける x の 2 乗かける y 全体の 2 乗とみることができます。 そしてこれ全部を 2 乗するということは， これらのそれぞれを 2 乗するということです。 するとここのこの部分は -1 の 2 乗かける x の 2 乗の 2 乗かける y の 2 乗です。 もしこれを簡単化すると， -1 の 2 乗は単に 1 で， x の 2 乗の 2 乗は， さきほどやったように，指数を かければ良いですから， x の 4 乗でそれに y の 2 乗です。 これがこの真ん中の項を 簡単化したものです。 そして，これを他の 部分とあわせます。 他の部分は 2xy の 2 乗と あとは 3x 2 乗 y の 2 乗です。 これであとは全部を かければ良いです。 かけ算について習ったことですが， かけ算はどんな順番で 計算してもかまいません。 ですから単に並びかえましょう。 これは，2 かける x かける y の 2 乗かける x の 4 乗かける y の 2 乗かける 3 かける x の 2 乗かける y の 2 乗です。 これを並びかえることができるので， 私は簡単に簡単化できるように 並びかえたいと思います。 まずは 2 かける 3 があります。 それから x の項があります。 x の項，それはこの色で書きましょう。 x かける x の 4 乗 かける x の 2 乗があります。 それから次は y の項です。 かける y の 2 乗 そしてもうひとつ y の 2 乗があって， もうひとつ y の 2 乗があります。 ではこれは何に等しくなるか? 2 かける 3 はもうわかっています。 それは 6 に等しいです。 x かける x の 4 乗 かける x の 2 乗は， 1 つ思い出して欲しいのは， x は x の 1 乗と同じということです。 どんな数でもその 1 乗はその数です。 すると，2 の 1 乗は単に 2 です。 3 の 1 乗も単に 3 です。 するとこれは何に 等しくなるでしょうか? これが等しいのは，・・・。 ここには同じ基数 x があります から指数をたすことができます。 x の 1 たす 4 たす 2 乗です。 このたし算は次の ステップでやりましょう。 それから y です。y は y の 2 たす 2 たす 2 乗です。 ではこれは何になるかというと， それは 6 かける x の 7 乗， かける y の 6 乗です。 また，もう知っていること かもしれませんが， 興味あることを 1 つ考えて欲しいです。 それは何かの 0 乗は 何になるかという質問です。 7 の 0 乗は何に 等しくなりますか? これは何かというと， もしかしたら直感に 反するかもしれませんが， これは 1 に等しいです。 1 の 0 乗も 1 に等しいです。 0 でない数，ここで 0 でないと いうのが重要なのですが， 0 でない数はどんな数でも， その 0 乗は1 に等しくなります。 なぜそうなのか，ちょっとした 直感の手助けをあげましょう。 こういうふうに考えてみて下さい。 3 の 1 乗，指数だけ 書いてみましょう。 3 の1 乗，2 乗，3 乗を考えます。 ここでは数 3 を使ってみます。 3 の 1 乗は 3 です。 これは意味が通ると思います。 3 の 2 乗は 9 です。 そして，3 の 3 乗は 27 に等しいです。 もちろん，ここでは 3 の 0 乗が 何かを求めようとしています。 ちょっと考えてみて下さい。 毎回指数が減るとどうなるか， 毎回指数が 1 減ると，3 で 割っていることになります。 27 から 9 に行くには 3 で割ります。 9 から 3 に行くには 3 で割ります。 するとこの指数から この指数に行くには， やはり 3 で割るべき かもしれません。 これは証明ではありませんが これが何かの 0 乗が， 1 になる理由です。 次のビデオでお会いしましょう。