練習の例題問題: 数を分類する

循環する数 3.4028 はどんな数の集合に属するでしょうか? この問題に答える前に， この数はいったいどんなものかを考えましょう． 特にこの上の線の意味を考えましょう． この2と8の上にある線は これが永久に繰り返しになることを示します． つまり 3.4028 の 28がずっと続いていく数を このように示すことができます． 私はこれを永久に書き続けることができます． そしてあたりまえですが，2と8 の上に線を ひくだけの方が永久に書くよりも簡単です． では，これがどの数の集合に属するのかを考えましょう． そうですね．これまでに習った範囲だと， 数の集合として一番広いものは実数です． そしてこれは確実に実数に属します． 実数は基本的に数直線全てを示すものです． そしてここが-1, 0, 1, 2, 3, 4 とすると 3.4028 は少しだけ 3.4 よりも大きく， 3.41 よりも少し小さいです． ですからこのあたりにあります． 数直線上に確実にあります． ですからこれは確実に実数になります． しかしこれが有理数かどうかはそんなに明らかではありません． 思い出して下さい，有理数というものは， 比，つまり分数として表現のできるものです． もし私が p が有理数であると言えば， p は2つの整数の比として示すことができます． p が有理数というのは 2 つの整数の比として示すことができるということです それは p を 2 つの整数 m と n の比， つまりn分のmとして示すことができるという意味です． ですから質問は，私はこれを2つの整数の比として示せるか? です． 他の考え方は，これを分数として示せるか? です． そうするために，実際にこれを分数で書いてみましょう． x をこの数と等しい数とします． つまり x は 3.4028 の繰り返しに等しいとします． ここでちょっと 10,000ｘが何になるかを考えてみましょう． どうして突然私がここで 10,000x を考えようと言ったかですが， それは小数点を右端に持ってきたかったからです． そうしたかった理由はすぐお見せします 10,000x, これは何に等しいでしょうか? 10 をかけるたびに，小数点は1つ右に動きます． 10,000 は 10 の 4 乗です． ですから，これは小数点を右へと 1, 2, 3, 4つ動かすことと同じです． すると 34,028 になりますが， この28 がまだずっと繰り返していたことを忘れないようにしましょう ずっと続いています． ここでは数全体は4つ左に． または小数点が4つ右にずれたと見ることができます． これは意味が通りますね． これはもともと3と2分の1に近い数です． それを 10,000 倍したので，35,000に近い数になります． では100ｘを考えましょう． また突然 100 倍ですが，今回は私は，2つの循環小数をつくって， ひき算をしたら循環する部分が消えるようにしたいのです． そうすると，これまでの伝統的な循環しない数になります． 100x ですけれども この場合もこの小数点が 2つ右へ今回は動きます． 100x は 300... -- ちょっとそろえておきます． 340.28 で循環します． 28 の循環をこちらに書いてもいいですが， そうするのは特に意味はありません． 小数よりも後に書くようにしましょう． こちらでも 28 が繰り返しになっています． ここで，ちょっと面白いことが起きています． これら2つの数，これらは単に x の倍数ですが もしの上の数から下の数をひくと，どうなりますか? そうですね．繰り返しの部分が消えてしまいます． ではそうしましょう． この両辺を辺々ひきます． するとこの方程式は 10,000x ひく 100x で，それは 9,900x になります． こちら側は小数点以下がこう消えてしまいますから， 34,028 ひく 340 が何かを求めるだけです． ちょっとやってみましょう 8 は 0 よりも大きいので， 繰り下がりは不要です． 2 は 4 よりも小さいので 繰り下がり，または再編成が必要です． しかし 0 から借りてくることはできません． そして 0 は 3 よりも小さいのでここでも 再編成が必要ですね． では，4 から借りてきましょう． すると 4 から1つとると，これは3になります． そしてこれは 10 になります． そして2 の桁は10から1つ借りてくることができます． 9 になり，こちらは12になります． これでひき算ができます． 8 ひく 0 は 8 です． 12 ひく 4 はやっぱり 8 です． 9 ひく 3 は 6 です． 3 ひく 0 は 3 です． 3 ひく 0 は 3 です． すると 9900x は 33,688 に等しくなりました こちらからは 340 をひいただけですね． するとこれは 33,688 です． では，これを x について解くならば， 両辺を 9900 で割ることになります． 両辺を 9900 で割りましょう． 左辺を 9,900 で割ります． 右辺を 9,900 で割ります． すると，どうなりますか? こちらはxだけになりますね． そして右辺はx は分子が 33,688 で分母が 9,900 に等しくなります． ではこれまでにこうしたことの意味は何でしょう? そうですね x はもともとこの数でした． 最初に私達が考えようとした循環する数です． そして少し代数の操作をして その数の倍数から他の倍数をひくことで， x とまったく同じ数を分数で表現することができました． ここにはもう繰り返しの形はありません． ただこれは既約の形ではなくて 2とか4でも割れるでしょう． でも既約の形はここでは問題ではありません． 重要なのは，このx，この繰り返しのある数が 分数として表現できるかどうかです． 分数，つまり2つの整数の比としてです． つまりこの数は有理数です． そしてこの方法は， この数だけにしか使えないわけではありません． 繰り返しのある小数であれば，どんな数でも この手法を使って有理数にすることができます． ですから一般的に，循環小数は有理数です． πのような無理数ではけっして繰り返しは起きません． 他の集合についでは，ここでは明らかだと思いますが， この数は整数ではありません． 整数というのは，こういう数のことです． するとこれは整数の間のどこかにあります． これは自然数でもありません． 自然数は整数の一部分ですから ですからこれは実数で，また有理数です． ここでちょっと日本語について補足します.. 日本語では整数の比のある数を有理数といいます 有理数 そして整数の比がない数のことを無理数といいます. 私が最初に習ったときには,「無理な数っていったいなんなんだ」と思いました． 有理数というのもよくわからなかったのです． 有理とは理（り,ことわり）のある数という意味ですけれども それは理由のある数ということで,何の理由があるんだろう」と思いました. 無理な数とか無理じゃない数といわれても 私にはよくわからなかったのです. ところが英語を習ってわかったのですが, 有理数はラショナルナンバー (Rational number) といいます. このラショナル(rational)の最初の部分にレシオ(ratio)とありますが これは比という意味ですね．まあ同じ語源です． ですから有理数を比のある数ということで有比数と言い そして無理数のことを無比数と 言ってくれていたらわかりやすかったかもしれないですね． ただちょっと面白いと思ったのは日本語にも「割り切れた」というと 「納得した」という意味があることです. 「割り切れない気持ちが残る」とは納得できないということです. ピタゴラスの時代には割り切れる数が世界の理にあっていると いう考えがあったようで, 割り切れる割り切れないを 理（ことわり,り）にかなった数かどうかという風に見たということです しかし,個人的には数学では比の方に着目しているので 有比数,無比数としてくれた方が 私には混乱が少なかったかもしれません． ただ,有理数，無理数という言葉にも歴史的な意味があるようです.