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循環小数を分数に変換する (2 パートのうちのパート 2)

0.363636...や 0.714141414...や 3.257257257...のような循環小数を分数に変換する方法を学びましょう。 Sal Khan により作成されました。

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前回のレッスンでは繰り返す数字が一桁の循環小数を分数にする例題をやりました 今回のレッスンでは繰り返す桁が複数ある循環小数を例に取り上げていきます どうしましょうか0点 0.36ここが繰り返しますこれが意味しているのはゼロの後小数点以下に振られた このバーの数字 36が3636 36とえいえんに繰り返すということです日本ではバーではなく 数字の上にドットを書きますここでのキーポイントは 桁を上げていくために前回のレッスンで行ったのと同じく これを変数 x で表していくことです 桁を上げていくために通し気にして10倍し 小数点の位置を右に一つ移します小数点 の位置を移しても小数点以下で同じ数字が繰り返すことに変わりはありません では小数点の位置を2つ右に移すにはどうしたらいいでしょう 2つ右に移す実はこの等式を100倍 言い換えれば中の2乗をかければいいのです よって左辺は100 x となり=のどうなるでしょう 小数点の位置を右に2つ移動させていきます 1にすると100 x =の100 x が=の 小数点の位置がここに移ったので36.36363636と永遠に続く数とイコールと なります この下に x =の四季を書き写し 100 x から x を引いていきます x = 0.363635 おくとえいえんに続きますこのように100倍しても小数点以下で3登録がずっと続く ことに変わりはありません 上の段ぽ下の段でなられてみると数字の並びがうまく比較できます こうすることで 100 x から x を引くことで小数点以下の循環小数の部分が打ち消し合うと よくわかります では引いていきましょうどちらのへんも引き算をしていきます 左辺は100 x - x よって99 x となりますそして右辺は少数 10以下が打ち消し合うのでこの部分だけの引き算になり 36-0で36が残ります 36ですここから両辺を99で割っていきます すると左辺は x だけが残りこれが= 36ある99分母分子ともに旧ではれますので 約分していきます q で割って約分していくと分子は4 分母は11となりますよって 0.36 363636と繰り返す循環小数は 4/11とできましたもう一問 面白い例題をやっていきましょうさて何にしましょう x とイコールとする循環小数をいくつに設定しましょう 0.714で14が繰り返されます ここでもやっていくことは同じです注意したいのは714が繰り返されるのではなく一 音が繰り返されるという点です よって0.7141414と一音が永遠に続くいますこれを = x としますここで で小数点以下が3桁なので等式の両辺を1000倍しようと考えがちです そうすれば小数点以下の7市4がすべて打ち消されると思うからです けれどもこれは狙い通りにはいけません今までのように 小数点の位置を移動さ ていることで繰り返す少数を歌唱引き算をして 打ち消そうとしていますこのケースでは小数点以下に数字が三つありますが繰り返さ れる数字は見てただけなので 等式を重に委譲しますよってここでも100倍していきますよって100 x =小数点の位置が2つ右に動くので 12よって71.4141414市と続きます よってここは=の71.4141414 てんてんそしてこの下に x =の四季を書き写します x = 0.7141414 ここで気づいてほしいのが小数点第人以下の循環する少数がぴったり一致している点 です これをふまえ引き算をしていきます左辺は100 x - x で99 x そう してこちらは1414と続く箇所が打ち消し合います よって71.4引く0.7 これなら暗算でもできそうですがこの桁は弾けないので上の桁から借りてきます よって14-7としてここは化したので 0ここ に小数点をうち14-7で7 70-0は70こうして99 x = 70.7が得られましたここから両辺を99で割っていきますすると少数が分子にある 分数という妙な形になりますがこれはあとで整えます 両方 編を99で割っていきますこちらも99で割っていきますよって x = 70.7割る99が得られました これはきちんとした分数の形になっていませんこの分母が少数になっています これは簡単に整えられます 分母分子ともに銃をかけていくだけで 分数ではなくなりますでは分子20をかけ 分母にも銃をかけていきますこうすると 707破ることの997107破ることの990となります さらにもう一問やっていきましょうではこのような数にします 1失礼3.257 ここが繰り返されますではこれを分数の形にしていきます ここでもこれを x としますここで着目するのはこの数が 3.257257257と に後7がずっと続く店です この3桁がずっと繰り返されるので x を1000倍 つまり x を中の惨状でかけていきます こうすることで繰り返される少数の箇所を打ち消し合ってい いますでは線 x を置きます線 x はいくつになるでしょうか 1000倍なので小数点の位置が1 にっ 3つ右に移りますよって=の3257で小数点の下に に後7が繰り返されます に後7に後7とえいえんに続きますここから x を引いていきますここに x ウォーキ x =さんの後小数点以下に に後7に後7 に後7と続いていきます てんてんてんえいえんに続きますここで着目しましょう x を1000倍している方も小数点以下に に後7が続いていますのでこの引き算をすると小数点以下が打ち消し合います では引いていきます左辺はあるものが線あってそこから同じあるものを一つ引くので あるものが990 q 残りますこれら=の9カ所が打ち消しあって消えますので これが=-7-3 day 4 そして1の位に子10の位人に100の位にさんが入りますよって 999 x = 3254となります そしてここから両辺を999で割っていきます こちらのへんも999で割って両辺ともにしますよって x =3254ある 999が得られましたこれは仮分数の形で分母より 分子の方が大きいままですこれを真分数の形にすることもできます ここで帯分数の形で考えると分数の箇所が元の循環小数のうち 0.257繰り返すカ所にあたり ぶー数を外に出ている箇所が整数の山だとして ケース さんができますあるいは単純に999が 3254の中にいくつ入っているのかで求められます 3つ分入っているとわかりますねその残りが 循環小数の部分です単純に割る方法でやってみたいと思います 999が3254の中にいくつ入っているでしょうか まず3つ分入っています根元の循環小数が 3.257であることからもわかりますね 破った残りを求めていきます3かける級で 27さらに3かける級で 27繰り上がったにを足して29 3かける級で27に繰り上がった3を足して29 この引き算した残りは 1の位は上野くらいから一つ借りてきて 1の位を14とします十の位は1減って a 4色を変えましょう 十の位は1減って a 4そして4は旧より小さいのでここでも上のくらいから一つ 借りてきます よって中もくらいは14になって100の位は 市編 って1になりますこの位置も9より小さいので上のくらいから一つ借りていきますよっ て100の位は11で千くらいは1減ってんに 14-7は714-9話5 11-91に よって残りはこれで合っていますね はいよってこれを帯分数にすると三島999分の257 これで完成です