平方根入門

もしあなたが何か映画を見ていて， 誰かが黒板でファンシーな 数学をやっていると， たいていこんな記号を 見ることでしょう。 これは根号，ルート，の記号です。 これは平方根をとるために 使う記号です。 他の種類の根もあります。 しかしあなたは， この意味は何ですか? と尋ねるでしょう。 これまで指数，冪について 少し学んできましたので 平方根の記号，または， ルート記号，根号を 理解することはそんなに 難しいことではありません。 では例から始めましょう。 3 の 2 乗は何か 知っていますね。 3 の 2 乗は何ですか? それは 3 かける 3 と同じことで， 9 に等しいです。 しかしこの逆をしたかったら どうでしょうか? もし 9 から始めて， 2 乗したら 9 に等しいのは 何かと聞いたら? その答えはもう 3 だと わかっていますが， しかし，これを聞くために どんな記号が使えるのでしょうか? もう想像がつくと思いますが， その記号とはこの根号です。 ルート(根号)の記号です。 するとそれをルート 9 と 書くことができて， こうやって見れば，よし， 2 乗したら 9 に等しいものは 何か? と読めます。 そして，これが等しいのは， これは 3 に等しいです。 ここで私はこれら 2 個の 等式をよく見て欲しいです。 なぜなら，これがルートの 記号の基本だからです。 いつも逆の演算があります。 たし算にはひき算，かけ算には 割り算があるように， べき乗にもその逆の演算， ルートがあります。 (注: 分数指数を考えると指数部分の逆数。 この時点ではまだ対数は扱いません) もしルート 9 と言えば， それは 2 乗して 9 になるものは 何かという意味です。 それは 3 です。 3 の 2 乗は 9 に等しいです。 ほかにもいろいろできます。 4 の 2 乗は 16 に等しいです。 ではルート 16 は何ですか? それは 4 に等しいです。 もう一度みせましょう。 そうですね。今回は ルートから始めましょう。 ルート 25 は何になりますか? これは 2 乗すると 25 になる数です。 ある数で，それは 2 乗 すると25 になる数。 その数とは何か? それは 5 に等しいです。 なぜなら，5 の 2 乗が 25 に 等しいとわかっているからです。 ところで，あなたのうち何人かは， ちょっと聞きたいことがあるでしょう。 なぜなら私が -3 をとって， それを 2 乗すると， これもまたプラスの 9 に なるからです。 同じように， -4 をとって 2 乗 すれば，プラス 16 になります。 -5 の 2 乗もプラス 25 です。 するとここにあるものは， なぜ +3 または -3 には ならないのでしょうか? それは実は場合によります。 マイナスの場合を考える ことは理にかなっています。 しかしこのような根号を見た場合， これは普通，「主平方根」と 呼ばれる記号です。 「主平方根」。 英語では principal square root，主平方根。 これについてはこの記号を 平方根の正をとる記号と 考えることもできます。 もし 9 の負の平方根が欲しい場合， こんなふうに書くかもしれません。 マイナスの・・・。 ちょっとスクロールします。 こんなふうに書くでしょう。 マイナスルート 9。 これは -3 に等しくなります。 これについて興味あることは， この等式の両辺を 2 乗 するとどうなるか。です。 この等式の両辺を 2 乗して みると，どうなりますか? 負の数を 2 乗すれば正になる のでこれは正の数になります。 すると，ルート 9 の 2 乗は， 単純に 9 です。 右辺は -3 の 2 乗です。 -3 かける -3 は +9 です。 上手くいっています。 9 は 9 に等しいです。 実はこれは 興味深いことです。 これをちょっともう少し 代数的に書いてみましょう。 もし私たちが， 9 の主平方根が x に 等しいと書いたとすると， これを満たす x は 1 つだけです。 数学の標準の慣習に従うと， つまりほとんどの数学者は， この根号を主平方根を とる記号だと同意します。 これは「正の」平方根 という意味です。 するとこの場合 x は 1 つだけで， これを満たす x は 1 つだけで， その x は 3 に等しいです。 さて，もし私が x の 2 乗が 9 に等しいと書くと， これは実はちょっと違います。 x は 3 に等しいは確かに これを満たします。 この場合，x は 3 に等しいは ありですが，もう一つあります。 これを満たすもう 1 つの x があり， この x はまた -3 にも等しいです。 なぜなら -3 の 2 乗も 9 に等しいからです。 するとこれら 2 つのこと，これら 2 つの文は，ほとんど等価ですが， しかしこちらを見た時には， 2 個の x がこれを満たします。 こちらを満たすのは 1 個の x だけです。 なぜならこれは正の 平方根だからです。 もし誰かが 2 個の x が 満たすことと 等価なものを書きたい場合， プラスマイナスルート 9 が x に等しい。 すると x は +3 または -3 に なることができます。