立方根入門

これまでに平方根について 少し学んできました。 たとえば，7 の 2 乗が 49 に 等しいと言えば， それは 7 というのはルート 49 に 等しいということと等価です。 平方根 (ルート) は基本的に 何かの 2 乗をとることの逆をします。 実は，こんなふうに書くこともできます。 ルート 49 と書くと， これが何であれ，この 2 乗は 49 に等しいという意味です。 もしこの数 2 乗をとれば， それは 49 になります。 この記号は 49 だけではなく， どんな数でも真です。 ですから，もしルート x と書けば， そしてそれを 2 乗すれば， これは x に等しくなります。 このルートというのは，ですから 評価することができて， その主平方根をとることで どんな x でも真になるものです。 さて，あなたがもっと 進んだ数学を学ぶと， 状況は違ってくるのですが， しかし普通は，もし何かの 平方根をとると， x は非負の数の必要があります。 x というのは非負の数になる 必要があります。 これはあなたが虚数や複素数を 考えるようになると違ってきます。 しかし，普通は主平方根を考えます。 この根号の中が何であれ， これは非負の数になります。 負の数にはならないということです。 なぜなら，少なくともこれまで 習ってきた数では， 2 乗して負の数になることは ないからです。 するとこれが定義されるのは， またはこれの意味が通るのは， 普通は，これが非負の数である 必要があります。 しかしとにかく，このビデオの 焦点は平方根ではありません。 ここまでは実は復習でした。 では立方根，または 3 乗根を考え始めましょう。 想像できるかもしれませんが， 何かの平方とか平方根という のはどこから来たのでしょうか? これはある正方形の面積を求める という考えから来ています。 もしこのような正方形があって， 一辺の長さが 7 としましょう。 正方形なら全ての辺の長さは 7 です。 もしこの面積を求めたければ， 7 の平方をとります。 7 の 2 乗です。 平方とは 2 乗するという意味です。 それがこの面積になります。 もし正方形があって， ちょっと正方形には見えませんね。 正方形は全部の辺の長さが同じです。 もし面積 x を持つ正方形があれば， もしこの面積が x であれば， その辺の長さは何ですか? それはルート x になります。 全ての辺の長さがルート x の 長さになります。 こちらも，こちらもルート x です。 英語のルートは根という意味で， 平方根はここから来ていますし， 平方 (2 乗) の意味も ここから来ています。 では，立方根， 3 乗根はどうでしょうか? これも同じ考えです。 もし立方体があれば， 素早くできるだけ上手く 立方体を書いてみます。 もし立方体があれば，その辺は 全部同じ長さになります。 するとこれが 2 × 2 × 2 の 立方体とします。 この体積は何でしょうか? この体積は 2 × 2 × 2 で， または 2 の 3 乗， 2 の立方です。 これは 2 の立方です。 これがなぜ立方という言葉を 使うかの由来です。 なぜなら，これはそれぞれの 辺の長さが 2 の立方体の体積になるからです。 そしてこれはもちろん 8 に等しいです。 しかし，もしこれの逆を 見たらどうでしょうか? もし立方体から始めたら どうなりますか? もしこの(立方体の) 体積から 始めたらどうかということです? たとえばこの体積が 8 (立方 単位) に等しいとしましょう。 そしてこの辺の長さを 求めたいと思います。 つまり辺の長さの x が何かを 求めたいと思います。 こちらも x，こちらも x です。 これは立方体なので， 全部の辺の長さが同じです。 これを表現するには 2 つの方法があります。 x かける x かける x，つまり x の 3 乗が 8 に等しい。 あるいは，立方根 (3 乗根) の 記号を使うこともできます。 これは根号に小さな 3 が ついたものです。 または，x が等しいのは， これは平方根にとても 似ていますが，．．． こう書くと平方根， ルートの 8 になります。 しかしここでは立方根，3 乗根で あることをはっきりさせるために ここに小さな 3 を書きます。 理論的には平方根 でも， ここに小さな 2 を 書くことができます。 これは冗長です。 もしここに何も数がなければ， 普通は平方根だと考えます。 しかし立方根 (3 乗根) を 求めたい場合には， それをちゃんと言う必要があります。 それがこの小さな 3 です。 この小さな 3 をこの根号の 小さな切りかきのここに 書く必要があります。 するとこれは x が何か数だとして， もしそれを立方すると 8 に なる数だということです。 ここまでのことを頭に置いて， いくつか例を見てみましょう。 たとえば，27 の立方根を 求めたいとしましょう。 これは何になるでしょうか? もし，これが x に等しいというと， これは 27 というのは x の 3 乗に 等しいということと等価です。 では x は何になりますか? x かける x かける x が 27 に等しい。 ここで私が思いつく数は 3 です。 または，この x，ちょっと 下にスクロールしましょう。 x は 3 に等しい。 では，1 つ質問です。 こんなものは書くことが できるでしょうか? ちょっと新しい色にしましょう。 立方根の，-64 と書きましょう。 よくある平方根については 話をしましたが， ここに負の数をいれると， 少なくとも虚数について 学ぶまでは， これをどうしていいのかは わかりません。 しかしこの場合は何かできますか? もし何かの立方をとる場合，負の 数になることはあるでしょうか? はい，あります。 もしこれが x に等しいとすると， これは-64 が x の 3 乗に等しい と言っていることと同じです。 x は何でしょうか? そうですね。-4 かける -4 かける -4 を計算すると? -4 かける -4 はプラスの 16 で， それに -4 をかければ -64 です。 これはマイナス 64 に等しくなります。 するとこの x は何になれますか? x はマイナス 4 になれます。 x はマイナス 4 に等しくなれます。 するとこれまでわかっている 数学に基づくと， 実は負の数の立方根を とることができます。 それに，ここでそれを止める 必要はありません。 4 乗根をとることもできます。 その時にはここは 4 になります。 5 乗根，6 乗根， 7 乗根をとることもできます。 あなたがもっと数学を学んで いくと，そういう話もするでしょう。 しかしほとんどの場合には， 実は平方根がほとんどで， 時々，立方根を見るという 感じでしょうか。 ではそれらの根はどう 計算するのでしょうか? 立方がこのようにわかっていれば， たとえば，3 の 3 乗が 27 と わかっている場合ならば， すぐわかります。 しかし，いつでもこれを求める 簡単な方法はあるのでしょうか? たとえば私が，そうですね。 たとえば，125 の 立方根はどうかと言えば， 簡単な答えというのは，そうですね。 これを実際に求める 一番簡単な方法は， 因数分解をすることです。 特にここにあるものの 素因数分解をすることです。 そうすれば求めることが できるかもしれません。 そこで，125 は 5 かける 25 で， 25 は 5 かける 5 だ。 そうするとこれは立方根の 5 の 3 乗だとわかります。 そうなればもちろん， これは 5 に等しくなります。 しかしもしここにもっと 大きな数があれば， その場合にはその立方根や 4 乗根， 5 乗根を 計算する簡単な方法と いうのはありません。 数が大きくなれば平方根 でもかなり難しくなります。 普通のかけ算や 割り算のように， これを簡単に計算する方法と いうのは残念ながらありません。