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立方根入門

立方根 (3 乗根) の意味とそれらをどのように求めるかを学びます。また,負の数の立方根を求める方法も学びます。

ビデオのトランスクリプト

これまでに平方根について 少し学んできました。 たとえば,7 の 2 乗が 49 に 等しいと言えば, それは 7 というのはルート 49 に 等しいということと等価です。 平方根 (ルート) は基本的に 何かの 2 乗をとることの逆をします。 実は,こんなふうに書くこともできます。 ルート 49 と書くと, これが何であれ,この 2 乗は 49 に等しいという意味です。 もしこの数 2 乗をとれば, それは 49 になります。 この記号は 49 だけではなく, どんな数でも真です。 ですから,もしルート x と書けば, そしてそれを 2 乗すれば, これは x に等しくなります。 このルートというのは,ですから 評価することができて, その主平方根をとることで どんな x でも真になるものです。 さて,あなたがもっと 進んだ数学を学ぶと, 状況は違ってくるのですが, しかし普通は,もし何かの 平方根をとると, x は非負の数の必要があります。 x というのは非負の数になる 必要があります。 これはあなたが虚数や複素数を 考えるようになると違ってきます。 しかし,普通は主平方根を考えます。 この根号の中が何であれ, これは非負の数になります。 負の数にはならないということです。 なぜなら,少なくともこれまで 習ってきた数では, 2 乗して負の数になることは ないからです。 するとこれが定義されるのは, またはこれの意味が通るのは, 普通は,これが非負の数である 必要があります。 しかしとにかく,このビデオの 焦点は平方根ではありません。 ここまでは実は復習でした。 では立方根,または 3 乗根を考え始めましょう。 想像できるかもしれませんが, 何かの平方とか平方根という のはどこから来たのでしょうか? これはある正方形の面積を求める という考えから来ています。 もしこのような正方形があって, 一辺の長さが 7 としましょう。 正方形なら全ての辺の長さは 7 です。 もしこの面積を求めたければ, 7 の平方をとります。 7 の 2 乗です。 平方とは 2 乗するという意味です。 それがこの面積になります。 もし正方形があって, ちょっと正方形には見えませんね。 正方形は全部の辺の長さが同じです。 もし面積 x を持つ正方形があれば, もしこの面積が x であれば, その辺の長さは何ですか? それはルート x になります。 全ての辺の長さがルート x の 長さになります。 こちらも,こちらもルート x です。 英語のルートは根という意味で, 平方根はここから来ていますし, 平方 (2 乗) の意味も ここから来ています。 では,立方根, 3 乗根はどうでしょうか? これも同じ考えです。 もし立方体があれば, 素早くできるだけ上手く 立方体を書いてみます。 もし立方体があれば,その辺は 全部同じ長さになります。 するとこれが 2 × 2 × 2 の 立方体とします。 この体積は何でしょうか? この体積は 2 × 2 × 2 で, または 2 の 3 乗, 2 の立方です。 これは 2 の立方です。 これがなぜ立方という言葉を 使うかの由来です。 なぜなら,これはそれぞれの 辺の長さが 2 の立方体の体積になるからです。 そしてこれはもちろん 8 に等しいです。 しかし,もしこれの逆を 見たらどうでしょうか? もし立方体から始めたら どうなりますか? もしこの(立方体の) 体積から 始めたらどうかということです? たとえばこの体積が 8 (立方 単位) に等しいとしましょう。 そしてこの辺の長さを 求めたいと思います。 つまり辺の長さの x が何かを 求めたいと思います。 こちらも x,こちらも x です。 これは立方体なので, 全部の辺の長さが同じです。 これを表現するには 2 つの方法があります。 x かける x かける x,つまり x の 3 乗が 8 に等しい。 あるいは,立方根 (3 乗根) の 記号を使うこともできます。 これは根号に小さな 3 が ついたものです。 または,x が等しいのは, これは平方根にとても 似ていますが,... こう書くと平方根, ルートの 8 になります。 しかしここでは立方根,3 乗根で あることをはっきりさせるために ここに小さな 3 を書きます。 理論的には平方根 でも, ここに小さな 2 を 書くことができます。 これは冗長です。 もしここに何も数がなければ, 普通は平方根だと考えます。 しかし立方根 (3 乗根) を 求めたい場合には, それをちゃんと言う必要があります。 それがこの小さな 3 です。 この小さな 3 をこの根号の 小さな切りかきのここに 書く必要があります。 するとこれは x が何か数だとして, もしそれを立方すると 8 に なる数だということです。 ここまでのことを頭に置いて, いくつか例を見てみましょう。 たとえば,27 の立方根を 求めたいとしましょう。 これは何になるでしょうか? もし,これが x に等しいというと, これは 27 というのは x の 3 乗に 等しいということと等価です。 では x は何になりますか? x かける x かける x が 27 に等しい。 ここで私が思いつく数は 3 です。 または,この x,ちょっと 下にスクロールしましょう。 x は 3 に等しい。 では,1 つ質問です。 こんなものは書くことが できるでしょうか? ちょっと新しい色にしましょう。 立方根の,-64 と書きましょう。 よくある平方根については 話をしましたが, ここに負の数をいれると, 少なくとも虚数について 学ぶまでは, これをどうしていいのかは わかりません。 しかしこの場合は何かできますか? もし何かの立方をとる場合,負の 数になることはあるでしょうか? はい,あります。 もしこれが x に等しいとすると, これは-64 が x の 3 乗に等しい と言っていることと同じです。 x は何でしょうか? そうですね。-4 かける -4 かける -4 を計算すると? -4 かける -4 はプラスの 16 で, それに -4 をかければ -64 です。 これはマイナス 64 に等しくなります。 するとこの x は何になれますか? x はマイナス 4 になれます。 x はマイナス 4 に等しくなれます。 するとこれまでわかっている 数学に基づくと, 実は負の数の立方根を とることができます。 それに,ここでそれを止める 必要はありません。 4 乗根をとることもできます。 その時にはここは 4 になります。 5 乗根,6 乗根, 7 乗根をとることもできます。 あなたがもっと数学を学んで いくと,そういう話もするでしょう。 しかしほとんどの場合には, 実は平方根がほとんどで, 時々,立方根を見るという 感じでしょうか。 ではそれらの根はどう 計算するのでしょうか? 立方がこのようにわかっていれば, たとえば,3 の 3 乗が 27 と わかっている場合ならば, すぐわかります。 しかし,いつでもこれを求める 簡単な方法はあるのでしょうか? たとえば私が,そうですね。 たとえば,125 の 立方根はどうかと言えば, 簡単な答えというのは,そうですね。 これを実際に求める 一番簡単な方法は, 因数分解をすることです。 特にここにあるものの 素因数分解をすることです。 そうすれば求めることが できるかもしれません。 そこで,125 は 5 かける 25 で, 25 は 5 かける 5 だ。 そうするとこれは立方根の 5 の 3 乗だとわかります。 そうなればもちろん, これは 5 に等しくなります。 しかしもしここにもっと 大きな数があれば, その場合にはその立方根や 4 乗根, 5 乗根を 計算する簡単な方法と いうのはありません。 数が大きくなれば平方根 でもかなり難しくなります。 普通のかけ算や 割り算のように, これを簡単に計算する方法と いうのは残念ながらありません。