方程式の解の数

以下の方程式のそれぞれに ついて解の数を求めましょう。 ここには 3 個の方程式があります。 具体的にこれらの方程式を解く前に， ちょっと復習として，解の数が 1 個， 無限個，解無しになるのは いつかを考えましょう。 方程式を解くことで， 1 個の解になった時， そうですね，x が何かの数に 等しいとしましょう。 抽象的にしたければ， x イコール a です。 または，実際に解いて， たとえば，x イコール 5 とか 10 とかマイナス π とか， とにかく何かの数になったとします。 もし特定の x について解く ことができたのなら， 解は 1 個です。 これは 1 個の解です。 さて，もしこれらの方程式を 完全にルールに沿って操作した時， なにかおかしなもの，たとえば， 3 イコール 5 とかになったら， そうしたら解はありません。 この理由を考えてみると， 方程式というのは，普通はそれを 満たす x を求めるというものです。 方程式の簡単化を続けていって， たとえば，3 イコール 5 とかになったら， ちょっとこう考えてみましょう。 式 3 イコール 5 を正しくするような 魔法のような x の値はありますか? いいえ，どんな x の値でも 3 を 5 に等しくはできません。 すると，どんな x の値を選んでも， これを真にすることはできません。 さて，もしこんな不思議なことになると， これは「解なし」の場合です。 一方で，もし 5 イコール 5 の ようなものになると，・・・ ちょっと 5 ばかり使っていますね。 これは 5 である必要はありません。 7 や 10 や 113 など なんでも良いです。 まあ，5 はやめておきますか。 5 が何か特別だと 勘違いされると困ります。 何かがそれ自身と 等しいという条件です。 どんな x を選んでも， この式は真になります。 まあ，この式には x がないので x の値は無関係です。 すると無限個の解があります。 さて，ここまでは ちょっとした入門でした。 ではこれら 3 個の方程式を 考えてみましょう。 ここにあるものから考えましょう。 これはひき算ができますね。 この左辺にあるこの 2 を 消したいとしましょう。 2 を両辺からひきます。 両辺から 2 をひけば， 残りはどうなるか。 これらはキャンセルされて， 左辺はマイナス 7x が残ります。 右辺は，2x で，これは キャンセルされて -9x です。 2x ひく 9x を簡単化すると， マイナス 7x です。 ですからマイナス 7x イコール マイナス 7x となります。 もうわかったでしょう。 この式はどんな x の値でも真です。 マイナス 7 かける x は， マイナス 7 かける x に等しい。 するともうこのシナリオに なっています。 しかし，13 イコール 13 じゃないよ， と言うかもしれません。 ではそうですね。もし， 両辺をマイナス 7 で 割ったらどうでしょうか? この時点で，もう今やっている ことは必要ないのですけれども， マイナス 7 かける何かの数は， マイナス 7 かけるその数に いつも等しいことはわかるでしょう。 これを続けるなら， x イコール x になります。 それから x を両辺からひきます。 すると 0 イコール 0 になります。 ここには x がないので， x の値を何にしても真です。 0 はいつでも 0 に 等しいでしょう。 するとこれらの文はどれでも， x の値を何にしても 真になります。 ですからこの方程式には 無限の数の解があります。 では，ここにある真ん中の ものを考えましょうか。 今度はちょっと違うように 解いてみましょうか。 この 2x と -9x をたします。 すると，-7x たす 3 が，これが・・・。 2x たす -9x は -7x で， そしてたす 2 です。 次は，・・・ これは薄緑色ですね。 この緑色で書きましょう。 たす 2，それはこの 2 です。 さて，7x を両辺にたしましょう。 7x を左辺にたすと， 3 だけが残ります。 そして 7x を右辺にたすと， これがなくなるので， 2 だけが残ります。 ここでしたのは 7x を両辺に 7x をたすことでした。 すると，意味のない 何かになりましたね。 どんな x であっても，その x が どんなに魔法を持っていても， 3 は 2 と等しくありません。 つまりここにあるこのシナリオ では，「解なし」になります。 「解なし」ですね。 この宇宙にはこの方程式を 満たすような x はありません。 では 3 番目をやってみましょう。 まずは 3 を両辺から ひけばいいでしょう。 この定数項を消します。 すると左辺には -7x があり， そして右辺は，2x ひく 1 があります。 そして 2x を両辺から ひくことができます。 2x を両辺からひくとどうなるか， 2x を両辺からひく．．． -9x が -1 に等しいとなります。 そして両辺を -9 で割ります。 すると x は 9 分の 1 に 等しいとなります。 このシナリオですね。 明示的に x を求める ことができました。 x は 9 分の 1 に等しい。 これはこの方程式を満たします。 するとここにあるものはちょうど 1 個の解を持ちます。