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中学 2 年生
コース: 中学 2 年生 > 単位 2
レッスン 3: 方程式の解の数方程式の解の数
ある方程式には 1 つの解があり,他のものには解がなく,さらに他のものには無数の解があるのかがどのような時なのかを見ていきます。 Sal Khan により作成されました。
ビデオのトランスクリプト
以下の方程式のそれぞれに
ついて解の数を求めましょう。 ここには 3 個の方程式があります。 具体的にこれらの方程式を解く前に, ちょっと復習として,解の数が 1 個, 無限個,解無しになるのは
いつかを考えましょう。 方程式を解くことで, 1 個の解になった時, そうですね,x が何かの数に
等しいとしましょう。 抽象的にしたければ,
x イコール a です。 または,実際に解いて, たとえば,x イコール 5 とか
10 とかマイナス π とか, とにかく何かの数になったとします。 もし特定の x について解く
ことができたのなら, 解は 1 個です。
これは 1 個の解です。 さて,もしこれらの方程式を
完全にルールに沿って操作した時, なにかおかしなもの,たとえば,
3 イコール 5 とかになったら, そうしたら解はありません。 この理由を考えてみると, 方程式というのは,普通はそれを
満たす x を求めるというものです。 方程式の簡単化を続けていって, たとえば,3 イコール 5 とかになったら, ちょっとこう考えてみましょう。 式 3 イコール 5 を正しくするような
魔法のような x の値はありますか? いいえ,どんな x の値でも 3 を
5 に等しくはできません。 すると,どんな x の値を選んでも, これを真にすることはできません。 さて,もしこんな不思議なことになると, これは「解なし」の場合です。 一方で,もし 5 イコール 5 の
ようなものになると,・・・ ちょっと 5 ばかり使っていますね。 これは 5 である必要はありません。 7 や 10 や 113 など
なんでも良いです。 まあ,5 はやめておきますか。 5 が何か特別だと
勘違いされると困ります。 何かがそれ自身と
等しいという条件です。 どんな x を選んでも,
この式は真になります。 まあ,この式には x がないので
x の値は無関係です。 すると無限個の解があります。 さて,ここまでは
ちょっとした入門でした。 ではこれら 3 個の方程式を
考えてみましょう。 ここにあるものから考えましょう。 これはひき算ができますね。 この左辺にあるこの 2 を
消したいとしましょう。 2 を両辺からひきます。 両辺から 2 をひけば,
残りはどうなるか。 これらはキャンセルされて,
左辺はマイナス 7x が残ります。 右辺は,2x で,これは
キャンセルされて -9x です。 2x ひく 9x を簡単化すると,
マイナス 7x です。 ですからマイナス 7x イコール
マイナス 7x となります。 もうわかったでしょう。 この式はどんな x の値でも真です。 マイナス 7 かける x は,
マイナス 7 かける x に等しい。 するともうこのシナリオに
なっています。 しかし,13 イコール 13 じゃないよ,
と言うかもしれません。 ではそうですね。もし,
両辺をマイナス 7 で 割ったらどうでしょうか? この時点で,もう今やっている
ことは必要ないのですけれども, マイナス 7 かける何かの数は, マイナス 7 かけるその数に
いつも等しいことはわかるでしょう。 これを続けるなら,
x イコール x になります。 それから x を両辺からひきます。 すると 0 イコール 0 になります。 ここには x がないので,
x の値を何にしても真です。 0 はいつでも 0 に
等しいでしょう。 するとこれらの文はどれでも, x の値を何にしても
真になります。 ですからこの方程式には
無限の数の解があります。 では,ここにある真ん中の
ものを考えましょうか。 今度はちょっと違うように
解いてみましょうか。 この 2x と -9x をたします。 すると,-7x たす 3 が,これが・・・。 2x たす -9x は -7x で,
そしてたす 2 です。 次は,・・・ これは薄緑色ですね。 この緑色で書きましょう。 たす 2,それはこの 2 です。 さて,7x を両辺にたしましょう。 7x を左辺にたすと,
3 だけが残ります。 そして 7x を右辺にたすと, これがなくなるので, 2 だけが残ります。 ここでしたのは 7x を両辺に
7x をたすことでした。 すると,意味のない
何かになりましたね。 どんな x であっても,その x が
どんなに魔法を持っていても, 3 は 2 と等しくありません。 つまりここにあるこのシナリオ
では,「解なし」になります。 「解なし」ですね。 この宇宙にはこの方程式を
満たすような x はありません。 では 3 番目をやってみましょう。 まずは 3 を両辺から
ひけばいいでしょう。 この定数項を消します。 すると左辺には -7x があり, そして右辺は,2x ひく 1 があります。 そして 2x を両辺から
ひくことができます。 2x を両辺からひくとどうなるか, 2x を両辺からひく... -9x が -1 に等しいとなります。 そして両辺を -9 で割ります。 すると x は 9 分の 1 に
等しいとなります。 このシナリオですね。 明示的に x を求める
ことができました。 x は 9 分の 1 に等しい。
これはこの方程式を満たします。 するとここにあるものはちょうど
1 個の解を持ちます。