連立方程式: トロルと通行料 (1/2)

あなたは，あるちょっと変わった ファンタジーランドに旅行に来ていて この丘の上にあるお城に 行くところです。 例えばプリンセスとかプリンスとか， とにかく誰かを助けようと していることにしましょう。 でも，ここに着くためには， この流れの激しい川を 越えなければなりません。 それで，この橋を渡ります。 あなたがこの橋に近づくと， トロールが現れました。 これが，そのトロールです。 トロールはこう言います， 「俺はいいトロールだから， 通行料は 5 ドルにしてやる。」 よく見ると，確かに そこには掲示板があって， 「橋の通行料 5 ドル」と 書かれていました。 でも，残念なことに， あなたはお金を持っていません。 するとトロールは言います 「じゃあ通してやれないな」 「でも，私は絶対に絶対に城に 行かないといけないんです。」 と，あなたが言うとトロールは答えます。 「そうか，それなら 5 ドルの代わりに， 俺の出す謎を解いてみよ。」 その謎とは，次のとおりです トロールはこう言います。 「俺は，この橋を渡る全ての 者から通行料を取る。 だから，金持ちだ。 そして，俺は 5 ドル札か 10 ドル札 しか受け付けない。」 まあ，ファンタジーランドでなぜ アメリカの通貨が使えるのかは ちょっと謎なのですがここは， そういうことにしておきましょう。 「俺は 5 ドル札か 10 ドル札 しか受け付けない。」 トロールが続けて言います。 「もしお前が俺に 10 ドルを 渡せば，俺は 5 ドルを返す。」 「俺は，金を貯めるために 毎日金の勘定をしている。 だから今俺が持っている札の数は 900 枚だとわかっている。」 これは書いておきましょう。 トロールは合計で 5 ドル札と 10 ドル札で 900 枚のお札を持っている。 そしてトロールは続けて言います。 「俺は同情心のあるトロールだから， もっと情報をあげよう。」 「俺の持っている全ての お札の金額は全部で… 俺が持っているこれらの 5 ドル札と 10 ドル札の金額の合計は， 全部で 5,500 ドルじゃ。」 5500 ドル。 このトロールはお金持ちですね。 この謎解きのルールはこうです。 もしあなたの答えが間違っていたら， もしくは 10 分以内に解けなかったら トロールはあなたを川に突き落とすとか あなたに何かひどいことをするでしょう。 そしてトロールは問います。 「俺の持っている 5 ドル札と 10 ドル札の正確な枚数を答えよ。」 まず，この問題で最初に考えることは， そもそも，これは解ける 問題なのか? です。 もし解のない問題だったら 一目散に引き返し，逃げ 帰った方がいいでしょう。 答えを言うと，はい， これには解があります。 では，代数的に考えてみましょう。 まず，変数を定義します。 そして，求めようとしている数を 変数で置き換えます。 私たちは 5 ドル札と 10 ドル札の それぞれの枚数を 求めようとしているので それを変数で示しましょう。 そうですね，5 ドル札の枚数は， 5 ドル札は five dollar なので，「f」にします。 5 ドル札の枚数は f。 そして，同じように， 10 ドル札の枚数は ten dollar の「t」にしましょう。 この情報をもとにして，もし… またトロールの役にちょっと戻りますか… 「俺はいいトロールなので， ヒントをあげよう。」 この情報をもとに，これらの 変数を定義したところで， 果たして，この謎の手がかりを 数学的に表すことができますか? まず，最初の手がかりを見ます。 この，5 ドル札と 10 ドル札の 枚数の合計が 900 枚という手がかりを 数式で書くことができますか? お札の合計枚数というのは それは，5 ドル札の枚数と， それは f でした。 5 ドル札の枚数 f と， 10 ドル札の枚数，これは t です。 この合計です。 すると， 5 ドル札の枚数と 10 ドル札の枚数の合計は， 900 枚に等しいです。 最初の手がかりは，数学的な式で， このように表すことができました。 f が 5 ドル札の枚数で，t が 10 ドル札の枚数の時にはこうなります。 f + t が 900 に等しい。 では，次の手がかりです。 すでに定義したこれらの変数を使って 次の手がかりも数式で 書くことができますか? では，5 ドル札の束がいくらかと， 10 ドル札の束がいくらになって いるかを，わけて考えてましょう。 5 ドル札の束は， 金額でいくらですか? 5 ドル札 1 枚が 5 ドルの金額なので， 金額は 5 かける 5 ドル札の枚数です。 もし 1 枚だったら 5 ドルです。 100 枚あったら 500 ドルでしょう。 そうすると，枚数が何枚で あっても，それに 5 をかけると それが 5 ドル札の束が 表す金額になります。 書いておきましょう。 5×f の「5f」が 5 ドル札の束の 金額がいくらかです。 同じように，今度は，10 ドル札の 束の金額はいくらでしょうか? 10 ドル札の束の金額は，お札 の枚数かけることの 10 です。 つまり 10t が10ドル札の束の金額です。 すると，全てのお札の束が示す 金額はいくらになりますか? それは， 5 ドル札の束の金額と 10 ドル札の束の 金額をたしたものです。 そしてトロールはそれが 5,500 ドルと言いました。。 つまり，このたしたものは 5,500 に 等しいということです。 このように，この 2 つ目の手がかりは， こちらの方程式で表すことができました。 するとここには 2 個の方程式があります。 それぞれの方程式が 2 個の 未知数 （f と t） を含みます。 もし，方程式を 1 つだけ使って f と t を求めようとしても， 例えば上の式の場合， たして 900 になる組み合わせは たくさんあります。 こちらの方程式にしても この左辺の式が 5,500 に 等しくなるような f と t の組み合わせは たくさんあるでしょう。 つまり，方程式 1 個では f と t の値は 1 つに決まりません。 でも，これからのビデオで 解説していきますが もし，これら両方の情報を使うと f と t がこれら両方の方程式の 関係を満たすように 解を求めることができます そして，これは，連立方程式 と呼ばれます。 書いておきましょう-- 「連立方程式」です。