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レッスン 3: 代入法(置換法)により連立方程式を解く

置換法 (代入法) の復習 (連立方程式)

置換法 (代入法) は連立方程式を解くための 1 つの方法です。この記事ではあなたが自分で試してみることができるいくつかの例題と練習問題を使って，置換法の復習をします。

置換法 (または代入法) とは何ですか?

置換法 (または代入法ともいうことがある) とは線形連立方程式を解くための 1 つの手法です。いくつかの例題を見てみましょう。

次の連立方程式を解くよう求められたとしましょう:

\begin{aligned} 3 x + y & = - 3 \\ x & = - y + 3 \end{aligned}

2番目の方程式が

x

について解かれました。ですから最初の方程式について

x

に式

- y + 3

を代入することができます:

\begin{aligned} 3 x + y & = - 3 \\ 3 (- y + 3) + y & = - 3 \\ - 3 y + 9 + y & = - 3 \\ - 2 y & = - 12 \\ y & = 6 \end{aligned}

この値を元の方程式の 1 つに置換 (代入) します。たとえば，

x = - y + 3

です。もう一つの変数について解きます:

\begin{aligned} x & = - y + 3 \\ x & = - (6) + 3 \\ x & = - 3 \end{aligned}

この連立方程式の解は

x = - 3

y = 6

です。

ここで得た解を元の方程式に代入することで確認することができます。

3 x + y = - 3

を試してみましょう。

\begin{aligned} 3 x + y & = - 3 \\ 3 (- 3) + 6 & \overset{?}{=} - 3 \\ - 9 + 6 & \overset{?}{=} - 3 \\ - 3 & = - 3 \end{aligned}

はい，この解は正しかったです。

次の連立方程式を解くよう求められたとしましょう:

\begin{aligned} 7 x + 10 y & = 36 \\ - 2 x + y & = 9 \end{aligned}

置換法を使うためには方程式のうちの一つを

x

または

y

について解く必要があります。2 番目の方程式を

y

について解きましょう:

\begin{aligned} - 2 x + y & = 9 \\ y & = 2 x + 9 \end{aligned}

これで式

2 x + 9

を最初の方程式の

y

に代入できます。

\begin{aligned} 7 x + 10 y & = 36 \\ 7 x + 10 (2 x + 9) & = 36 \\ 7 x + 20 x + 90 & = 36 \\ 27 x + 90 & = 36 \\ 3 x + 10 & = 4 \\ 3 x & = - 6 \\ x & = - 2 \end{aligned}

この値を元の方程式の 1 つに代入します。たとえば，

y = 2 x + 9

です。もう一つの変数について解きます:

\begin{aligned} y & = 2 x + 9 \\ y & = 2 (- 2) + 9 \\ y & = - 4 + 9 \\ y & = 5 \end{aligned}

この連立方程式の解は

x = - 2

y = 5

です。

置換法についてもっと学びたいですか? このビデオをチェックしてみて下さい。

問 1

次の連立方程式を解きましょう。

\begin{aligned} - 5 x + 4 y & = 3 \\ x & = 2 y - 15 \end{aligned}

x =

y =

もっと練習したいですか? この練習問題をチェックしてみて下さい。

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