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分数の辺を持つ面積を求める 2

分数の長さの辺をもつ長方形の面積はどんなものかの直感について議論します。

ビデオのトランスクリプト

ここに 正方形があります そして この正方形のたての長さが 1メートルだとしましょう たての長さは ここですね これが 1メートルです そして 横の長さも1メートルだとしましょう 今私が話しているのは この正方形全体のことで 色がついた部分のことではありません それで ここの 横の長さも1メートルです この正方形の面積は いくらになるでしょうか 色がついた部分ではなく この正方形全体です この全体の面積は 正方形全体の面積は たて × 横 ですから 1メートル かける 1メートル 1かける1は もちろん1ですね そして 単位は メートル かける メートルですから 平方メートルと書いておきましょう 英語ではスクエアメーター又は メータースクエアードと読んでもいいでしょう これは ここに置いといて では 色がついた部分について考えていきましょう さて これはどういうことでしょうか それで 色がついた部分の 色がついた部分の面積はいくらになるでしょうか ここで いったんビデオを止めて 自分で考えてみて下さい おそらく まず 皆さんが思いつくのは ここにあるこの正方形全体が 分割されて 同じ大きさの小さな長方形を作っている ということでしょう それで 一つの考え方は これらの同じ大きさの長方形の一つの面積は それぞれいくらになるでしょう 例えば この ここにある この長方形の 面積はいくらでしょうか この面積を求めるには この長方形は 全体の正方形の 何分の何なのか考えてみましょう そして それを求めるには まず この正方形全体が いくつの長方形に分割されているのかを 見ていかないといけません 数えることもできますが それとも または 行が 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 行あり そして それぞれの行が 1 2 3 4 5 6 7つの列に分かれていますから 行が10と 列が7つで 小さい長方形が70個あります つまり 全体の正方形が70個の 同じ大きさの小さい長方形に 分割されているということですから ここにある この一つの長方形の面積は この正方形全体の70分の1 つまり 1平方メートルの70分の1 つまり 1/70 ㎡ ですね それが、この一つ分 これらの長方形のうちの一つ分です では 色がついた部分の面積はどうなるかと言うと これらの小さい長方形がいくつあるか 数えれば良いわけですから 行が 1 2 3 4 5 6 7 8 9行で 1 2 3列 ですから この色がついた部分は 27個の これらの 同じ大きさの小さい長方形を含んでいます それで 色が付いた部分には 27の小さい長方形が入っていて それぞれの小さい長方形の面積が 1/70平方メートルですから どうなるかと言うと これを計算すると 色が付いた部分の 面積を得ることができます 色が付いた部分の面積は 27かける1/70 は 27/70ですから 27/70 ㎡です はい できました ですが ここで私が伝えたいのは この問題を解く方法は 複数あって もう一つのやり方は 色が付いた部分の たて 横 の長さが どれだけかを最初に求めていくやり方です つまり 例えば 色が付いた部分のたての長さは どれだけかと言うと この たての長さですね では ここでいったんビデオを止めて 自分で考えてみて下さい それらは 分数になります では たて方向に見ていくと この正方形の一辺 1メートルを 12 3 4 5 ちょっと違うやり方でやりましょうかね 正方形の一辺を 1 2 3 4 5 6 7つの同じ部分に分割しましたので ちょっと 今描いたのは 見にくいですよね 元の格子を見た方がわかりやすいかな もうちょっと目立つ色を使って見ましょうか 色を変えるのに苦戦してますが はい 変えられました これが 1つ 2つ 3 4 5 6 7つの同じ部分に分かれています この1mの7分割です そして この色付の部分のたての長さは その3つ分ですから ここの この長さは 全体の7分の3で 全体は 1メートルですから ですから 3/7 m です では それと同じ考え方で 横の長さはどうなるでしょう 横長さはどうなるでしょう 全体の1メートルが 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10の同じ部分に 分割されていますから ここからここまでは 10分の1 ここの長さは 1/10 ちょっと色を変えますね この長さが1/10 さて この緑色の部分の横の長さは 1/10 をいくつ含んでいるか えっと 1/10 2/10 3/10 4/10 5/10 6/10 7/10 8/10 9/10 ですから 横の長さは 全体の長さ1メートルの9/10 9/10 m です さて 面積を求めるには 横 と たて を掛け算すれば良いので つまり たて × 横 ですから 色付きの部分は 色付きの部分の面積は 上に書かれた式とは違って たての長さが 3/7 メートル 3/7 m それに 横の長さをかけます 色付の部分の横の長さですから 9/10 メートル です 9/10 m これが どうなるかと言うと この答えは m かける m は ㎡ そして、分子を掛け算して 分母を掛け算する 3かける9は27 7かける10は70 前に出した答えと全く同じですね 27/70 ㎡ もうちょっときれいに書きますね 27/70 27/70 ㎡ 27/70 ㎡ そして 二つの別のやり方は どういうことを意味するのか 考えてみると良いでしょう 分子の3と9は この色付きの長方形の中に含まれる小さい長方形の 列と行の数です そしてこの7×10は 全体の正方形に含まれる小さい長方形の数です ですから 3×9は色付きの部分が 何個の小さい長方形を含んでいるか そして7×10が意味するのは それぞれ一つの小さい長方形が 全体に対しどれだけの割合を占めるのか それが 私たちが最初にここで 本質的に考えて解いたものです どちらのやり方で解いても 正しい答えを出すことができるのですが 皆さん ぜひとも なぜそうなるのか 考えてみて下さい