因数(約数)と倍数

因数とは他の数を割り切る正の整数のことです。(これを倍数に対して約数という場合もあります。お使いの教科書によって因数か約数かを読みかえてください。)

因数分解はある数をより小さな部分に分解する方法を与えます。$12$12 の因数を絵に描くために，点を同じ大きさのグループに分けましょう。

$12$12 個の点は，$\tealC{12}$start color #01d1c1, 12, end color #01d1c1 個の点の $\tealC{1}$start color #01d1c1, 1, end color #01d1c1 列に並べることができます。
$\tealC{1 \times 12} = 12$start color #01d1c1, 1, times, 12, end color #01d1c1, equals, 12

$12$12 個の点はまた，点が 1 列に $\purpleC{6}$start color #aa87ff, 6, end color #aa87ff 個ずつ $\purpleC{2}$start color #aa87ff, 2, end color #aa87ff 列あるように並びかえることもできます。
$\purpleC{2 \times 6} = 12$start color #aa87ff, 2, times, 6, end color #aa87ff, equals, 12

または，それぞれの列は $\redC{4}$start color #f9685d, 4, end color #f9685d 個ずつ，$\redC{3}$start color #f9685d, 3, end color #f9685d 列になるように $12$12 個の点を並べることもできます。
$\redC{3 \times 4} = 12$start color #f9685d, 3, times, 4, end color #f9685d, equals, 12

一度 $12$12 個の点を並べる全ての方法をみつけたら，列の数とそれぞれの列にある点の数を見て，$12$12 の因数を求めましょう。

$\tealC{1}$start color #01d1c1, 1, end color #01d1c1, $\tealC{12}$start color #01d1c1, 12, end color #01d1c1, $\purpleC{2}$start color #aa87ff, 2, end color #aa87ff, $\purpleC{6}$start color #aa87ff, 6, end color #aa87ff, $\redC{3}$start color #f9685d, 3, end color #f9685d, $\redC{4}$start color #f9685d, 4, end color #f9685d は全て $12$12 の因数です。

$12$12 を $\greenD5$start color #1fab54, 5, end color #1fab54 個の点の列を 1 つと $\goldD7$start color #e07d10, 7, end color #e07d10 個の点の列を 1 つの組み合わせで作ることもできます。すると $\greenD5$start color #1fab54, 5, end color #1fab54 と $\goldD7$start color #e07d10, 7, end color #e07d10 は $12$12 の因数ですか?

いいえ。$\greenD5$start color #1fab54, 5, end color #1fab54 と $\goldD7$start color #e07d10, 7, end color #e07d10 は因数ではありません。なぜならそれでは点が等しい大きさのグループに分けられていないからです。

$16$16 を割り切る数について考えることで，点を描かずに $16$16 の因数を求めるためことができます。

$\blueD{1}$start color #11accd, 1, end color #11accd は $16$16 の因数です。なぜなら，$\blueD{1}$start color #11accd, 1, end color #11accd は $16$16 を割り切り，余りがでないからです。
$16 \div \blueD{1}= \blueD{16}$16, divided by, start color #11accd, 1, end color #11accd, equals, start color #11accd, 16, end color #11accd
この商は $\blueD{16}$start color #11accd, 16, end color #11accd で，それもまた $16$16 の因数です。

$\greenD{2}$start color #1fab54, 2, end color #1fab54 は $16$16 の因数です。なぜなら，$\greenD{2}$start color #1fab54, 2, end color #1fab54 は $16$16 を余りなく割り切るからです。
$16 \div \greenD{2}= \greenD{8}$16, divided by, start color #1fab54, 2, end color #1fab54, equals, start color #1fab54, 8, end color #1fab54
この商の $\greenD{8}$start color #1fab54, 8, end color #1fab54 もまた $16$16 の因数です。

$\purpleD{4}$start color #7854ab, 4, end color #7854ab は $16$16 の因数です。なぜなら，$\purpleD{4}$start color #7854ab, 4, end color #7854ab は $16$16 を余りなく割り切るからです。
$16 \div \purpleD{4}= \purpleD{4}$16, divided by, start color #7854ab, 4, end color #7854ab, equals, start color #7854ab, 4, end color #7854ab
この場合，商は $\purpleD{4}$start color #7854ab, 4, end color #7854ab です。もう私たちはそれが $16$16 の因数であることをみつけています。

$16$16 の因数は $\blueD{1, 16}$start color #11accd, 1, comma, 16, end color #11accd, $\greenD{2, 8},$start color #1fab54, 2, comma, 8, end color #1fab54, comma $\purpleD{4}$start color #7854ab, 4, end color #7854ab です。

$3$3 と $5$5 のような数は，$16$16 の因数ではありません。なぜなら，それらは $16$16 を等しく割り切らないからです。

全ての数は $1$1 を因数として持ちます。

$1$1 は $10$10 の因数です。
$1$1 は $364$364 の因数です。
$1$1 は $5,787$5, comma, 787 の因数です。

全ての数は自分自身を因数として持ちます。

$41$41 は $41$41 の因数です。
$128$128 は $128$128 の因数です。
$4,379$4, comma, 379 は $4,379$4, comma, 379 の因数です。

ある積を得るためにかける 2 つの数は，因数の組と呼ばれます。$8$8 という積を得るために，$\purpleD{1}$start color #7854ab, 1, end color #7854ab $\times$times $\purpleD{ 8}$start color #7854ab, 8, end color #7854ab と $\greenD{2}$start color #1fab54, 2, end color #1fab54$\times$times $\greenD{4}$start color #1fab54, 4, end color #1fab54 のようにかけ算ができます。すると，$8$8 の因数の組は $\purpleD{1}$start color #7854ab, 1, end color #7854ab と $\purpleD{8}$start color #7854ab, 8, end color #7854ab と， $\greenD{2}$start color #1fab54, 2, end color #1fab54 と $\greenD{4}$start color #1fab54, 4, end color #1fab54 です。

点を等しい大きさのグループに並べかえることで，因数がいつも組になっていることを理解する手助けにしましょう。因数の組のうちの 1 つの因数は，列の数です。因数の組のうちのもう一つの因数は，それぞれの列の点の数です。

$20$20 の因数の組をみつけましょう。思いだして下さい，ここで私たちはかけると $20$20 になるような 2 つの整数を探しています。

因数探しは $\blueD{1}$start color #11accd, 1, end color #11accd からはじめることができます。なぜなら，$\blueD{1}$start color #11accd, 1, end color #11accd は全ての数の因数だからです。 $20$20 を得るためには $\blueD{1} \times \blueD{20}$start color #11accd, 1, end color #11accd, times, start color #11accd, 20, end color #11accd が計算できます。すると，$\blueD{20}$start color #11accd, 20, end color #11accd もまた因数です。これらの因数をリストの一番外側の因数として書くことができます。真ん中にはほかの因数を書くために場所をあけておきましょう。

では，次の数，$2$2 が因数であるかどうかをチェックしましょう。

$\greenD{2}$start color #1fab54, 2, end color #1fab54 にかけることで $20$20 になるような整数があるでしょうか? はい。 $\greenD{2} \times \greenD{10}=20$start color #1fab54, 2, end color #1fab54, times, start color #1fab54, 10, end color #1fab54, equals, 20 です。すると $\greenD{2}$start color #1fab54, 2, end color #1fab54 と $\greenD{10}$start color #1fab54, 10, end color #1fab54 はもう一つの因数の組です。

次の数は $3$3 です。$3$3 にかけて $20$20 にするような整数はあるでしょうか? いいえ，ありません。すると，$3$3 は $20$20 の因数ではありません。

$\redD{4}$start color #e84d39, 4, end color #e84d39 に何か整数をかけることで，$20$20 にすることができますか? はい。$\redD{4} \times \redD{5}= 20$start color #e84d39, 4, end color #e84d39, times, start color #e84d39, 5, end color #e84d39, equals, 20 です。すると，$\redD{4}$start color #e84d39, 4, end color #e84d39 と $\redD{5}$start color #e84d39, 5, end color #e84d39 は因数の 1 つの組です。

次の数は $5$5 です。$5$5 はもうリストにありますので，これで $20$20 の全ての因数の組をみつけたことになります。

倍数とは，ある 1 つの整数にもう 1 つの整数をかけた時の結果の数です。$\blue{3}$start color #6495ed, 3, end color #6495ed の最初の 4 つの倍数は $3, 6, 9, 12$3, comma, 6, comma, 9, comma, 12 です。なぜなら:

他のいくつかの $\blue{3}$start color #6495ed, 3, end color #6495ed の倍数の例は $15, 30$15, comma, 30 $300$300 です。

ある数の倍数を全てリストに書きだすことはけっしてできません。たとえば，$3$3 の新しい倍数をみつけるためにかけることができる数は無限にあります。

どんな数でも最初のその数の倍数はその数自身です。
$7 \times 1 = 7$7, times, 1, equals, 7。

このリストは $4$4 の倍数を示しています。

このリストは $8$8 の倍数を示しています。

次の絵は $4$4 の倍数を示しています。

次の箱は $4$4 の次の倍数を含んでいます。

$\goldD{4}$start color #e07d10, 4, end color #e07d10 と $\greenD{7}$start color #1fab54, 7, end color #1fab54 は両方とも $\blueD{28}$start color #11accd, 28, end color #11accd の因数 です。なぜならそれらは両方とも $\blueD{28}$start color #11accd, 28, end color #11accd を割り切るからです。

$\blueD{28}$start color #11accd, 28, end color #11accd は $\goldD{4}$start color #e07d10, 4, end color #e07d10 の倍数です。そして，$\greenD{7}$start color #1fab54, 7, end color #1fab54 の倍数でもあります。

$9 \times 6 = 54$9, times, 6, equals, 54 であることはわかっています。

因数と倍数は長方形の辺の長さと面積についての問題を解く時にも使うことができます。

ある長方形は $50$50 平方センチメートルの面積をもちます。

トリンプル氏は彼の美術のクラブで生徒たちのために $36$36 個のチョコレートチップクッキーをとりだします。