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因数(約数)と倍数

因数と倍数について学びましょう,また,それらが互いにどのように関係しているかも学びましょう。

因数

因数とは他の数を割り切る正の整数のことです。(これを倍数に対して約数という場合もあります。お使いの教科書によって因数か約数かを読みかえてください。)

因数を絵に描く

因数分解はある数をより小さな部分に分解する方法を与えます。12 の因数を絵に描くために,点を同じ大きさのグループに分けましょう。
12 個の点は start color #01d1c1, 12, end color #01d1c1 個の点の start color #01d1c1, 1, end color #01d1c1 列に並びかえることができます。
start color #01d1c1, 1, times, 12, end color #01d1c1, equals, 12
12 個の円の配列があり,12 個ずつの円が 1 行に並んでいる。
12 個の点はまた,列あたり start color #aa87ff, 6, end color #aa87ff 個の点が start color #aa87ff, 2, end color #aa87ff 列と並びかえることができます。
start color #aa87ff, 2, times, 6, end color #aa87ff, equals, 12
12 個の円の配列があり,6 個ずつの円が 2 行に並んでいる。
または,それぞれの列は start color #f9685d, 4, end color #f9685d 個ずつ,start color #f9685d, 3, end color #f9685d 列になるように 12 個の点を並べることもできます。
start color #f9685d, 3, times, 4, end color #f9685d, equals, 12
12 個の円の配列があり,4 個ずつの円が 3 行に並んでいる。
一度 12 個の点を並べる全ての方法をみつけたら,列の数とそれぞれの列にある点の数を見て,12 の因数を求めましょう。
start color #01d1c1, 1, end color #01d1c1, start color #01d1c1, 12, end color #01d1c1, start color #aa87ff, 2, end color #aa87ff, start color #aa87ff, 6, end color #aa87ff, start color #f9685d, 3, end color #f9685d, start color #f9685d, 4, end color #f9685d は全て 12 の因数です。
12start color #1fab54, 5, end color #1fab54 個の点の列を 1 つと start color #e07d10, 7, end color #e07d10 個の点の列を 1 つの組み合わせで作ることもできます。すると start color #1fab54, 5, end color #1fab54start color #e07d10, 7, end color #e07d1012 の因数ですか?
12 個の円の配列があり,7 個の円の 1 行と5 個の円の 1 行からなります。
いいえ。start color #1fab54, 5, end color #1fab54start color #e07d10, 7, end color #e07d10 は因数ではありません。なぜならそれでは点が等しい大きさのグループに分けられていないからです。
18 個の点を並びかえたのは次のどれですか?
あてはまる答えを全て選んで下さい:

すると,18 の因数は何ですか?
あてはまる答えを全て選んで下さい:

絵を描かずに因数を求める

16 を割り切る数について考えることで,点を描かずに 16 の因数を求めるためことができます。
start color #11accd, 1, end color #11accd16 の因数です。なぜなら,start color #11accd, 1, end color #11accd16 を割り切り,余りがでないからです。
16, divided by, start color #11accd, 1, end color #11accd, equals, start color #11accd, 16, end color #11accd
この商は start color #11accd, 16, end color #11accd で,それもまた 16 の因数です。
start color #1fab54, 2, end color #1fab5416 の因数です。なぜなら,start color #1fab54, 2, end color #1fab5416 を余りなく割り切るからです。
16, divided by, start color #1fab54, 2, end color #1fab54, equals, start color #1fab54, 8, end color #1fab54
この商の start color #1fab54, 8, end color #1fab54 もまた 16 の因数です。
start color #7854ab, 4, end color #7854ab16 の因数です。なぜなら,start color #7854ab, 4, end color #7854ab16 を余りなく割り切るからです。
16, divided by, start color #7854ab, 4, end color #7854ab, equals, start color #7854ab, 4, end color #7854ab
この場合,商は start color #7854ab, 4, end color #7854ab です。もう私たちはそれが 16 の因数であることをみつけています。
16 の因数は start color #11accd, 1, comma, 16, end color #11accd, start color #1fab54, 2, comma, 8, end color #1fab54, comma start color #7854ab, 4, end color #7854ab です。
35 のような数は,16 の因数ではありません。なぜなら,それらは 16 を等しく割り切らないからです。
次の数のうちのどれが 35 の因数かを求めるために,割り算を使いましょう。
因数
因数ではない
1
2
3
5
7
35

因数のヒント

全ての数は 1 を因数として持ちます。
110 の因数です。
1364 の因数です。
15, comma, 787 の因数です。
全ての数は自分自身を因数として持ちます。
4141 の因数です。
128128 の因数です。
4, comma, 3794, comma, 379 の因数です。

因数の組

ある積を得るためにかけ合わせる 2 つの数を因数の組と呼びます。積 8 を得るために start color #543b78, 1, end color #543b78 times start color #543b78, 8, end color #543b78start color #208170, 2, end color #208170 times start color #208170, 4, end color #208170 のかけ算ができます。したがって,8 の因数の組は start color #543b78, 1, end color #543b78start color #543b78, 8, end color #543b78start color #208170, 2, end color #208170start color #208170, 4, end color #208170 です。
点を等しい大きさのグループに並べかえることで,因数がいつも組になっていることを理解する手助けにしましょう。因数の組のうちの 1 つの因数は,列の数です。因数の組のうちのもう一つの因数は,それぞれの列の点の数です。
8 個の円の配列があり,8 個ずつの円が 1 行に並んでいる。
8 個の円の配列があり,4 個ずつの円が 2 行に並んでいる。
20 の因数の組をみつけましょう。思いだして下さい,ここで私たちはかけると 20 になるような 2 つの整数を探しています。
start color #0c7f99, 1, end color #0c7f99 からはじめることができます。なぜなら,start color #0c7f99, 1, end color #0c7f99 は全ての数の因数だからです。 20 を得るために start color #0c7f99, 1, end color #0c7f99, times, start color #0c7f99, 20, end color #0c7f99 が計算できます。すると,start color #0c7f99, 20, end color #0c7f99 もまた因数です。これらの因数をリストの一番外側の因数として書くことができます。真ん中にはほかの因数を書くために場所をあけておきます。
start color #0c7f99, 1, end color #0c7f99start color #0c7f99, 20, end color #0c7f99
では,次の数,2 が因数であるかどうかをチェックしましょう。
start color #208170, 2, end color #208170 にかけることで 20 になるような整数があるでしょうか? はい。 start color #208170, 2, end color #208170, times, start color #208170, 10, end color #208170, equals, 20 です。すると start color #208170, 2, end color #208170start color #208170, 10, end color #208170 はもう 1 つの因数の組です。
start color #0c7f99, 1, end color #0c7f99start color #208170, 2, end color #208170start color #208170, 10, end color #208170start color #0c7f99, 20, end color #0c7f99
次の数は 3 です。3 にかけて 20 にするような整数はあるでしょうか? いいえ,ありません。すると,320 の因数ではありません。
start color #bc2612, 4, end color #bc2612 に何か整数をかけることで,20 にすることができますか? はい。start color #bc2612, 4, end color #bc2612, times, start color #bc2612, 5, end color #bc2612, equals, 20 です。すると,start color #bc2612, 4, end color #bc2612start color #bc2612, 5, end color #bc2612 は因数の 1 つの組です。
start color #0c7f99, 1, end color #0c7f99start color #208170, 2, end color #208170start color #bc2612, 4, end color #bc2612start color #bc2612, 5, end color #bc2612start color #208170, 10, end color #208170start color #0c7f99, 20, end color #0c7f99
次の数は 5 です。5 はもうリストにありますので,これで 20 の全ての因数の組をみつけたことになります。
40 についての因数の組をつくって下さい。
1

倍数

倍数とは,ある 1 つの整数にもう 1 つの整数をかけた時の結果の数です。start color #6495ed, 3, end color #6495ed の最初の 4 つの倍数は 3, comma, 6, comma, 9, comma, 12 です。なぜなら:
start color #6495ed, 3, end color #6495ed, times, 1, equals, 3
start color #6495ed, 3, end color #6495ed, times, 2, equals, 6
start color #6495ed, 3, end color #6495ed, times, 3, equals, 9
start color #6495ed, 3, end color #6495ed, times, 4, equals, 12
他のいくつかの start color #6495ed, 3, end color #6495ed の倍数の例は 15, comma, 30 300 です。
start color #6495ed, 3, end color #6495ed, times, 5, equals, 15
start color #6495ed, 3, end color #6495ed, times, 10, equals, 30
start color #6495ed, 3, end color #6495ed, times, 100, equals, 300
ある数の倍数を全てリストに書きだすことはけっしてできません。たとえば,3 の新しい倍数をみつけるためにかけることができる数は無限にあります。

練習問題

どんな数でも最初のその数の倍数はその数自身です。
7, times, 1, equals, 7
7 の次の 2 つの倍数は何ですか?
7, times, 2, equals
  • 答えは
  • 6 のような整数
  • 簡単にされた真分数,たとえば 3, slash, 5
  • 簡単にされた仮分数,たとえば 7, slash, 4
  • 帯分数,たとえば1, space, 3, slash, 4
  • 厳密な小数,たとえば 0, point, 75
  • πの倍数,たとえば 12, space, start text, p, i, end text2, slash, 3, space, start text, p, i, end text

7, times, 3, equals
  • 答えは
  • 6 のような整数
  • 簡単にされた真分数,たとえば 3, slash, 5
  • 簡単にされた仮分数,たとえば 7, slash, 4
  • 帯分数,たとえば1, space, 3, slash, 4
  • 厳密な小数,たとえば 0, point, 75
  • πの倍数,たとえば 12, space, start text, p, i, end text2, slash, 3, space, start text, p, i, end text

このリストは 4 の倍数を示しています。
4, comma, 8, comma, 12, comma, 16, comma, point, point, point
4 の次の倍数は何ですか?
答えを 1 つだけ選んで下さい:

このリストは 8 の倍数を示しています。
欠けている倍数を埋めて下さい。
8, comma, 16,
  • 答えは
  • 6 のような整数
  • 簡単にされた真分数,たとえば 3, slash, 5
  • 簡単にされた仮分数,たとえば 7, slash, 4
  • 帯分数,たとえば1, space, 3, slash, 4
  • 厳密な小数,たとえば 0, point, 75
  • πの倍数,たとえば 12, space, start text, p, i, end text2, slash, 3, space, start text, p, i, end text
, 32, comma, 40, comma, 48,
  • 答えは
  • 6 のような整数
  • 簡単にされた真分数,たとえば 3, slash, 5
  • 簡単にされた仮分数,たとえば 7, slash, 4
  • 帯分数,たとえば1, space, 3, slash, 4
  • 厳密な小数,たとえば 0, point, 75
  • πの倍数,たとえば 12, space, start text, p, i, end text2, slash, 3, space, start text, p, i, end text
...

6 の倍数の数は次のどれですか?
あてはまる答えを全て選んで下さい:

倍数の絵を描く

次の絵は 4 の倍数を示しています。
4, times, 1, equals, 4
4 匹のテントウ虫の配列があり,4 匹のテントウ虫が 1 行に並んでいる。
4, times, 2, equals, 8
8 匹のテントウ虫の配列があり,4 匹ずつのテントウ虫が 2 行に並んでいる。
4, times, 3, equals, 12
12 匹のテントウ虫の配列があり,4 匹ずつのテントウ虫が 3 行に並んでいる。
次の箱は 4 の次の倍数を含んでいます。
次の箱には何匹のてんとう虫がいますか?
  • 答えは
  • 6 のような整数
  • 簡単にされた真分数,たとえば 3, slash, 5
  • 簡単にされた仮分数,たとえば 7, slash, 4
  • 帯分数,たとえば1, space, 3, slash, 4
  • 厳密な小数,たとえば 0, point, 75
  • πの倍数,たとえば 12, space, start text, p, i, end text2, slash, 3, space, start text, p, i, end text
匹のてんとう虫

因数と倍数はどのように関係していますか?

start color #e07d10, 4, end color #e07d10start color #1fab54, 7, end color #1fab54 は両方とも start color #11accd, 28, end color #11accd因数 です。なぜならそれらは両方とも start color #11accd, 28, end color #11accd を割り切るからです。
start color #11accd, 28, end color #11accdstart color #e07d10, 4, end color #e07d10倍数です。そして,start color #1fab54, 7, end color #1fab54倍数でもあります。
次の文を完成させるために,数 324 を使いましょう。
  • 答えは
  • 6 のような整数
  • 簡単にされた真分数,たとえば 3, slash, 5
  • 簡単にされた仮分数,たとえば 7, slash, 4
  • 帯分数,たとえば1, space, 3, slash, 4
  • 厳密な小数,たとえば 0, point, 75
  • πの倍数,たとえば 12, space, start text, p, i, end text2, slash, 3, space, start text, p, i, end text
  • 答えは
  • 6 のような整数
  • 簡単にされた真分数,たとえば 3, slash, 5
  • 簡単にされた仮分数,たとえば 7, slash, 4
  • 帯分数,たとえば1, space, 3, slash, 4
  • 厳密な小数,たとえば 0, point, 75
  • πの倍数,たとえば 12, space, start text, p, i, end text2, slash, 3, space, start text, p, i, end text
の因数です。
  • 答えは
  • 6 のような整数
  • 簡単にされた真分数,たとえば 3, slash, 5
  • 簡単にされた仮分数,たとえば 7, slash, 4
  • 帯分数,たとえば1, space, 3, slash, 4
  • 厳密な小数,たとえば 0, point, 75
  • πの倍数,たとえば 12, space, start text, p, i, end text2, slash, 3, space, start text, p, i, end text
  • 答えは
  • 6 のような整数
  • 簡単にされた真分数,たとえば 3, slash, 5
  • 簡単にされた仮分数,たとえば 7, slash, 4
  • 帯分数,たとえば1, space, 3, slash, 4
  • 厳密な小数,たとえば 0, point, 75
  • πの倍数,たとえば 12, space, start text, p, i, end text2, slash, 3, space, start text, p, i, end text
の倍数です。

因数と倍数の練習問題

10 の因数は次のどれですか?
あてはまる答えを全て選んで下さい:

10 の倍数は次のどれですか?
あてはまる答えを全て選んで下さい:

9, times, 6, equals, 54 であることはわかっています。
では,次の文のどれもまた真でしょうか?
あてはまる答えを全て選んで下さい:

因数と倍数のチャレンジ

因数と倍数は長方形の辺の長さと面積についての問題を解く時にも使うことができます。
ある長方形は 50 平方センチメートルの面積をもちます。
長方形の辺の長さになることができるのは次のうちのどれですか?
あてはまる答えを全て選んで下さい:

トリンプル氏は彼の美術のクラブで生徒たちのために 36 個のチョコレートチップクッキーをとりだします。
もし彼がクッキーを 3 列に並べたら,
  • 答えは
  • 6 のような整数
  • 簡単にされた真分数,たとえば 3, slash, 5
  • 簡単にされた仮分数,たとえば 7, slash, 4
  • 帯分数,たとえば1, space, 3, slash, 4
  • 厳密な小数,たとえば 0, point, 75
  • πの倍数,たとえば 12, space, start text, p, i, end text2, slash, 3, space, start text, p, i, end text
個のクッキーがそれぞれの列にはあるでしょう。
もし彼がクッキーを
  • 答えは
  • 6 のような整数
  • 簡単にされた真分数,たとえば 3, slash, 5
  • 簡単にされた仮分数,たとえば 7, slash, 4
  • 帯分数,たとえば1, space, 3, slash, 4
  • 厳密な小数,たとえば 0, point, 75
  • πの倍数,たとえば 12, space, start text, p, i, end text2, slash, 3, space, start text, p, i, end text
列に並べたら,4 個のクッキーがそれぞれの列にはあるでしょう。

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