なぜ負の数と負の数をかけると正の数になるのか

あなたは古代の哲学者で数学を 基礎から作っているとしましょう そしてあなたはもう負の数とは どういうものかまた何を示している かについて納得しているとしましょう .そして負の数のたし算とひき算 をどうするのかを知っているとしましょう. しかしあなたは今難問に直面しています もし負の数のかけ算をしようと したらどうなるのだろうか 正の数かける負の数はどうなるのか または2つの負の数をかけるとどうなるのか. たとえば もしそうですね正と負の数をそれぞれ 1つとってかけ算をしたらどうなる のかあなたはまだちょっと自信がない とします. もし5に-3をかけたらどうなるの でしょうか あなたはまだこれについてはどうなる のか自信がありません. あなたはまた2つの負の数をかけ たら何が起こるのかについても 自信がありません. たとえばマイナス2かけるマイナス 6を考えましょう. これはあなたにはまだはっきりしません. あなたが知っていることはというのも あなたは数学者ですからあなたが これを定義するかこれがどうなる べきかということです. そしてそれはこれまでに知っている 他の全部の数学の性質と矛盾せず またできれば他のかけ算の性質 全部とも一貫していてるべきだと 希望します. そうすればこれが正しいものである と感じることができるからです 一貫しているということをここでは何度も言いますが 一貫したといいうのは私が計算 した方法でも あなたが計算した方法でも答え は同じになるという意味です. たとえば給料を計算する時私の 方法ではこうだが あなたの方ではこうだとなると 数学そのものの意味があやしく なります. 数学では途中の計算に違う方法 を使っても正しい方法で計算すれば 計算の答えは一つであるべきです それはこれまで習った方法がいつでも 使えるということです. 昨日はこう言ったけれども実は 今日はそうではないということは 数学では起きません. 私は数学のそういう所も好きです そして後に他の方法でそれが実際 に筋が通っていると 直感として考えることができる でしょう. しかしこれをあなたが知っている 数学の他の部分と一貫するように するためにあなたはちょっとした 思考実験をすることになるでしょう あなたはそうですね5 かける 3 たすマイナス3はどうなるかを 考えます. あなたは既に負の数のたし算または 正の数と負の数のたし算の 哲学を持っています.マイナス3 は3とは逆であり 3 とマイナス3をたすと 0 になります.ですからこれは負の数 と正の数を たすことについてこれまでに考えた ことに基づくと 5かける0に等しくなります. そしてどんな数に 0 をかけても 0 になります. ですからここにある式は 0 になる べきです. しかし私は正の数と負の数をかけた時に このこれまで使ってきた分配法則 も一貫して使いたいと思います ですからこの5を分配した時 数学として一貫するにはそして 数学は一貫しているべきですが 私はまったく同じ答えを得るべき です.ではこの5を分配してみましょう 5 かける 3 があり それは 5 かける 3 とここに書きます. ここでは点の記号ではなくかけ算 の記号を使いましょう. 5 かける 3 すると私がここに分配 すると それにたすことの5かけるマイナス 3です. 黄色で書いておきます.5 かける マイナス3 そしてさっき言ったようにこの 全体が 0 になるべきです. これは 0 に等しくなるべきです .5 かける 3 は 2つの正の数です.これは何になる べきかもう私達は知っています これは 15 になります. ここの部分はできました.15たす 5かけるマイナス3が何になるにしても ここの部分は他の数学の部分と 一貫するためには0に等しくなら なくてはいけません. 何に15をたすと0に等しくなるでしょうか そうですねこれが真になるためには 15 の逆になるべきですね. 私達の知っている数学全てと一貫 するためには ここにあるものは -15 に等しくなる 必要があります. これまでに私達が知っている数学 と一貫するためには 5 かけるマイナス3は マイナス15でなくてはいけません それはまた マイナス3を5回繰り返してたした という直感とも一貫しています ではもう一歩すすんで 2つの負の数をかけるという考え を見てみましょう. しかしここでは全く同じかけ算 の実験ができます. 私達が知っている数学と一貫した 答えが欲しいのです. そのために同じかけ算の実験が できます. マイナス2かけるマイナス6たす 6は 何に等しくなるべきでしょうか 6 たすマイナス6 は 0 ですね. マイナス2かける0は何かかける 0 ですから それは 0 に等しくなるはずです. そしてまたマイナス2を 分配すると マイナス2かける6それにたすことの マイナス2かけるマイナス6です 同じようにこの部分全体は 0 に等しくなります.さっきやった 5 の実験から これはマイナス12に等しくない といけないと言えます. あるいは前に習ったようにこれ を数直線で2回分6ステップ左に 移動したとすれば一貫している ので前に習ったことはいつでも 使えます マイナス12になります またはマイナス2を6回たした時も マイナス12になります. そしてここで見たように正の数 と負の数をかけた時 負の数になりました. ですからこれはマイナス12に等 しくなるはずです. マイナス12たす これがどんなものになるにせよ これをたすと 0 に等しくなるはずです. 私達が知っている全ての他の数学 と一貫するために マイナス12と何をたせば 0 に等 しくなるでしょうか プラスの12にマイナスの12をたせば 0 に等しくなりますね. ですからこれは私達が知っている 全ての他の数学と一貫するために プラスの12になる必要があります. これがプラスの12になるという 考えがでてきます. ここでこの一度ビデオは終わり します. もういくつかどうしてこれが真なのかについての 概念を理解するための ビデオを 作りたいと思います.