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中学 1 年生
比例関係の入門
比例関係とは 2 個の変数の間の関係で,それらの比が等価なもののことです。これについて考えるもう 1 つの方法は,比例関係では 1 つの変数は常にある定数かけるもう 1 つの変数であるということです。この定数を「比例定数」といいます。
ビデオのトランスクリプト
このビデオでは比例関係に
ついて話をしましょう。 比例関係とは何か,というと 2 つの変数の間にある関係で, それらの変数の間の比が
一定というものです。 さて,こう言われると難しいとか, 不思議なものに
聞こえるかもしれませんが, 例を見て自然な考えだと
とわかると嬉しいです。 では,何かベーキングの
レシピを考えましょう, たとえば,最近私が自分で
よく作っているパンケーキの レシピを例にしましょう。 卵がいくつかに対して, ミルクが何カップ必要か
というようなものです。 ですから卵の数と, ミルクのカップ数です。 このレシピでは,
1 個の卵について, 2 カップのミルクがいるとしましょう。 1 個の卵について
2 カップのミルクです。 もし卵が 3 個ならば,
6 カップのミルクがいって, 卵が 12 個ならば,24 カップの
ミルクが必要だとしましょう。 では,これは比例関係かどうかですが, ここには 2 個の変数,
ミルクのカップ数と 卵の個数があります。 比例関係かどうかを確かめるには, これら 2 個の変数の間の 比について考える必要があります。 卵の数対ミルクのカップ数, またはミルクのカップ数対
卵の数の比です。 ですから,もう 1 つここに
列を作って, そして卵の数に対する
ミルクのカップ数を考えましょう。 この最初のシナリオでは,
1 個の卵に 2 カップのミルクで, 2 番目のシナリオでは,
3 個の卵に 6 カップのミルク, 3 番目のシナリオでは,12 個
の卵に 24 カップのミルクです。 これらは等価な比ですか? 1 から 3 に行くには 3 をかけ, そして,2 から 6 に行くにも
3 をかけています。 すると両方の変数に 3 を
かけているので比は等価です。 同様に,もしここから
ここへは 4 をかけ, ミルクのカップ数もやはり
同じように 4 をかけています。 ですからこれらは全部
確かに等価です。 1 対 2,3 対 6,12 対 24, 全てのシナリオで,卵の数の
2 倍のミルクのカップ数です。 ですからこれは比例関係です。 チェックできました。 では,比例関係ではないものの
例はどうでしょうか? これもベーキング関係で
考えましょう。 あるケーキ店で, あなたは何人分のケーキが いくらになるかを
知りたいと思いました。 では,何人前かを 1 つの列に, それから,その時の
ケーキの値段を書きます。 2 つの列を作ってみましょう。 そして,たとえば 10 人前の
ケーキの値段は 20 ドルで, 20 人前のケーキでは 30 ドル, 40 人前のケーキの値段は,
40 ドルだったとしましょう。 ここでぜひビデオをポーズして
自分で考えてみて下さい。 これは比例関係にありますか? もしそうならなぜでしょうか? もしそうでなければ,
なぜ違うのでしょうか? よし,ではもう一度比を
考えましょう。 ここには 2 個の変数があって, 何人前か対そのケーキの
値段の比を考えます。 すると最初の状況は,
10 対 20 です。 2番目は 20 対 30 で, 3 番目は 40 対 40 です。 これらは等価な比でしょうか? 10 から 20 に行くには,
2 をかけています。 しかしケーキの値段は
20 から 30 で, これは 2 をかけていません。 1.5 ,または 1 と 1/2 を
かけています。 同様に,20 から 40 には 2 をかけていますすが, 30 から 40 には 2 ではなくて,
1 と 1/3 をかけています。 何人前かでかけている数と, ケーキの値段にかけている
数が同じではありません。 これは,この関係が比例関係
ではないということを意味します。 比例関係かどうかを
考える 1 つの方法は, それぞれの変数の間の比が
同じかどうかです。 これについて考える
もう一つの方法は, 最初の変数の値に
ある定数をかけると, もう一つの変数の値に
なるかです。 ここにあるこちらの例では, ミルクのカップ数はいつでも
卵の数の 2 倍でした。 それを書いておきましょう。 ミルクのカップ数,
これが等しいのは, 2 かける卵の数と
書くことができます。 そしてここにあるこの数のことを
比例定数と言います。 こちらの場合では,このような
方程式をたてることはできず, もっと複雑な形になるでしょう。 すると比例関係では,
2 個の変数間の比が一定か, または比例定数を持つ
等式を立てることができます。 この場合,この 2 が比例定数です。