実例: 比例関係について解く

比例について解いて下さい。 36 分の 8 が n 分の 10 に等しいです。 または，比 36 分の 8 が 比 n 分の 10 に等しいです。 この問題を解くには， いくつもの方法があります。 それらを全部を見ることは できないので， 少なくともいくつかの良い 方法を見ていきましょう。 考え方の 1 つは， これら 2 つが 等価な分数で あるというものです。 ですから，分子と分母には 同じ操作ができます。 8 には 8 分の 10 を かけると 10 になります。 分数と割り算は同じものなので， 8 かける 10 割る 8 が 10 に等しいとも言えます。 ですからここには 8 分の 10 がかかっています。 または 8 分の 10 を書く 他の方法は，4 分の 5 です。 ですからここには 4 分の 5 がかかっています。 そうづると 8 から 10 になります。 これを分子にした場合， 等価な分数にするためには， 同じことを分母にもする 必要があります。 こちらにも 4 分の 5 を かける必要があります。 すると解くべきこの n は 何になるかというと， この n は 36 かける 5 割る 4です。 つまりこれを書き直すと， 36 かける 5 全部を 4 で 割ったものと等しいです。 そして，36 割る 4 は わかっています。 分子と分母の両方を 4 で割ることができますから， 分子を 4 で割ると 9 です。 分母を 4 で割ると 1 になります。 ですからこれは 45 になりました。 これが 1 つの方法です。 36 分の 8 は 45 分の 10 に等しい。 これを考えるもう 一つの方法は， 8 に何をかけるとこの左の 分母になるかを考えることです。 36 は 8 の何倍ですか? これは 36 を 8 で 割ればいいですね。 すると 36 割る 8 が 何になるかというと， これは分子と分母を 4 で 割って約分できます。 4 が最大公約数です。 するとこれは ９ 割る 2， 2 分の 9 です。 すると，もしこの分子に 2 分の 9 をかけると， 分母がでてきます。 かける 2 分の 9 で 分母になります。 するとこちらにも同じこと をする必要があります。 もし 36 が 2 分の 9 かける 8 であれば，・・・ ちょっと書いておきましょう。 8 かける 2 分の 9 が 36 に等しいです。 これがどうやって左の分子 から分母に行ったかです。 それからこちらの分母が 何かを求めるには， 同じようにこちらにも 2 分の 9 をかけます。 すると 10 かける 2 分の 9 が こちらの分母の n に 等しくなります。 これは 10 かける 9 割る 2 と同じと言うのと同じです。 分子と分母を 2 で割ると， 10 割る 2 は 5 で 2 割る 2 は 1 です。 すると 45 が n に等しいです。 同じ答えです。これもこれを解く 正しい方法の 1 つです。 さて，このような比例関係を 見た場合，時々 「たすきがけをすればいい。」 という人もいます。 もちろん「たすきがけ」でもでき， それは素早い方法です。 しかし私はこの方法を 最初から教えるのは， 好きではないのです。 それは機械的なので 早いのですが， 速さなら計算機に させればいいのです。 しかし，理解すれば計算機 以上ができるようになります。 だからあなたには本当に 理解して欲しいのです。 これは代数からくるので， それをお見せしましょう。 でも今は理解できなくても 心配はいりません。 さて，36 分の 8 が n 分の 10 と等しいのでした。 たすきがけをする時， この分子かけるこちらの分母が つまり 8 かける n が， こちらの分母かける， 違う色にしておきましょう。 こちらの分母かけるこちらの 分子に等しくなります。 つまりたすきの後ろの ようになっています。 ただ，「たすき」がどんな ものか知らない人は 調べてみましょう。 するとこれは 36 かける 10 に等しくなります。 または，もうちっと ニュートラルな色で， これを 8n が 360 に等しいと 言うこともできます。 これは 8 かける何が 360 に 等しいのかと言うことです。 ですから 360 を 8 で割ります。 ちょっとした代数で両辺を 同じ数 8 で割るとできます。 n は 360 割る 8 に等しいです。 代数に厳密にしたがえば， 特に考えなくてもできるでしょう。 8 かける何かが 360 とも言えます。 もし 8 かけるクエスチョンマークが 360 に等しいのであれば， クエスチョンマークは確実に 360 割る 8 です。 8 割る 8 は 1 で キャンセルされて， 確かに 360 になります。 そしてなぜこれが 8 分の 360 かの理由です。 では答えを求めるために， 実際に割ってみましょう。 8 は 360 に 4 回あります。 4 かける 8 は 32 です。 ひき算をして，あまりが 4 です。 0 を下に持ってきて， 8 は 40 に 5 回あります。 8×5 は 40 なので，40 をひくと， 余りはありません。 できました。 ふたたび n が 45 に 等しいとなりました。 さて最後ですが，あなたには もう少し代数を使った ものをお見せしましょう。 ここまででわかったのなら， それでもかまいません。 このビデオの段階ではまだ 代数は習っていないかも しれませんが ちょっと代数をみていきます。 なぜなら，この「たすきがけ」は， 代数を使えば魔法でも 難しくもなんともないからです。 でも，これがもっと 混乱するようでしたら， ここでビデオを 止めてもいいでしょう。 ではこの比例関係を 書き直しましょう。 36 分の 8 は n 分の 10 に 等しいという関係でした。 そして n について 解きたかったのです。 n について解く一番簡単な 方法ですが，・・・ まず，この左辺は この右辺に等しいのでした。 そして，このとき同じものに 同じものをかけても， 等しいものは等しいままなので， 両辺に同じ n をかけることができます。 右辺の n は， n 割る n が 1 なのでキャンセルされ， 左辺には， 8 割る 36 かける n があり， これが 10 に等しいです。 さて，これを n について解くには， 文字通りかけ算をします。 もしこちらで n だけ欲しければ， こちらに 36 割る 8 をかけます。 ちょっと違う色にしましょう。 こちらに 36 割る 8 をかけます。 なぜなら，これらをかければ， これが 1 になって， 1 をかけても数は変わり ませんので n だけになります。 しかし，左辺にそうするならば， 右辺にも同じく 36 割る 8 を かけないと等しくなくなります。 これらは1になって キャンセルされ，左辺は n で， それが 10 かける 36 は 360 で， 360 割る 8 になります。 注意して下さい。 さきほどの「たすきがけ」 とまったく同じ結果になりました。 そしてたすきがけには， 実は 2 つのステップがあります。 ここではもう一つ余分な ステップがあります。 たすきがけでしていることは， まず両辺に n をかけます。 すると左辺に 8n ， 右辺の n が消えます。 するとこの値が残ります。 しかし最後に両辺を 8 で割れば， ここの n が 45 とまったく 同じ答えになりました。 これらは全部，この比例関係を 解く異なる方法です。 たぶん一番わかりやすい方法は 分子に何をかけるか考えて， それから分母にも同じ ことをする方法でしょう。 または「たすきがけ」 も簡単かもしれません。 最後に，たすきがけは 両辺に同じことをすることの 繰り返しで出てくることだと わかると嬉しいです。