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1 ステップの不等式の例題

私たちの線形不等式の議論は負の数をかけたり割ったりすることから始まります。「不等号の方向を変える」という言葉に注意して聞いて下さい。とても重要なことです! Sal KhanCK-12 財団 により作成されました。

ビデオのトランスクリプト

このビデオでは,正と負の数の かけ算と割り算を含む 不等式の問題に とりくみたいと思います。 そしてそれはこれまでの ビデオのように, 数をたしたりひいたりするだけよりも ちょっとこみいったものだと わかるでしょう。 私はここで不等式の 解の集合を表すための 他の種類の記法も紹介します。 ではいくつかの例題を解いてみましょう。 マイナス 0.5x が 7.5 以下であるという式が あるとしましょう。 さて,もしこれが等式ならば, あなたは「両辺を x の係数で割ろう」と 言いたくなるかもしれません。 それは完全に正しいです。 両辺を -0.5 で割る。 ここでわかって欲しい重要なことは, 不等式の両辺を負の数で かけたり割ったりした場合には, 不等号の方向を変える 必要があるということです。 なぜかをちょっと考えてみましょう。 シンプルな例で考えてみます。 もし私が 1 が 2 よりも 小さいと書くと, これは正しいです。 1 は確実に 2 よりも小さいです。 さて,もしこの両辺に -1 を かけたらどうなりますか? マイナス 1 と マイナス 2 になります。 この時には突然,-2 は -1 よりも より小さい負の数です。 ここでは,マイナス 2 は実は マイナス 1 よりも小さいです。 これは証明ではありませんが, 不等号の方向が変わるのは わかったでしょう。 大小関係がある時, その両方の負をとると, 大きいもののほうがより大きな負, つまり小さくなります。 これが不等式の両辺に負の数を かけたり割ったりすると, 不等式の方向が 入れかわる理由です。 では,この不等式の両辺に かけ算をしてみましょう。 0.5 で割るということは, 2 をかけることと同じです。 ここでの目標はx の係数を 1 にすることです。 ですからこの不等式の両辺に マイナス 2 をかけてみましょう。 マイナス 2 を マイナス 0.5 にかけます。 もしかしたら,「どうして ここで 2 をかけるの?」と 思ったかもしれませんが 私の頭では,何を 0.5 に かけたら 1 になるのかと考えました。 マイナス 0.5 は マイナス 1/2 と同じです。 その逆数はマイナス 2 です。 では,マイナス 2 をこの 不等式の両辺にかけます。 右辺には 7.5 があります。 右辺にもマイナス 2 をかけましょう。 注意しましょう。不等式の両辺に マイナスの数をかける時には, 不等号の方向を入れかえるのでした。 「以下」の不等号だったので, これは「以上」の不等号になります。 では左辺はマイナス 2 かける マイナス 0.5 で単なる 1 です。 x が 7.5 かけるマイナス 2 以上と いう不等式になります。 これはマイナス 15 で, これが解の集合です。 x がマイナス 15 以上が この不等式を満たします。 これが正しいか テストしてみて下さい。 たとえば,0 は満たすはずです。 0 は マイナス 15 よりも大きいです。 しかし何か他のもの, たとえばマイナス 16 を テストしてみましょう。 マイナス 16 は満たしません。 マイナス 16 かける マイナス 0.5 は 8 です。 それは 7.5 よりも小さくありません。 すると解の集合ですが, ここに数直線を描いてみましょう。 マイナス 15 以上。 するとマイナス 15 がここです。 ここはマイナス 16, ここはマイナス 14 です。 マイナス 15 以上が解です。 マイナス 15 以上が解。 では,不等式の解の集合として 区間の記法もあります。 それも書いてみましょう。 区間の記法は少し慣れる 必要があります。 まずマイナス 15 を 含みたいので,区間の下限は, マイナス 15 ですが, このような大カッコを書きます。 このカッコはマイナス 15 を 含むという意味のカッコです。 このカッコを書くとこの集合は 区間の下限,-15 を含みます。 そして無限までずっといきます。 こちらは小括弧を使います。 この小括弧はこちら側を 含まないという意味です。 無限でもこうします。 なぜなら無限というのはある 意味,普通の数ではないからです。 私は「無限の点につく」とは 言うことができません。 あなたはけして無限に 到達できません。 それが小括弧にした理由です。 小括弧はふつう境界を含まない という意味で使います。 無限まで行く時にも使います。 ですからこれとこれは まったく同じ意味です。 あるいは集合の記法でも (解の集合を) 書くことができます。 それは x が実数で,すなわち,-- この線,この縦線は, 「すなわち」の意味で, x はマイナス 15 よりも大きい。 と書くことができます。 この中括弧は全ての実数の集合, または,全ての数の 集合のうち, x は実数で, すなわち,x はマイナス 15 よりも 大きいもの。という意味です。 これら全部,これも, これも全て等価です。 これを心にとめて,もう何問か 例題を解きましょう。 では,75x が 125 以上という 不等式があったとしましょう。 ここでは両辺を 75 で割ります。 75 は正の数なので,不等号の 向きはそのままで良いです。 すると x は 75 分の 125 以上です。 そしてもし分子と 分母を 25 で割れば, 3 分の 5 になります。 これは,x は 3 分の 5 以上です。 または解の集合を 3 分の 5 を含めて, そこから無限までと 書くことができます。 もう一度,もしこれを 数直線上に描くとしたら 3 分の 5 は何でしょうか? 数直線に描いてみましょう。 3 分の 5 は 1 と 3 分の 2 です。 ですから,0, 1, 2 があって, 1 と 3 分の 2 はこのあたりです。 この点は含みます。 ここが 3 分の 5 です。 そしてこれ以上が全部解の 集合に入ります。 ではもう一問解きましょう。 x 割る -3 がマイナス 10 割る 9 よりも大きいとしましょう。 x を左辺に分離したいと思います。 そのために両辺に -3 をかけましょう。 この係数は,-3 分の 1 だと 考えることができます。 その逆数をかけるので, -3 をかけます。 ではもし,両辺に -3 をかけたら, -3 かける,これは -3 分の 1 x と 書きなおすことができます。 そして右辺は -9 分の 10 かける -3 になります。 そして不等号の方向が変わります。 なぜなら,負の数をかけたり 割ったりしているからです。 不等号の向きが変わります。 逆になります。 「大なり」から,「小なり」になります。 不等式の左辺は x だけになりました。 これがそもそもの目的でした。 これはキャンセルされて, 負がキャンセルされ, x 小なりとなって, それからマイナスかける マイナスになり, こちらはプラスになります。 分子と分母の両方を 3 で割れば, ここは 3 で 1 になります。 すると x が 3 分の 10 よりも 小さいとなります。 もしこれを区間の記法で書けば, この解の集合は, 上限が 3 分の 10 で, 3 分の 10 は含まれません。 これは以下の記号ではないので, 小カッコを使います。 注意しましょう。これは 3 分の 5 を含むので,大カッコです。 小カッコはこちらです。 3 分の 10 から負の無限大 までが解の集合です。 3 分の 10 よりも小さいものは 全て解の集合に含まれます。 解の集合を数直線上に 描いてみましょう。 3 分の 10 です。 0, 1, 2, 3, 4 があって, 3 分の 10 は 3 と 3 分の 1 なので,このあたりです。 これは違う色にしましょう。 ここです。 この点は含まれません。 3 分の 10 は解の集合に 含まれません。 そしてこれよりも小さいもの 全てですから, ただし 3 分の 10 は含まない, それが解の集合です。 これがこの解の集合です。 ではもう一問解きましょう。 x 割る -15 が 8 よりも 小さいにしましょう。 もう一度,この不等式の 両辺に -15 をかけましょう。 すると -15 かける x 割る -15 です。 そして 8 かける -15 が右辺です。 不等式の両辺に負の数を かけたり割ったりすれば, 不等号の向きが変わります。 不等号の向きが変わる。 「より小さい」でしたので, 「より大きい」に変わります。 では,この左辺は x になりました。 なぜならこれらは キャンセルされるからです。 x は 8 かける -15 より大きい。 それは,...これは 80 たす 40 なので -120 です。 80 たす 40 は...はい,-120 です。 または,解の集合を -120 から始めて, ただし,-120 は含みません。 等号がないので,小カッコを書いて, これが無限まで行きます。 そしてこのグラフを 描いてみましょう。 ここに数直線を描きます。 素早く描きまましょう。 ここが -120 だとしましょう。 0 はこのあたりです。 これは -121 で, こちらは -119 でしょう。 -120 は含みません。 ここには等号がないです。 しかし,-120 よりも大きいものは 全て解の集合です。 これらはみなそうです。 不等式を満たすものを 全部緑で塗ります。 解を確認しましょう。 0 は満たしますか? -15 分の 0 は,0 ですから, 確実に 8 より小さいです。 これは証明にはなりませんが, これらの数はどれでも満たすはずです。 とにかく,これが お役にたてれば幸いです。 次のビデオでお会いしましょう。