1 ステップの不等式の例題

このビデオでは，正と負の数の かけ算と割り算を含む 不等式の問題に とりくみたいと思います。 そしてそれはこれまでの ビデオのように， 数をたしたりひいたりするだけよりも ちょっとこみいったものだと わかるでしょう。 私はここで不等式の 解の集合を表すための 他の種類の記法も紹介します。 ではいくつかの例題を解いてみましょう。 マイナス 0.5x が 7.5 以下であるという式が あるとしましょう。 さて，もしこれが等式ならば， あなたは「両辺を x の係数で割ろう」と 言いたくなるかもしれません。 それは完全に正しいです。 両辺を -0.5 で割る。 ここでわかって欲しい重要なことは， 不等式の両辺を負の数で かけたり割ったりした場合には， 不等号の方向を変える 必要があるということです。 なぜかをちょっと考えてみましょう。 シンプルな例で考えてみます。 もし私が 1 が 2 よりも 小さいと書くと， これは正しいです。 1 は確実に 2 よりも小さいです。 さて，もしこの両辺に -1 を かけたらどうなりますか? マイナス 1 と マイナス 2 になります。 この時には突然，-2 は -1 よりも より小さい負の数です。 ここでは，マイナス 2 は実は マイナス 1 よりも小さいです。 これは証明ではありませんが， 不等号の方向が変わるのは わかったでしょう。 大小関係がある時， その両方の負をとると， 大きいもののほうがより大きな負， つまり小さくなります。 これが不等式の両辺に負の数を かけたり割ったりすると， 不等式の方向が 入れかわる理由です。 では，この不等式の両辺に かけ算をしてみましょう。 0.5 で割るということは， 2 をかけることと同じです。 ここでの目標はx の係数を 1 にすることです。 ですからこの不等式の両辺に マイナス 2 をかけてみましょう。 マイナス 2 を マイナス 0.5 にかけます。 もしかしたら，「どうして ここで 2 をかけるの?」と 思ったかもしれませんが 私の頭では，何を 0.5 に かけたら 1 になるのかと考えました。 マイナス 0.5 は マイナス 1/2 と同じです。 その逆数はマイナス 2 です。 では，マイナス 2 をこの 不等式の両辺にかけます。 右辺には 7.5 があります。 右辺にもマイナス 2 をかけましょう。 注意しましょう。不等式の両辺に マイナスの数をかける時には， 不等号の方向を入れかえるのでした。 「以下」の不等号だったので， これは「以上」の不等号になります。 では左辺はマイナス 2 かける マイナス 0.5 で単なる 1 です。 x が 7.5 かけるマイナス 2 以上と いう不等式になります。 これはマイナス 15 で， これが解の集合です。 x がマイナス 15 以上が この不等式を満たします。 これが正しいか テストしてみて下さい。 たとえば，0 は満たすはずです。 0 は マイナス 15 よりも大きいです。 しかし何か他のもの， たとえばマイナス 16 を テストしてみましょう。 マイナス 16 は満たしません。 マイナス 16 かける マイナス 0.5 は 8 です。 それは 7.5 よりも小さくありません。 すると解の集合ですが， ここに数直線を描いてみましょう。 マイナス 15 以上。 するとマイナス 15 がここです。 ここはマイナス 16， ここはマイナス 14 です。 マイナス 15 以上が解です。 マイナス 15 以上が解。 では，不等式の解の集合として 区間の記法もあります。 それも書いてみましょう。 区間の記法は少し慣れる 必要があります。 まずマイナス 15 を 含みたいので，区間の下限は， マイナス 15 ですが， このような大カッコを書きます。 このカッコはマイナス 15 を 含むという意味のカッコです。 このカッコを書くとこの集合は 区間の下限，-15 を含みます。 そして無限までずっといきます。 こちらは小括弧を使います。 この小括弧はこちら側を 含まないという意味です。 無限でもこうします。 なぜなら無限というのはある 意味，普通の数ではないからです。 私は「無限の点につく」とは 言うことができません。 あなたはけして無限に 到達できません。 それが小括弧にした理由です。 小括弧はふつう境界を含まない という意味で使います。 無限まで行く時にも使います。 ですからこれとこれは まったく同じ意味です。 あるいは集合の記法でも (解の集合を) 書くことができます。 それは x が実数で，すなわち，-- この線，この縦線は， 「すなわち」の意味で， x はマイナス 15 よりも大きい。 と書くことができます。 この中括弧は全ての実数の集合， または，全ての数の 集合のうち， x は実数で， すなわち，x はマイナス 15 よりも 大きいもの。という意味です。 これら全部，これも， これも全て等価です。 これを心にとめて，もう何問か 例題を解きましょう。 では，75x が 125 以上という 不等式があったとしましょう。 ここでは両辺を 75 で割ります。 75 は正の数なので，不等号の 向きはそのままで良いです。 すると x は 75 分の 125 以上です。 そしてもし分子と 分母を 25 で割れば， 3 分の 5 になります。 これは，x は 3 分の 5 以上です。 または解の集合を 3 分の 5 を含めて， そこから無限までと 書くことができます。 もう一度，もしこれを 数直線上に描くとしたら 3 分の 5 は何でしょうか? 数直線に描いてみましょう。 3 分の 5 は 1 と 3 分の 2 です。 ですから，0, 1, 2 があって， 1 と 3 分の 2 はこのあたりです。 この点は含みます。 ここが 3 分の 5 です。 そしてこれ以上が全部解の 集合に入ります。 ではもう一問解きましょう。 x 割る -3 がマイナス 10 割る 9 よりも大きいとしましょう。 x を左辺に分離したいと思います。 そのために両辺に -3 をかけましょう。 この係数は，-3 分の 1 だと 考えることができます。 その逆数をかけるので， -3 をかけます。 ではもし，両辺に -3 をかけたら， -3 かける，これは -3 分の 1 x と 書きなおすことができます。 そして右辺は -9 分の 10 かける -3 になります。 そして不等号の方向が変わります。 なぜなら，負の数をかけたり 割ったりしているからです。 不等号の向きが変わります。 逆になります。 「大なり」から，「小なり」になります。 不等式の左辺は x だけになりました。 これがそもそもの目的でした。 これはキャンセルされて， 負がキャンセルされ， x 小なりとなって， それからマイナスかける マイナスになり， こちらはプラスになります。 分子と分母の両方を 3 で割れば， ここは 3 で 1 になります。 すると x が 3 分の 10 よりも 小さいとなります。 もしこれを区間の記法で書けば， この解の集合は， 上限が 3 分の 10 で， 3 分の 10 は含まれません。 これは以下の記号ではないので， 小カッコを使います。 注意しましょう。これは 3 分の 5 を含むので，大カッコです。 小カッコはこちらです。 3 分の 10 から負の無限大 までが解の集合です。 3 分の 10 よりも小さいものは 全て解の集合に含まれます。 解の集合を数直線上に 描いてみましょう。 3 分の 10 です。 0, 1, 2, 3, 4 があって， 3 分の 10 は 3 と 3 分の 1 なので，このあたりです。 これは違う色にしましょう。 ここです。 この点は含まれません。 3 分の 10 は解の集合に 含まれません。 そしてこれよりも小さいもの 全てですから， ただし 3 分の 10 は含まない， それが解の集合です。 これがこの解の集合です。 ではもう一問解きましょう。 x 割る -15 が 8 よりも 小さいにしましょう。 もう一度，この不等式の 両辺に -15 をかけましょう。 すると -15 かける x 割る -15 です。 そして 8 かける -15 が右辺です。 不等式の両辺に負の数を かけたり割ったりすれば， 不等号の向きが変わります。 不等号の向きが変わる。 「より小さい」でしたので， 「より大きい」に変わります。 では，この左辺は x になりました。 なぜならこれらは キャンセルされるからです。 x は 8 かける -15 より大きい。 それは，．．．これは 80 たす 40 なので -120 です。 80 たす 40 は．．．はい，-120 です。 または，解の集合を -120 から始めて， ただし，-120 は含みません。 等号がないので，小カッコを書いて， これが無限まで行きます。 そしてこのグラフを 描いてみましょう。 ここに数直線を描きます。 素早く描きまましょう。 ここが -120 だとしましょう。 0 はこのあたりです。 これは -121 で， こちらは -119 でしょう。 -120 は含みません。 ここには等号がないです。 しかし，-120 よりも大きいものは 全て解の集合です。 これらはみなそうです。 不等式を満たすものを 全部緑で塗ります。 解を確認しましょう。 0 は満たしますか? -15 分の 0 は，0 ですから， 確実に 8 より小さいです。 これは証明にはなりませんが， これらの数はどれでも満たすはずです。 とにかく，これが お役にたてれば幸いです。 次のビデオでお会いしましょう。