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小学 6 年生
コース: 小学 6 年生 > 単位 6
レッスン 2: 代数式の部分項,因数,係数
このビデオでは,項,因数,係数という用語の意味について説明します。式を 1 つの文として考えましょう。ある文にはその部分があり,代数式も同様です。 Sal Khan により作成されました。
ビデオのトランスクリプト
このビデオで私がしたいことは, 式がどのように作られているかと, 式の部分を表すための
言葉について考えることです。 なぜそういうことを学ぶかですが, それはある式を誰かと
一緒に見て, 私は 2 番目の項に
賛成できない,とか 3 項目には 4 つの
因数があるとか, なぜこの項の係数は
6 なのかと言うことで, 他の人たちの言っていることが
わかるからです。 数学は言語なので
そうやって他の人との コミュニケーションが
できるのは重要です。 ではこれらの言葉が何を
意味しているのか考えましょう。 ここには「式」があります。 最初に考えたいことは,
式の「項」とは何か? です。 実は式とは何かも重要ですが,
それは項を使って定義します。 これを考える 1 つの方法ですが,
式の項というものは 式の中でたされたりひかれたり
しているもののことです。 たとえば,ここにあるこの式では, 3 つのものがたされたり,
ひかれたりしています。 最初のものは,2 かける 3 です。 それに 4 をたして それから,7y をひいています。 するとこの例では,
3 個の「項」があります。 最初の「項」は「2 かける 3」です。 2 番目の「項」は数 4 です。 そして 3 番目の「項」は
「7 かける y」です。 では,次に「因数」という
言葉を考えてみましょう。 人々が「因数」について考える時, とくに,項について考えている時には, それぞれの「項」の中でかけ
あわされているものを考えています。 たとえば,もしこの最初の
項の因数は何かというと, 最初の「項」とはこのここにあるもの,
「2 かける3」を指しています。 それには 2 個の因数があります。 2 と 3 があり,それらが
互いにかけあわされています。 するとここでは最初の項に
2 個の因数があります。 2 番目の項はここにあります。 こちらは最初の項でした。 ここにある 2 番目の項には 1 個の因数しかありません。
それは 4 です。 これには何かがかかって
いるわけではありません。 ここにある 3 番目の項にも,
2 個の因数があります。 それは 7 と y との積です。 ですからここには 2 個の
因数があります。 7 と y です。 そしてここには定数の
因数,7 があり, それが変数にかけられていますが, これには特別な
名前がついています。 それはこの項の「係数」と言います。 「係数」です。 係数とは項の残りにかかっている
変数ではないものです。 それがこれを考える一つの方法です。 ここには 7y があって, もしこれが 7xy や 7xyz,
7xyz の 2 乗でも, 変数でない 7 が,
残りにかかっています。 その定数を「係数」と呼びます。 ではもう少し例を考えましょう。 実は今ここでぜひビデオをポーズして 自分で項が何か考えてみて
欲しいと思います。 それぞれの式には
いくつの項があるのか, それぞれの項にはいくつの
因数があるのか, そして係数は何か? ではこの最初のものを見てみましょう。 これは 3 つのものが
たされていることはわかるでしょう これは最初の項,
2 番目の項 3 番目の項です。 これが最初の項です。 2 番目の項 3 番目の項です。 そしてそれぞれが 2 個の
因数を持っています。 最初のものの因数は
3 と x です。 この 2 番目のものは
x と y が因数です。 そして 3 番目のものは
y と z が因数です。 さて,ここでの係数は
何でしょうか? 係数とは変数にかかっている
変数ではないものでした。 するとこの最初の項の
係数は 3 です。 では,ここにある項の係数は
何かと思うかもしれません。 これはあなたが
どう考えるかによります。 1 つの考えは,xy を 1
かける xy と考えることです。 ある人たちは,ここには xy に
係数 1 がかかっていると, 暗黙的にあると言います。 書かれてはいないのですが,どれにでも
1 はかかっているという考えです。 そしてそれは,ちょっと主観的な
解釈が入る余地があります。 さて,これはとても興味深いです。 もしこれを大きな式として見ると, この全体を見てみると, 明らかに 3 個の項から
できています。 最初の項は xyz です。 2 番目の項は (x+1) と
y とがかかったものです。 そして 3 番目の項は 4x です。 これを大きなレベルで見ると,
最初の項は, そうですね,いくつの因数が
ありますか? 3 個の因数, x, y, z が
あると言うでしょう。 2 番目の項にはいくつの
因数がありますか? 2 個の因数があると言うでしょう。 1 個の因数は x たす y, もう一つの因数は y です。 すみません,最初の因数は
x たす 1 でした。 2 番目のものは y で
それに,この式がかけられています。 この小さな式そのものが,
因数の一つです。 そしてもう一つは y です。 この 3 番目のものもまた
2 個の因数,4 と x があります。 もし誰かが,この項の係数は
何かと言ったらどうですか? 係数は 4 だと言うでしょう。 さて,ここにあるものを見てみましょう。 実は,それを見る前に,
ここで興味あることは, ここにはより小さな式があり, それ自身が因数の
1 つのようにふるまう式があります。 すると,ここを拡大して,
また同じ質問ができます。 この小さな式には,
いくつの項がありますか? 2 個〈の項)です。
それは x と 1 です。 ここには 2 個のものがたされたり
ひかれたりしています。 そしてそれぞれはちょうど
1 個の因数を持ちます。 すると,これらが与えられた時に, これらの式を何度も
入れ子にして, 項や因数,または項の
因数が考えられます。 その時には考えているどの部分が
入れ子(ネストとも言いますが) そうなっているかを 1 つずつ
考える必要があります。 この式全体では
1, 2, 3 個の項があります。 しかしこの小さな式を見ると, それ自身が項の因数で, ここには 2 個の項だけがあります。 では,これを見てみましょう。 項はいくつありますか? もう一度,確かに 3 個あります。 いや,もう 1 個たしましょうか。 3 個の項のものばかりで飽きました。 ここには 1 をたします。 では,4 個の項があります。 これが初項で,第二項,
第三項,第四項です。 それぞれの項にはいくつの
因数がありますか? 。これは興味深いです。 因数とはかけあわされている
ものでした。 しかしここには y で
割られたものがあります。 思い出しましょう。 y で割るということは,その
逆数をかけることと同じです。 するとこれは通常,3 個の
因数があると考えられます。 それは 3, x, y 分の 1 です。 もし 3 かける x かける
y 分の 1 を計算すると, ここにあるものと同じになります。 すると,これは 3 個の
因数があります。 もし誰かが,この係数は
何かと尋ねたら? 3 が係数だと言うでしょう。 ここにはいくつの因数がありますか? これはちょっとややこしいです。 なぜなら,5 かける x の
2 乗かける y というのは, 5 かける x かける x かける
y と等しいでしょう? それは確かに正しく, 4 個の因数と言いたくなりますが しかし,慣例では,ほとんどの
人たちが使う方法では, x を底とした指数を
1 個の因数とします。 つまりこれが 1 個の
因数になります。 すると慣例では,これを
3 個の因数があると言います。 それは 5,x の 2 乗と y です。 x の 2 乗は単に 1 個の
因数に考えられます。 もう一度,係数は 5 です。 それを考えるとここには
いくつの因数がありますか? そうですね。ここには
3 個の因数があります。 x と,y の 2 乗と,
z の 5 乗です。 最後の項は定数項です。 ここにはいくつの因数が
ありますか? そうですね。1 だけです。 それには何もかけられていません。