3 つの数についての最小公倍数

15，6，10 の最小公倍数は 何でしょうか? 最小公倍数は英語で書くと LCM, Least Common Multiple です。 この Least は「最小の」という意味で， Common は「共通の」， Multiple は「倍数」という意味です。 つまり LCM の日本語訳は 「最小公倍数」です。 ここでは英語の授業でもないのに， なぜ英語の話をするかというと， 「最小公倍数」「最小公倍数」 と毎回書くよりも LCM と書いた方が短く 簡単に書けるからです。 日本の学校でも LCM と書くことが あるので，ここで説明しておきます。 LCM，最小公倍数とは その言葉の示す通り， これらの数の倍数の中で 一番小さなものです。 しかし最小公倍数とは 何かという説明で 「最小の公倍数だ」と言葉を繰り 返しても説明になっていませんね。 まあ，そういう意味のない説明を する先生はいないでしょうし， 私もそんなにひどいビデオを 作る気はありません。 ですからここではこの問題を 実際にやってみて それがどんなものかを 見てみましょう。 そのために，15, 6, 10 の倍数を いくつか考えてみます。 そしてそれから最小の 倍数をみつけます。 これらの数に共通す る最小の倍数です。 では，15 の倍数をみつけましょう。 1 かける 15 は 15 で， 15 かける 2 は 30。 それに 15 をたせば 45， 45 に 15 をさらにたせば 60， 60 に 15 をたすと 75， もう 1 回たすと 90， そして，105 (です)。 もしここまできてもこの他の数と 共通の倍数がない場合には， もっと先に行く必要があるでしょう けれども，今はここまでにしておきます。 15 の倍数を 15 から 105 までみてみました。 もちろんここから先に 続けていくこともできます。 でもここではまあ，次の 6 に ついてみてみましょう。 6 の倍数は… 6 かける 1 は 6，6 × 2 = 12， 6 × 3 = 18，6 × 4 = 24， 6 × 5 = 30，6 × 6 = 36， 6 × 7 = 42，6 × 8 = 48， 6 × 9 = 54， そして 10 倍は 60 です。 60 でもうよさそうですね。 というのもここの 15 の倍数 にも 60 があります。 ところが（ここと）ここに すでに 30 があります。 30 がここにあって，60 がここにある。 最小の公倍数は 30 です。 15 と 6 についてだけ最小公倍数を 考えれば，それは 30 です。 これを途中経過として 書いておきましょう。 最小公倍，LCM の 15 と 6 の… 最小公倍数 最小の公倍数 15 と 6 のものは，… 15 の 2 倍の 30 と， 6 の 5 倍の 30 です。 これが一番小さな公倍数です。 60 もまた公倍数ですが， これは最小ではないです。 ですから最小のものという のは 30 になります。 10 についてはまだ考えていません。 ですから 10 について考えましょう。 でももうどうなるか わかった人もいるでしょう。 10 の倍数は 10, 20, 30, 40... もう十分ですね。 30 があります。30 は 15 と 6 と 10 の最小の公倍数です。 一番小さなものです。 ですから最小公倍数 (LCM)… 15 と 6 と 10 の最小公倍数は 30 に等しいです。 これは最小公倍数を みつける 1 つの方法です。 文字通り，それぞれの数の 倍数をみていき， 共通のもので最小の倍数を みつけるというものです。 他の方法としては， これらの数のそれぞれの 素因数分解をみていく 方法があります。 最小公倍数はこれらの素因数の 全ての要素を持ち， それ以上ではないものです。 その意味がどういうものかを ここでお見せしましょう。 15 は 3 かける 5 と同じことです。 これはこれだけですね。 この素因数分解はこれです。 5 は 3 かける 5です。3 と 5 は 両方とも素数だからです。 6 は 2 かける 3 と同じことと言えます。 これで終わりです。 これがこの素因数分解です。 2 と 3 は両方とも素数です。 最後に，10 は 2 かける 5 と同じことです。 2 も 5 も両方とも素数で，これで 素因数分解は終わりました。 すると，15 と 6 と 10 の LCM， LCM の 15，6，10 は， 単にこれら素因数の全てを 持つ必要があります。 ここで言いたいのは，…そうですね。 はっきりしておきましょう。 LCMになるある数が 15 で割り切れるには， 少なくと も 3 が 1 つ，5 が 1 つ その素因数 (分解) に入って いなくてはいけません。 3 かける 5 が素因数分解に入って いる数は 15 で確実に割り切れます。 6で割り切れる数には，少なくとも 2 が 1 つ，3 が 1 つなくてはいけません。 ここでは 2 が 1 つ必要です。 (ここには) もう 3 が 1 つありますので， これで (必要なものは) 全部です。 ここには 1 つだけ 3 があればかまいません。 これは 6 で割り切れる数と いうことを確実にします。 こちらは 15 で割り切れる数と いうことを確実にします。 そして 10 で割り切れるためには 1 つの 2 と 1 つの 5 が必要です。 ここには 2 があって， 5 がここにあります。 この 2 つ (の数) があることで 10 で 割り切れることが確実になります。 これで必要なものは全部です。 この 2 かける 3 かける 5 という数は， 10 と 6 と 15 の 3 つ (の数) で割り切れる数です。 これをかけ算すると， 2 かける 3 は6 で， 6 かける 5 は 30 に等しくなります。 どちらの方法でもかまいません。 これらがあなたの考えと共振して， どうしてこれが筋が通るのか わかってもらえると嬉しいです。 2番目の方法が 少し良い方法です。 特に複雑な数，かけ算に 時間がかかるような数で， 最小公倍数を求め ようという場合には 2 番目の方法の方が良いです。 でも，どちらの方法でも 最小公倍数を求める 正しい方法には違いありません。