演算の順序の復習

演算の順序とは，式をどのように評価するかという一連のルールです。このルールによってある式に対して誰もが同じ答えを得られるようにします。演算の順序は括弧，指数，乗算/除算，加算/減算の順に優先度が高くなっています。たし算ひき算よりもかけ算割り算が先と覚えている人もいるでしょうがそれだけではありません。

演算の順序とは式をどのように評価するかという一連のルールです。このルールに従うことでいつでも同じ答えを得られるようにします。

$括弧$ ‍: カッコの中は他のどれよりも先に評価します。例えば次のようなものです。

2 \times (3 + 1) = 2 \times 4 = 8

$指数$ ‍: 指数はかけ算，割り算，たし算，ひき算よりも先に評価します。例えば次のようなものです。

2 \times 3^{2} = 2 \times 9 = 18

$かけ算$ ‍ と $割り算$ ‍: かけ算と割り算はたし算とひき算よりも先に評価します。例えば次のようなものです。

1 + 4 \div 2 = 1 + 2 = 3

$たし算$ ‍ と $ひき算$ ‍: 最後にたし算とひき算を評価します。

英語ではこれを

P E MD AS

(ペムダス) と覚えることがあります。「P」は英語の括弧の頭文字 (parentheses)，「E」は英語の指数 (exponents) の頭文字です。しかし，日本語ではそのまま，括弧が一番先，かけ算と割り算がたし算ひき算よりも先，のように覚えることが多いでしょう。

重要な注意点: 同じタイプの演算が並んでいる場合には左から右に評価をしていきます。この順番はひき算や割り算が式の左側にある場合には重要になります。例えば，

4 - 2 + 3

や

4 \div 2 * 3

です。(これがなぜ重要になるかは以下の練習問題 3 をご覧ください)。

例題 1

$6 \times 4 + 2 \times 3$ ‍ を評価しましょう。

ここには括弧も指数もありませんので，かけ算と割り算から始めます。

$6 \times 4 + 2 \times 3$ ‍	‍
$= 6 \times 4 + 2 \times 3$ ‍	$6$ ‍ と $4$ ‍ をかける。
$= 24 + 2 \times 3$ ‍	$2$ ‍ と $3$ ‍ をかける。
$= 24 + 6$ ‍	$24$ ‍ と $6$ ‍ をたす。
$= 30$ ‍	... できました!

注意: 全てのかけ算がたし算の前に評価されるようにしました。もし

2 \times 3

のかけ算の前に

24 + 2

を評価したら，間違った答えになったことでしょう。

例題 2

$6^{2} - 2 (5 + 1 + 3)$ ‍ を評価しましょう。

$6^{2} - 2 (5 + 1 + 3)$ ‍	‍
$= 6^{2} - 2 (5 + 1 + 3)$ ‍	括弧の中の $5 + 1 + 3$ ‍ を最初に評価します。
$= 6^{2} - 2 (9)$ ‍	$6^{2}$ ‍ を求めます。それは $6 \cdot 6 = 36$ ‍ です。
$= 36 - 2 (9)$ ‍	$2$ ‍ と $9$ ‍ のかけ算をします。
$= 36 - 18$ ‍	$36$ ‍ から $18$ ‍ を引きます。
$= 18$ ‍	... できました!

例題 3

$7 - 2 + 3$ ‍ を評価しましょう。

これを評価する正しい方法は左から右の順番でおこなうことです。

正	誤
$\begin{aligned} 7 - 2 + 3 \\ = & 5 + 3 \\ = & 8 \end{aligned}$ ‍	$\begin{aligned} 7 - 2 + 3 \\ = & 7 - 5 \\ = & 2 \end{aligned}$ ‍

注意: たし算とひき算の優先順位は同じです。かけ算と割り算の優先順位も同じです。

もっと演算の順序について学びたいですか? このビデオをチェックしてみてください。

練習問題

問 1

2 + 12 \div 2 \times 3 =

このような問題でもっと練習をしてみたいですか? この入門的な練習問題とこちらのもっと挑戦的な練習問題をチェックしてみて下さい: 練習問題 1 と練習問題 2.

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