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小学 3 年生
コース: 小学 3 年生 > 単位 2
レッスン 7: かけ算の性質かけ算の結合法則の紹介
かけ算のグループを変更する練習問題をして,それがどのように積に影響するかみてみましょう。
数をグループにまとめる
この図はそれぞれの行に start color #e07d10, 2, end color #e07d10 個の点のある行が start color #01a995, 3, end color #01a995 行あることを示しています。この配列を表すために式 start color #01a995, 3, end color #01a995, times, start color #e07d10, 2, end color #e07d10 を使うことができます。
この図は start color #01a995, 3, end color #01a995, times, start color #e07d10, 2, end color #e07d10 の配列が start color #7854ab, 4, end color #7854ab 回コピーされている様子を示します。全部の配列は同じものです。
この配列を示すために,式 left parenthesis, start color #01a995, 3, end color #01a995, times, start color #e07d10, 2, end color #e07d10, right parenthesis, times, start color #7854ab, 4, end color #7854ab を使います。
もし点を数えると,全部で 24 個あります。
グループのまとめ方を変える
もしカッコの場所を変えて数を違った方法でまとめても,全体の数は同じでしょうか?
start color #e07d10, 2, end color #e07d10 と start color #7854ab, 4, end color #7854ab がいっしょのグループになるように数をまとめなおしましょう: start color #01a995, 3, end color #01a995, times, left parenthesis, start color #e07d10, 2, end color #e07d10, times, start color #7854ab, 4, end color #7854ab, right parenthesis.
この式を示す配列も描くことができます。それぞれの行にstart color #7854ab, 4, end color #7854ab 個の点のある行を start color #e07d10, 2, end color #e07d10 行描くことから始めましょう。この配列は start color #e07d10, 2, end color #e07d10, times, start color #7854ab, 4, end color #7854ab を示します。
次に start color #01a995, 3, end color #01a995, times, left parenthesis, start color #e07d10, 2, end color #e07d10, times, start color #7854ab, 4, end color #7854ab, right parenthesis を表すためにこの配列を start color #01a995, 3, end color #01a995 回コピーします。
もし点を数えると,これも全部で 24 個あります。
まとめ方を変えて (グループを再編成して) も,答えは変わりません!
結合法則
かけ算で答えを変えずに数のグループの方法を変えることができる,という数学の規則のことを結合法則といいます。
次のかけ算の問題で数を 2 つの異なった方法でグループにしてみましょう。そして両方の方法で同じ積になることを示しましょう。
まずは start color #11accd, 5, end color #11accd と start color #11accd, 4, end color #11accd をグループにまとめることから始めましょう。1 段階づつ,式を評価していくことができます。
empty space, left parenthesis, start color #11accd, 5, times, 4, end color #11accd, right parenthesis, times, 2
equals, start color #11accd, 20, end color #11accd, times, 2
equals, 40
equals, start color #11accd, 20, end color #11accd, times, 2
equals, 40
次は,start color #7854ab, 4, end color #7854ab と start color #7854ab, 2, end color #7854ab をグループにまとめることからはじめてみましょう。
empty space, 5, times, left parenthesis, start color #7854ab, 4, times, 2, end color #7854ab, right parenthesis
equals, 5, times, start color #7854ab, 8, end color #7854ab
equals, 40
equals, 5, times, start color #7854ab, 8, end color #7854ab
equals, 40
数を 2 つの異なった方法でグループにまとめた場合でも,同じ積がえられました。
これら 3 つの式は全て等しいです:
empty space, 5, times, 4, times, 2
equals, left parenthesis, start color #11accd, 5, times, 4, end color #11accd, right parenthesis, times, 2
equals, 5, times, left parenthesis, start color #7854ab, 4, times, 2, end color #7854ab, right parenthesis
empty space, 5, times, 4, times, 2
equals, left parenthesis, start color #11accd, 5, times, 4, end color #11accd, right parenthesis, times, 2
equals, 5, times, left parenthesis, start color #7854ab, 4, times, 2, end color #7854ab, right parenthesis
いくつかの練習問題を試してみましょう
式を 2 つの異なる方法で評価してみましょう。
次に同じ式を異なった方法でグループにしてみましょう。
left parenthesis, start color #7854ab, 3, times, 2, end color #7854ab, right parenthesis, times, 5, equals, 30 かつ
3, times, left parenthesis, start color #1fab54, 2, times, 5, end color #1fab54, right parenthesis, equals, 30
3, times, left parenthesis, start color #1fab54, 2, times, 5, end color #1fab54, right parenthesis, equals, 30
数を 2 つの異なった方法でグループにまとめた場合でも,同じ積がえられました。
等価な式
等価な式を求めるために,結合法則を使うことができます。
式 2, times, 2, times, 5 から始めましょう。
私たちは 2, times, 2, times, 5 に等しくなるように 2 つの方法でこの式をグループ化できます:
left parenthesis, start color #11accd, 2, times, 2, end color #11accd, right parenthesis, times, 5
2, times, left parenthesis, start color #e07d10, 2, times, 5, end color #e07d10, right parenthesis
2, times, left parenthesis, start color #e07d10, 2, times, 5, end color #e07d10, right parenthesis
1 段階ずつこの式を評価していくことで,もう一つの式も等価であることがわかります。
left parenthesis, start color #11accd, 2, times, 2, end color #11accd, right parenthesis, times, 5, equals, start color #11accd, 4, end color #11accd, times, 5
2, times, left parenthesis, start color #e07d10, 2, times, 5, end color #e07d10, right parenthesis, equals, 2, times, start color #e07d10, 10, end color #e07d10
2, times, left parenthesis, start color #e07d10, 2, times, 5, end color #e07d10, right parenthesis, equals, 2, times, start color #e07d10, 10, end color #e07d10
ですから元の式 2, times, 2, times, 5 は, 4, times, 5 でもあり,2, times, 10 でもあります。
どうしてグループを再編成するのですか?
グループをまとめなおす (再編成する) ことでかけ算の問題を簡単にすることができることがあります。
式 4, times, 4, times, 5 を見てみましょう。
この式は 2 つの方法でグループにすることができます。
left parenthesis, 4, times, 4, right parenthesis, times, 5
4, times, left parenthesis, 4, times, 5, right parenthesis
4, times, left parenthesis, 4, times, 5, right parenthesis
もし最初の式を 1 段階ずつ評価していくと次のようになります:
left parenthesis, start color #11accd, 4, times, 4, end color #11accd, right parenthesis, times, 5, equals, start color #11accd, 16, end color #11accd, times, 5
もし 2 番目の式を 1 段階ずつ評価していくと次のようになります:
4, times, left parenthesis, start color #7854ab, 4, times, 5, end color #7854ab, right parenthesis, equals, 4, times, start color #7854ab, 20, end color #7854ab
4, times, 20 の積を求める方が 16, times, 5 の積を求めるよりも簡単でしょう。
数は異なった方法でグループにまとめられていますが,両方の式は同じ積を持ちます。
4, times, 20, equals, 80
16, times, 5, equals, 80
16, times, 5, equals, 80