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小学 3 年生

コース: 小学 3 年生 > 単位 2

レッスン 7: かけ算の性質
数学
小学 3 年生
かけ算と割り算
かけ算の性質
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かけ算の結合法則の紹介

グーグル クラスルーム
かけ算のグループを変更する練習問題をして，それがどのように積に影響するかみてみましょう。

数をグループにまとめる

この図はそれぞれの行に start color #e07d10, 2, end color #e07d10 個の点のある行が start color #01a995, 3, end color #01a995 行あることを示しています。この配列を表すために式 start color #01a995, 3, end color #01a995, times, start color #e07d10, 2, end color #e07d10 を使うことができます。
この図は start color #01a995, 3, end color #01a995, times, start color #e07d10, 2, end color #e07d10 の配列が start color #7854ab, 4, end color #7854ab 回コピーされている様子を示します。全部の配列は同じものです。
この配列を示すために，式 left parenthesis, start color #01a995, 3, end color #01a995, times, start color #e07d10, 2, end color #e07d10, right parenthesis, times, start color #7854ab, 4, end color #7854ab を使います。
もし点を数えると，全部で 24 個あります。

グループのまとめ方を変える

もしカッコの場所を変えて数を違った方法でまとめても，全体の数は同じでしょうか?
start color #e07d10, 2, end color #e07d10 と start color #7854ab, 4, end color #7854ab がいっしょのグループになるように数をまとめなおしましょう: start color #01a995, 3, end color #01a995, times, left parenthesis, start color #e07d10, 2, end color #e07d10, times, start color #7854ab, 4, end color #7854ab, right parenthesis.
この式を示す配列も描くことができます。それぞれの行にstart color #7854ab, 4, end color #7854ab 個の点のある行を start color #e07d10, 2, end color #e07d10 行描くことから始めましょう。この配列は start color #e07d10, 2, end color #e07d10, times, start color #7854ab, 4, end color #7854ab を示します。
次に start color #01a995, 3, end color #01a995, times, left parenthesis, start color #e07d10, 2, end color #e07d10, times, start color #7854ab, 4, end color #7854ab, right parenthesis を表すためにこの配列を start color #01a995, 3, end color #01a995 回コピーします。
もし点を数えると，これも全部で 24 個あります。
まとめ方を変えて (グループを再編成して) も，答えは変わりません!
left parenthesis, start color #01a995, 3, end color #01a995, times, start color #e07d10, 2, end color #e07d10, right parenthesis, times, start color #7854ab, 4, end color #7854ab, equals, start color #01a995, 3, end color #01a995, times, left parenthesis, start color #e07d10, 2, end color #e07d10, times, start color #7854ab, 4, end color #7854ab, right parenthesis

結合法則

かけ算で答えを変えずに数のグループの方法を変えることができる，という数学の規則のことを結合法則といいます。
次のかけ算の問題で数を 2 つの異なった方法でグループにしてみましょう。そして両方の方法で同じ積になることを示しましょう。
5, times, 4, times, 2
まずは start color #11accd, 5, end color #11accd と start color #11accd, 4, end color #11accd をグループにまとめることから始めましょう。1 段階づつ，式を評価していくことができます。
empty space, left parenthesis, start color #11accd, 5, times, 4, end color #11accd, right parenthesis, times, 2
equals, start color #11accd, 20, end color #11accd, times, 2
equals, 40
次は，start color #7854ab, 4, end color #7854ab と start color #7854ab, 2, end color #7854ab をグループにまとめることからはじめてみましょう。
empty space, 5, times, left parenthesis, start color #7854ab, 4, times, 2, end color #7854ab, right parenthesis
equals, 5, times, start color #7854ab, 8, end color #7854ab
equals, 40
数を 2 つの異なった方法でグループにまとめた場合でも，同じ積がえられました。
これら 3 つの式は全て等しいです:
empty space, 5, times, 4, times, 2
equals, left parenthesis, start color #11accd, 5, times, 4, end color #11accd, right parenthesis, times, 2
equals, 5, times, left parenthesis, start color #7854ab, 4, times, 2, end color #7854ab, right parenthesis

いくつかの練習問題を試してみましょう

問 1
どの式が 6, times, 3, times, 4 と等しいですか?
あてはまる答えを全て選んで下さい:

式を 2 つの異なる方法で評価してみましょう。
問 2
式 left parenthesis, start color #7854ab, 3, times, 2, end color #7854ab, right parenthesis, times, 5 を解くために，次のかけている部分を埋めてください。
left parenthesis, start color #7854ab, 3, times, 2, end color #7854ab, right parenthesis, times, 5space, equals, space
  • 答えは
  • 6 のような整数
  • 簡単にされた真分数，たとえば 3, slash, 5
  • 簡単にされた仮分数，たとえば 7, slash, 4
  • 帯分数，たとえば1, space, 3, slash, 4
  • 厳密な小数，たとえば 0, point, 75
  • πの倍数，たとえば 12, space, start text, p, i, end text や 2, slash, 3, space, start text, p, i, end text
times, 5
empty spacespace, equals, space
  • 答えは
  • 6 のような整数
  • 簡単にされた真分数，たとえば 3, slash, 5
  • 簡単にされた仮分数，たとえば 7, slash, 4
  • 帯分数，たとえば1, space, 3, slash, 4
  • 厳密な小数，たとえば 0, point, 75
  • πの倍数，たとえば 12, space, start text, p, i, end text や 2, slash, 3, space, start text, p, i, end text

次に同じ式を異なった方法でグループにしてみましょう。
問 3
式 3, times, left parenthesis, start color #1fab54, 2, times, 5, end color #1fab54, right parenthesis を解くために，次のかけている部分を埋めてください。
3, times, left parenthesis, start color #1fab54, 2, times, 5, end color #1fab54, right parenthesisspace, equals, space, 3, times
  • 答えは
  • 6 のような整数
  • 簡単にされた真分数，たとえば 3, slash, 5
  • 簡単にされた仮分数，たとえば 7, slash, 4
  • 帯分数，たとえば1, space, 3, slash, 4
  • 厳密な小数，たとえば 0, point, 75
  • πの倍数，たとえば 12, space, start text, p, i, end text や 2, slash, 3, space, start text, p, i, end text
empty spacespace, equals, space
  • 答えは
  • 6 のような整数
  • 簡単にされた真分数，たとえば 3, slash, 5
  • 簡単にされた仮分数，たとえば 7, slash, 4
  • 帯分数，たとえば1, space, 3, slash, 4
  • 厳密な小数，たとえば 0, point, 75
  • πの倍数，たとえば 12, space, start text, p, i, end text や 2, slash, 3, space, start text, p, i, end text

left parenthesis, start color #7854ab, 3, times, 2, end color #7854ab, right parenthesis, times, 5, equals, 30 かつ
3, times, left parenthesis, start color #1fab54, 2, times, 5, end color #1fab54, right parenthesis, equals, 30
数を 2 つの異なった方法でグループにまとめた場合でも，同じ積がえられました。

等価な式

等価な式を求めるために，結合法則を使うことができます。
式 2, times, 2, times, 5 から始めましょう。
私たちは 2, times, 2, times, 5 に等しくなるように 2 つの方法でこの式をグループ化できます:
left parenthesis, start color #11accd, 2, times, 2, end color #11accd, right parenthesis, times, 5
2, times, left parenthesis, start color #e07d10, 2, times, 5, end color #e07d10, right parenthesis
1 段階ずつこの式を評価していくことで，もう一つの式も等価であることがわかります。
left parenthesis, start color #11accd, 2, times, 2, end color #11accd, right parenthesis, times, 5, equals, start color #11accd, 4, end color #11accd, times, 5
2, times, left parenthesis, start color #e07d10, 2, times, 5, end color #e07d10, right parenthesis, equals, 2, times, start color #e07d10, 10, end color #e07d10
ですから元の式 2, times, 2, times, 5 は， 4, times, 5 でもあり，2, times, 10 でもあります。
問 4
どの式が 8, times, 2, times, 4 と等しいですか?
あてはまる答えを全て選んで下さい:

どうしてグループを再編成するのですか?

グループをまとめなおす (再編成する) ことでかけ算の問題を簡単にすることができることがあります。
式 4, times, 4, times, 5 を見てみましょう。
この式は 2 つの方法でグループにすることができます。
left parenthesis, 4, times, 4, right parenthesis, times, 5
4, times, left parenthesis, 4, times, 5, right parenthesis
もし最初の式を 1 段階ずつ評価していくと次のようになります: left parenthesis, start color #11accd, 4, times, 4, end color #11accd, right parenthesis, times, 5, equals, start color #11accd, 16, end color #11accd, times, 5
もし 2 番目の式を 1 段階ずつ評価していくと次のようになります: 4, times, left parenthesis, start color #7854ab, 4, times, 5, end color #7854ab, right parenthesis, equals, 4, times, start color #7854ab, 20, end color #7854ab
4, times, 20 の積を求める方が 16, times, 5 の積を求めるよりも簡単でしょう。
数は異なった方法でグループにまとめられていますが，両方の式は同じ積を持ちます。
4, times, 20, equals, 80
16, times, 5, equals, 80

問題を解いてみましょう

問 5
式 2, times, 3, times, 9 はどのようにグループにまとめられますか?
あてはまる答えを全て選んで下さい:

問 6
最終的な積を求める時，途中で 2 桁の数の計算をしたくない場合は，どのようにグループをまとめたらいいでしょうか?
答えを 1 つだけ選んで下さい:

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