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コース: 小学 3 年生 > 単位 2
レッスン 7: かけ算の性質かけ算の結合法則の紹介
かけ算のグループを変更する練習問題をして,それがどのように積に影響するかみてみましょう。
数をグループにまとめる
この図はそれぞれの行に 個の点のある行が 行あることを示しています。この配列を表すために式 を使うことができます。
この図は の配列が 回コピーされている様子を示します。全部の配列は同じものです。
この配列を示すために,式 を使います。
もし点を数えると,全部で 個あります。
グループのまとめ方を変える
もしカッコの場所を変えて数を違った方法でまとめても,全体の数は同じでしょうか?
この式を示す配列も描くことができます。それぞれの行に 個の点のある行を 行描くことから始めましょう。この配列は を示します。
次に を表すためにこの配列を 回コピーします。
もし点を数えると,これも全部で 個あります。
まとめ方を変えて (グループを再編成して) も,答えは変わりません!
結合法則
かけ算で答えを変えずに数のグループの方法を変えることができる,という数学の規則のことを結合法則といいます。
次のかけ算の問題で数を 2 つの異なった方法でグループにしてみましょう。そして両方の方法で同じ積になることを示しましょう。
まずは と をグループにまとめることから始めましょう。1 段階づつ,式を評価していくことができます。
次は, と をグループにまとめることからはじめてみましょう。
数を 2 つの異なった方法でグループにまとめた場合でも,同じ積がえられました。
これら 3 つの式は全て等しいです:
いくつかの練習問題を試してみましょう
式を 2 つの異なる方法で評価してみましょう。
次に同じ式を異なった方法でグループにしてみましょう。
数を 2 つの異なった方法でグループにまとめた場合でも,同じ積がえられました。
等価な式
等価な式を求めるために,結合法則を使うことができます。
式 から始めましょう。
私たちは に等しくなるように 2 つの方法でこの式をグループ化できます:
1 段階ずつこの式を評価していくことで,もう一つの式も等価であることがわかります。
ですから元の式 は, でもあり, でもあります。
どうしてグループを再編成するのですか?
グループをまとめなおす (再編成する) ことでかけ算の問題を簡単にすることができることがあります。
式 を見てみましょう。
この式は 2 つの方法でグループにすることができます。
もし最初の式を 1 段階ずつ評価していくと次のようになります:
もし 2 番目の式を 1 段階ずつ評価していくと次のようになります:
数は異なった方法でグループにまとめられていますが,両方の式は同じ積を持ちます。