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かけ算の結合法則の紹介

かけ算のグループを変更する練習問題をして，それがどのように積に影響するかみてみましょう。

数をグループにまとめる

この図はそれぞれの行に

2

個の点のある行が

3

行あることを示しています。この配列を表すために式

3 \times 2

を使うことができます。

この図は

3 \times 2

の配列が

4

回コピーされている様子を示します。全部の配列は同じものです。

この配列を示すために，式

(3 \times 2) \times 4

を使います。

もし点を数えると，全部で

24

個あります。

グループのまとめ方を変える

もしカッコの場所を変えて数を違った方法でまとめても，全体の数は同じでしょうか?

2

と

4

がいっしょのグループになるように数をまとめなおしましょう:

3 \times (2 \times 4)

この式を示す配列も描くことができます。それぞれの行に

4

個の点のある行を

2

行描くことから始めましょう。この配列は

2 \times 4

を示します。

次に

3 \times (2 \times 4)

を表すためにこの配列を

3

回コピーします。

もし点を数えると，これも全部で

24

個あります。

まとめ方を変えて (グループを再編成して) も，答えは変わりません!

(3 \times 2) \times 4 = 3 \times (2 \times 4)

結合法則

かけ算で答えを変えずに数のグループの方法を変えることができる，という数学の規則のことを結合法則といいます。

次のかけ算の問題で数を 2 つの異なった方法でグループにしてみましょう。そして両方の方法で同じ積になることを示しましょう。

5 \times 4 \times 2

まずは

5

と

4

をグループにまとめることから始めましょう。1 段階づつ，式を評価していくことができます。

(5 \times 4) \times 2

= 20 \times 2

= 40

次は，

4

と

2

をグループにまとめることからはじめてみましょう。

5 \times (4 \times 2)

= 5 \times 8

= 40

数を 2 つの異なった方法でグループにまとめた場合でも，同じ積がえられました。

これら 3 つの式は全て等しいです:

5 \times 4 \times 2

= (5 \times 4) \times 2

= 5 \times (4 \times 2)

いくつかの練習問題を試してみましょう

問 1

どの式が $6 \times 3 \times 4$ ‍ と等しいですか?

式を 2 つの異なる方法で評価してみましょう。

問 2

式 $(3 \times 2) \times 5$ ‍ を解くために，次のかけている部分を埋めてください。

(3 \times 2) \times 5

=

\times 5

=

次に同じ式を異なった方法でグループにしてみましょう。

問 3

式 $3 \times (2 \times 5)$ ‍ を解くために，次のかけている部分を埋めてください。

3 \times (2 \times 5)

= 3 \times

=

(3 \times 2) \times 5 = 30

かつ

3 \times (2 \times 5) = 30

数を 2 つの異なった方法でグループにまとめた場合でも，同じ積がえられました。

等価な式

等価な式を求めるために，結合法則を使うことができます。

式

2 \times 2 \times 5

から始めましょう。

私たちは

2 \times 2 \times 5

に等しくなるように 2 つの方法でこの式をグループ化できます:

(2 \times 2) \times 5

2 \times (2 \times 5)

1 段階ずつこの式を評価していくことで，もう一つの式も等価であることがわかります。

(2 \times 2) \times 5 = 4 \times 5

2 \times (2 \times 5) = 2 \times 10

ですから元の式

2 \times 2 \times 5

は，

4 \times 5

でもあり，

2 \times 10

でもあります。

問 4

どの式が $8 \times 2 \times 4$ ‍ と等しいですか?

どうしてグループを再編成するのですか?

グループをまとめなおす (再編成する) ことでかけ算の問題を簡単にすることができることがあります。

式

4 \times 4 \times 5

を見てみましょう。

この式は 2 つの方法でグループにすることができます。

(4 \times 4) \times 5

4 \times (4 \times 5)

もし最初の式を 1 段階ずつ評価していくと次のようになります:

(4 \times 4) \times 5 = 16 \times 5

もし 2 番目の式を 1 段階ずつ評価していくと次のようになります:

4 \times (4 \times 5) = 4 \times 20

4 \times 20

の積を求める方が

16 \times 5

の積を求めるよりも簡単でしょう。

数は異なった方法でグループにまとめられていますが，両方の式は同じ積を持ちます。

4 \times 20 = 80

16 \times 5 = 80

問題を解いてみましょう

問 5

式 $2 \times 3 \times 9$ ‍ はどのようにグループにまとめられますか?

問 6

最終的な積を求める時，途中で 2 桁の数の計算をしたくない場合は，どのようにグループをまとめたらいいでしょうか?

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