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小学 3 年生
コース: 小学 3 年生 > 単位 2
レッスン 7: かけ算の性質かけ算の性質
かけ算の交換則と結合則を見るために練習問題と図を使います。 Sal Khan により作成されました。
ビデオのトランスクリプト
さて,これらの 4 かける 6 の
格子のそれぞれを見たら, どれにも緑の丸が 24 個あることは はっきりしているでしょう。 しかし,ここで私は
これを 3 つの数の積として それぞれ違う方法で 24 を
計算したいと思います。 そして実はどの積を
最初に計算するかと かけ算の順番は答えに関係
ないことを見せたいのです。 ではまずこれを見ましょう。 ここで私が色をつけた方法ですが, ここには 4 個でできたグループを
3 グループ作りました。 この青緑の部分を見ると, 1 個,2 個,3個の 4 個で
できたグループです。 ちょっとはっきりさせましょうか。 1 個,2 個,3 個の 4 個で
できたグループがあります。 するとこれらの 3 列を 3 かける
4 と考えることができます。 そして,こちらにもう 1 個の
3 かける 4 があります。 4 個でできたグループが
1 個,2 個,3 個あります。 するとこの 2 つを合わせて これを 2 かける 3 かける
4 と見ることができます。 1 個の 3 かける 4 と, もう 1 個の 3 かける 4 です。 ちょっとスペースをとってみますか。 これは 2 かける,…
ここは青で書きます。 2 かける 3 かける 4 です。 これがここにある
ボールの数全体です。 そしてこれはどのように色が塗ら
れているかによって計算できます。 3 かける 4 を先に計算して, 12 になって,
それから 2 をかけると, 24 になります。 これはここにある緑の丸の
全部の数になります。 さてここで私はこれら他の 2 つ
もあなたに見て欲しいです。 ビデオをポーズして,これらの積が 何になるかを考えてみて下さい。 まずは青のグループを見て, 次に紫のグループと計算して, 積がいつも 24 に等しい
ことを確認しましょう。 さて,ここであなたが
もうビデオをポーズして やってみたと仮定します。 さて,この紫をゾーンと呼びましょう。 まず,ゾーンの中には 2 個の
4 個でできたグループがあります。 するとここには 2 かける 4 があります。 ここには,1 個(目)の 4 個で
できたグループ, 2 個(目)の 4 個でできた
グループがあります。 こちらにも 2 個の 4 個の
グループがあるので 2 かける 4 です。 ここにも 4 個でできたグループが
2 個あるので 2 かける 4 です。 するとここには 3 個の
2 かける 4 があります。 これらのそれぞれを見ると,
または,これらを全部あわせると, 3 かける 2 かける 4 になります。 これは 3 個の
2 かける 4 になります。 注意して下さい。私はこれを
違う順番で計算しました。 ここでは 3 かける 4 を
最初にしましたが こちらでは 2 かける 4が
最初です。 しかし,前と同じように,
2 かける 4 は 8 で, 8 かける 3 はまた
24 に等しいです。 これは当然そうならないといけません。 ここには同じ数の緑の
丸があるからです。 この下でも,ビデオをポーズして
同じことをしてみて下さい。 青のグループを見て, それから紫のグループを考えて, 24 は 2 と 3 と 4 のある順番の
積であることを表してみましょう。 さて,まずここには 3 個で
できたグループが, 1 個,2 個あります。 するとこれは 2 かける 3 と
見ることができます。 ここの紫のゾーンの中にも同じように 2 かける 3 の丸があります。 ここにもやはり 2 かける… おおっと。これは 2 かける 2
ではなくて, 2 かける 3 でした。 もう 1 個の 2 かける 3 が
ここにもあります。 そして最後に,4 つめの
2 かける 3 があります。 ではここには 2 かける 3 は
いくつありますか? ここには,1, 2, 3, 4 個の
2 かける 3 です。 すると,この全体は,これは, 4 かける 2 かける 3 と
書くことができます。 これは何に等しいですか? これは 24 に等しくならない
といけないです。 確かめてみましょう。
2 かける 3 は 6 に等しく, 6 かける 4 は確かに
24 に等しいです。 ここで私が見せたい考えは, かけ算の順序は気にしなくても
いいということです。 これをもっとはっきりさせましょう。 もう 1 つ違うまったく新しい
例題をやってみましょう。 たとえば, 4 かける 5 かける 6 が
あるとしましょう。 このかけ算はいくつもの
方法ですることができます。 4 かける 5 を先に計算する
こともできますし, または 5 かける 6 を最初に
計算することもできます。 ここでぜひビデオをポーズして, これらの 2 つが等価である
ことを確かめてみて下さい。 実はこれは結合法則と呼ばれます。 これらをどう結合しても, これらのどちらを先に計算しても 結果には関係ないということです。 また,順番も結果に関係ありません。 これを 5 かける 4 かける 6 にするか, 4 と 5 をここで交換している
ことに注意して下さい。 または,これを 6 かける 5 かける 4
にしても結果は同じです。 ここでは 6 と
5 かける 4 を交換しました。 これらは皆同じ値になります。 ぜひここでビデオをポーズして
考えて欲しいです。 ここでどの部分を先に計算するか, 4 かける 5 が先か, 5 かける 6 が先かには
結果は関係ありません。 これは結合法則です。 これは,シンプルなことですが
言葉がちょっと難しいです。 そしてもし順番が結果に関係
ないということを言う時には, つまり 4 × 5 か 5 × 4 かには
関係ないということは, 交換法則と呼びます。 これも難しい言葉ですが,
言っていることは簡単です。 交換法則というのは単に
どういう順番で計算しても 結果は変わらないということを
言っているだけです。