かけ算の性質

さて，これらの 4 かける 6 の 格子のそれぞれを見たら， どれにも緑の丸が 24 個あることは はっきりしているでしょう。 しかし，ここで私は これを 3 つの数の積として それぞれ違う方法で 24 を 計算したいと思います。 そして実はどの積を 最初に計算するかと かけ算の順番は答えに関係 ないことを見せたいのです。 ではまずこれを見ましょう。 ここで私が色をつけた方法ですが， ここには 4 個でできたグループを 3 グループ作りました。 この青緑の部分を見ると， 1 個，2 個，3個の 4 個で できたグループです。 ちょっとはっきりさせましょうか。 1 個，2 個，3 個の 4 個で できたグループがあります。 するとこれらの 3 列を 3 かける 4 と考えることができます。 そして，こちらにもう 1 個の 3 かける 4 があります。 4 個でできたグループが 1 個，2 個，3 個あります。 するとこの 2 つを合わせて これを 2 かける 3 かける 4 と見ることができます。 1 個の 3 かける 4 と， もう 1 個の 3 かける 4 です。 ちょっとスペースをとってみますか。 これは 2 かける，… ここは青で書きます。 2 かける 3 かける 4 です。 これがここにある ボールの数全体です。 そしてこれはどのように色が塗ら れているかによって計算できます。 3 かける 4 を先に計算して， 12 になって， それから 2 をかけると， 24 になります。 これはここにある緑の丸の 全部の数になります。 さてここで私はこれら他の 2 つ もあなたに見て欲しいです。 ビデオをポーズして，これらの積が 何になるかを考えてみて下さい。 まずは青のグループを見て， 次に紫のグループと計算して， 積がいつも 24 に等しい ことを確認しましょう。 さて，ここであなたが もうビデオをポーズして やってみたと仮定します。 さて，この紫をゾーンと呼びましょう。 まず，ゾーンの中には 2 個の 4 個でできたグループがあります。 するとここには 2 かける 4 があります。 ここには，1 個(目)の 4 個で できたグループ， 2 個(目)の 4 個でできた グループがあります。 こちらにも 2 個の 4 個の グループがあるので 2 かける 4 です。 ここにも 4 個でできたグループが 2 個あるので 2 かける 4 です。 するとここには 3 個の 2 かける 4 があります。 これらのそれぞれを見ると， または，これらを全部あわせると， 3 かける 2 かける 4 になります。 これは 3 個の 2 かける 4 になります。 注意して下さい。私はこれを 違う順番で計算しました。 ここでは 3 かける 4 を 最初にしましたが こちらでは 2 かける 4が 最初です。 しかし，前と同じように， 2 かける 4 は 8 で， 8 かける 3 はまた 24 に等しいです。 これは当然そうならないといけません。 ここには同じ数の緑の 丸があるからです。 この下でも，ビデオをポーズして 同じことをしてみて下さい。 青のグループを見て， それから紫のグループを考えて， 24 は 2 と 3 と 4 のある順番の 積であることを表してみましょう。 さて，まずここには 3 個で できたグループが， 1 個，2 個あります。 するとこれは 2 かける 3 と 見ることができます。 ここの紫のゾーンの中にも同じように 2 かける 3 の丸があります。 ここにもやはり 2 かける… おおっと。これは 2 かける 2 ではなくて， 2 かける 3 でした。 もう 1 個の 2 かける 3 が ここにもあります。 そして最後に，4 つめの 2 かける 3 があります。 ではここには 2 かける 3 は いくつありますか? ここには，1, 2, 3, 4 個の 2 かける 3 です。 すると，この全体は，これは， 4 かける 2 かける 3 と 書くことができます。 これは何に等しいですか? これは 24 に等しくならない といけないです。 確かめてみましょう。 2 かける 3 は 6 に等しく， 6 かける 4 は確かに 24 に等しいです。 ここで私が見せたい考えは， かけ算の順序は気にしなくても いいということです。 これをもっとはっきりさせましょう。 もう 1 つ違うまったく新しい 例題をやってみましょう。 たとえば， 4 かける 5 かける 6 が あるとしましょう。 このかけ算はいくつもの 方法ですることができます。 4 かける 5 を先に計算する こともできますし， または 5 かける 6 を最初に 計算することもできます。 ここでぜひビデオをポーズして， これらの 2 つが等価である ことを確かめてみて下さい。 実はこれは結合法則と呼ばれます。 これらをどう結合しても， これらのどちらを先に計算しても 結果には関係ないということです。 また，順番も結果に関係ありません。 これを 5 かける 4 かける 6 にするか， 4 と 5 をここで交換している ことに注意して下さい。 または，これを 6 かける 5 かける 4 にしても結果は同じです。 ここでは 6 と 5 かける 4 を交換しました。 これらは皆同じ値になります。 ぜひここでビデオをポーズして 考えて欲しいです。 ここでどの部分を先に計算するか， 4 かける 5 が先か， 5 かける 6 が先かには 結果は関係ありません。 これは結合法則です。 これは，シンプルなことですが 言葉がちょっと難しいです。 そしてもし順番が結果に関係 ないということを言う時には， つまり 4 × 5 か 5 × 4 かには 関係ないということは， 交換法則と呼びます。 これも難しい言葉ですが， 言っていることは簡単です。 交換法則というのは単に どういう順番で計算しても 結果は変わらないということを 言っているだけです。