数学でいたずら書き: 無限の象

また数学のクラスにいます。 というのも，大人達が 毎日毎日そうさせるからです あなたが習っているのは -- 無限級数の和ですか? これは高校のトピックでしょう? 変ですね。これはクールな トピックなのに。 ともかく大人達はなんとか これを台無しにしたので カリキュラムに入ったのでしょう。 よくわかる理由からあなた には気晴らしが必要なので， いたずら書きをしながら 授業と関係ない 英語の級数 (series) の 複数形を考えます。 "Serieses," "seriese," "seriesen," それとも "serii?" もしかしたら変化はないとか? まるで 「sheep(羊)」 の単数が 「shoop」だったみたいです。 しかし 1/2 +1/4 +1/8 ⁺ と続くと 1 に近づくという考えは 一列の象を書くのにとても便利です。 それぞれの象は次の象 のしっぽをつかみます。 普通の象，若い象， ベイビー象，犬サイズ，子犬サイズ， 一寸法師サイズとずっと続きます。 これは少なくともちょっとは素敵です。 それはこの線の上の象の数は無限なのに， このノートの 1 ページにおさまるからです。 1つ疑問が浮かびました。 「もし『らくだ』だったらどうなんでしょう。 そのらくだが象よりも小さかったら， ページの1/3位で終わるかも?」 ページの端までいくには， 次のらくだの大きさはどの位でしょうか? もちろんこの答は計算できます。 それが計算できるというのはクールですね。 でも実は私は計算には そんなに興味がありません。 これはフラクタルです。 ここにある円からはじめます。 隙間に入る限りの大きな円を書き続けます。 これは「アポロニウスの ガスケット」と呼ばれます。 違った円から始めることもできて， それでもやっぱり上手くいきます。 これはある界隈ではよく知られています。 というのも，円の相対曲率といった 素敵なものについての 面白い性質があるからです。 見た目もクールで，すごい いたずら書きゲームもできます。 ステップ1: 何か形を描きます。 ステップ2: その形の中に描ける 最大の円を描きます。 ステップ3: 形の中に残った所に描ける 最大の円を描きます。 ステップ4: ステップ 3 に戻る。 最初の円を描いた後に残った スペースがある限り， つまり，円で始めなくても， この方法はどんな形でもフラクタルにます。 3角形でもできます。 星でもできます。 飾りつけを忘れずに! 象でも，蛇でも， 友だちの横顔でもできます。 私はアブラハム・リンカーンにしました! 素敵です。 よし, しかし円以外の形ではどうでしょうか。 たとえば，正3角形は? これで他の3角形を埋めます。 これは上手くいきます。 というのも埋めている3角形が外 側の 3 角形の逆向きだからです。 方向は重要。 これは「シェルピンスキーの3角形」です。 ところで，それはリンカーンでもできますが 3角形ならこの場合美しくおさまります。 しかし，3角形がいつもうまく 行くわけでもありません。 たとえば，この泡のような形では， 正3角形ではこの寂しく 離れた角があります。 だからと言って，この楽しいゲーム をやめる必要はありません。 しかしこれには円のゲームにあった 美しさが何か欠けてますね。 または，最大のものを描くために， 3 角形の方向を変えたらどうでしょうか? または正3角形には限らない としたらどうでしょうか? 多角形の場合はこのゲームは すぐ終わるので良くありません。 しかし曲がった，複雑な形の時は， プロセスそのものが難しい。 たとえば一番大きな面積の 3 角形を みつけられるかはそんなに 明らかではありません。 これはある意味興味ある質問です。 なぜなら正しい答えが「ある」からです。 しかしもし与えられた形で 他の形を埋めるような プログラムを書く時には， 簡単な場合でも計算幾何学を 勉強する必要があるでしょう。 でもあなたは 3 角形や正方形， あるいは象すら越えていくことができます。 それでも円はすばらしい。なぜなら， それは素敵に丸いからです。 では，ちょっとした脇道の いたずら書きチャレンジです: 円は 3 点で定義できます。 では3つの任意の点を描いて， それらを通る円をみつけましょう。 さて，円のゲームで私が 面白いと思うのは， このような「角」がある時です。 この時には，無限の円がその 先に描けるとわかるでしょう。 そしてこれらの無限の 円のそれぞれに対して， さらに小さな角があります。 それらを埋めるには皆， 無限の円が必要になります。 そしてまたそれらの全てに…と続きます。 信じられない数の円がさらに円を 生むことがわかるでしょう。 そしていかに無限が 密なのかが見えるでしょう。 それでも，驚異的なことは この無限が一番小さな可算無限 でしかないということです。 もっと度肝を抜くようなさらに 大きな無限が存在することです。 でもちょっと待って，ここに 面白いことがあります。 もしこの距離を「ある単位長さ」とすると， この距離たすこれらたす点々 は「1」へとに近づく無限数列です。 そしてここにもまた1に近づく異なる数列があります。 そしてここにも。 外側の形さえちゃんと定義されていれば， その数列も同様にちゃんと定義されます。 しかしもし「簡単な」種類 の数列が欲しければ， それぞれの円の直径がある比で 順に小さくなるものが使えます。 すると直線が得られます。 もしあなたが直線の傾きの定義 を知っていれば当然と思うでしょう。 これはいいです。なぜならそれは素敵 で，数学的で，計算せずに， いたずら書きでらくだの問題 が解けるからです。 らくだの代わりに，円があれば， 右に無限の数列を 単にある角だけで作ることができます。 それはこのページの端で終わり ます。中を埋めましょう。 円をらくだにすれば， ほら! 無限のサハラキャラバン， はるか彼方に消えていく， 数は必要ありません! では，私は無限の情報を あなたのために最後の 文にいれてみせましょう。 多分，まだ最後の 5 秒に入るでしょう。 もし私が次の言葉を2倍の速さで言えば， そしてその次の言葉を ... (高いピッチの声)