数学でいたずら書き: 蛇とグラフ

たとえばあなたが私で 数学のクラスで， グラフ理論を習います。 それはあまりに面白い のでほとんどの 学校のカリキュラム にはありません。 すると特別な授業で， あなたはたまたま 数学の先生に人生を 台無しにされて いなかったのでしょう。 あなたはなぜか 集中できませんが， もしかしたら不適格な 先生が，ヘビと風船の 楽しい科目を台無しするのを 見て心を 痛めているのでしょう。 ヘビはこの数学には 直接は関係しませんが， それを描けると後で とても役立ちます。 練習しましょう。 これに関係する 3 つのいたずら書き ゲームをお見せします。 全てはページ一杯の くねくね波から始まります。 くねくね波を描き，始まった ところで終わる閉曲線にします。 ここの唯一の本当のルールは 全ての交差点を区別すること。 次にそれを織り始めます。 曲線に沿って，それぞれの 交差点では交互に 上下させ全ての 交差点を割り当てます。 それから仕上げをすれば， ジャーン。 もう一度やってみましょう。 線に少し芸術的な センスを加えます。 このクールなことは， これはいつも 完璧に上手くいくことです。 交互に上下させていく時， もう既に描いた交差点は， 「いつでも」正しく描けています。 これは興味あることです。 また後で見てみましょう。 しかしまず，2 つの事を 指摘しておきます。 1 つ目はこれが平面上の どんな閉曲線でも 上手くいくこと。 ですからなんでもつないだり， 2 色の糸を織ったり してみましょう。 2つ目は，このいたずら書き は頭と尾を外に出すか， 同じ面を見ている限り， 平面上のヘビでも 上手くいくことです。 なぜならつなぐかどうかは 数学的には同じだからです。 または頭と尾を実際につないで， ウロボロスにしましょう。 たとえば，これは ボロミアンリングという 構成の 3 匹の ウロボロスです。 これは 2 匹の ヘビだけを見ると どれもつながっていないという 素敵な特性を持っています。 私は名前を考える のが好きなので， これをウロボロミアンリング と名付けます。 しかしあなたは私ですから， たとえヘビではない 一本の線を描くにも いろいろ考えて しまうことでしょう。 たとえばどんな種類のノット， 結び目を描いているのか? それらの分類は? たとえば，これら 3 個のノットは 全部で 5 個の 交差点がありますが， 2 個は本質的に同じ， 1 個は違います。 結び目理論の問いは本当 に難しく，興味あります。 しかしそれは自分で 調べて下さい。 ロープの描き方も 学んでおくべきです。 なぜなら，それは結び目理論のインテグ ラルだからです。 インテグラルだからです。 実際もしたくさんのインテグラル の記号が並び， 数学者がこれを見ると， しばしば気が遠くなるでしょうが， 影を塗れば，タラー。 また，ヘビを描けると とても役に立ちます。 とくに，このいたずら 書きゲームは 暗いタトゥーのデザイン に優れています。 また，このいたずら 書きゲームは 星のいたずら書きゲームと 組合せられます。 たとえば，この五芒星が 騎士に昇進すると， サーペンタグラム (Sir-Pendagram, Serpent-agram) また，このヘビは 5 匹の メビウスの輪であることも注意です。 ですからメビアボロス (メビウス+ ウロボロス) と呼べるでしょう。 しかし面の向き付けに ついてはまた後で。 もし何かとても複雑な ものを描きたい時， たとえば，8 個のスクエア星 をヘビと星の組み合わせで 描くのは，たいへん 上級のテクニックです。 これは大蛇が 8 個の 8 角形を飲み込んだ図です。 あなたの創造性は，こんな 退屈なクラスに閉じこめられると， 贈り物と負担の 両方になります。 ここにあるものは， 私が大学で描いた， これらの技術を使った 正当ないたずら書きです。 今作ったものではありません。 これは 1 年の音楽の 歴史のクラスです。 たまたまこのノートが みつかりました。 これは私が中学 3 年の時に イタリア語のクラスで よくしたいたずら書きです。 語学も計り知れない ほどばかげた方法で 教えられるもう 一つの科目です。 たとえば，これらのヘビは 意思の疎通が困難です。 なぜなら片方は パーセルタングで， もう片方はパイソン で話すからです。 そしてこれらの語学の クラスは数学のように， 覚えることばかりに集中して， 中に浸ること (immersion) が不十分です。 まだ数学のクラスに いるふりをしましょう。 グラフ理論を学ぶと平行線 が書けるようになります。 これは第2の いたずら書きゲームで， 数学的に関係があります。 ナミをページ一杯に描いて， 必ず閉じます。 1つ外の部分を選んで， その中を塗ります。 それから 2 つの面が同じ 色にならないよう， 互い違いに塗ります。 面白いことに， 織るゲームのように， このゲームもいつも数学的に上手くいきます。 滑らかな曲線の代わりに とがった線でも上手くいきます。 複数の直線でも上手くいきます。 これは多分偶数次数グラフ の 2 彩色可能か何かと 関係があって，先生が丁度 その話をしようとましたが， 聞き逃しました。 でも多分先生にヘビに ついて授業の後で 質問すれば，説明して もらえるでしょうが， 今は次のいたずら書き ゲームに行きたいです。 これは最後の 2 つ の組合せです。 ステップ 1，滑かな 閉曲線を描く。 ステップ 2，上下を 割り当てる。 ステップ 3，面を 1 つおきに塗る。 この後，ちょっと芸術的 なタッチを加えて 色をちゃんとすると， とても素敵な 面ができます。 たとえば，これは辺が 1 つで片面だけです。 でも，もしあなたがこれに 興味があるなら， あなたのトポロジーの 教授と話をすべきで 私とではありません。 しかしこれです。 もし誰かが 5 分前に ヘビとぐにゃぐにゃ チェッカーボードと このクレイジーな ひねり面の共通点は 何かとあなたに尋ねたら， 何と答えましたか? これが私が数学 好きな理由です。 一見任意で混乱にしか 見えないものたちが 実はあるものの一部 だとわかる瞬間です。 最高に巧妙な推理ものや， どんなミステリーの 結末よりも素敵です。 なぜなら，それは始まりで しかないからです。 とにかく，それをお楽しみ下さい。