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数学でいたずら書き: 星
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たとえば,あなたが私で数学のクラス
で因数分解を習うとしましょう。 問題は,先生がいかに因数分解が
役に立つのかをまくしたてることです。 因数分解は普通の人にも
試験の役にたつとかばかりで, 不幸にも因数分解そのものが実は
面白いということ話す時間がないようです。 それでは当然退屈します。 ですからまともな人がするように,
あなたはいたずら書きをはじめます。 たぶん先生の催眠性のある
声が子守唄に聞こえてきます。 それであなたは星を描きます。 あなたは私なので,すぐに
普通の5 点の星に飽きます。 そして,なぜ 5 なのかと考えます。 そこで探求を始めます。 5点の星は一番簡単に見えます。 一番少ない数の線で
星が描けるからです。 もちろん 4 点でもかけますが, あなたの定義ではこれは
本当の星ではありません。 そして 6 点の星があります。 これは見たことがありますが,
5 点の星とは全然違います。 なぜならこれは一筆が
2 つあるからです。 そして 2 個の 3 角形
で 6 点星を作るか, 2 個の正方形で 8 点星を作るか
どっちが好みか考えています。 どんな p 点の偶数の星も 2 個
の「p/2」角形からできます。 ここまできたら,もう因数分解は
考えたくないと思ったでしょう。 もしかしたら,星を描くのは良い
考えではなかったかもしれません。 しかしちょっと待った! 4 は偶数です。 すると,2 個の 2 角形から
星ができるかもしれません。 多分 2 角形は存在しない
とか言われてませんか? ただ,星を描く目的
では上手くいくようです。 確かに 4 点星は星
みたいに見えません。 しかし 6 点星はこれら 3 つ
からできると気がつきます。 それはアスタリスクです。それは
確かに正当な星です。 実は,2 で割り切れる点の星は アスタリスクスタイルで
描くことができます。 しかしそれは多分望む
ものではないでしょう。 欲しいのはいらずら描き
ゲームです。こうです: 「p」個の点を等間隔
で円の上に描き, 数「q」を選びます。 ある点から始めて,q ずつ
離れた点を結びます。 繰り返し。 もし全部の点を結ぶ前に元に戻ったら, 無図ばれていない
寂しい点に飛んで続けます。 これがあなたの星を描く方法です。 このゲームは成功です。 ちょっと前に叫んで
部屋から走りだしたり, 窓から抜けだしたりを
考えたのとは大違いです。 でもこれは単に楽しいだけではなく このゲームそのものについて
興味がでてきたでしょう。 面白いのは,点が多くなると,
星を描く方法も増えることです。 私は 7 点星が好きです。 7 点星は 2 つの良い方法で
描けるし,どちらもシンプルです。 ところで断わっておきますが, 私は数学の授業で窓から
抜け出したことはありません。 他の科目はともかく。 8 も興味あります。 単に素敵に星を描く方法が
いくつかあるというだけではなく, それぞれが一筆で描ける 2 個
の多角形から成るからです。 そして 9, それはこれまでの方法に
加えて,3 個の 3 角形からもできます。 3 個の 3 角形からもできます。 そしてあなたは私で,ナードなので,
自分で楽しむことが好きです。 こういう星をスクエア星
(2乗星) と呼ぶことにします。 なぜならそれが面白い
名前だからです。 そして他のスクエア星
も描き始めます。 4 個の 4 角形,
2 個の 2 角形, 完全につぶれた 1 個の 1 角形。 不幸なことに 5 個の 5 角形は
どうなっているかわかりません。 これ以上はスクエア星の構造を
楽しむことが難しいです。 これに飽きたので,10点を
円の上に描くことにします。 これは面白い。
というのもこの数は 小さな星を組み合わせられる
最初の星だからです。 2個の見飽きた 5 点星。 アスタリスク星は数に入れません。 入れると 8 は 2 個の 4 点,
4 個の 2 点などでできるからです。 しかし10は興味深い。 なぜなら組合せも一通り
ではないからです。 それは5で割り切れて,5点星自身
が2つの方法で描けるからです。 そして11。これは素数
なので分割できません。 ここであなたは円の分割方法
を予測できないかと考えます。 どこかに戻る前にどこまで
いくかということです。 しかしエキサイティングなモジュロ算術の 世界の探求の前に,12 に行きます。 これにはたくさんの因数があるので,
本当にクールな数です。 しかし何かが気にかかります。 5個の5点星からできている
25 点星はスクエア星だろうか? これまでは五角形だけ考えてきました。 なぜならそれ未満では
この質問はないからです。 どうしてこれを考えつかなかったのか? 多分,先生が何か素数に
ついて面白いことを言ったのに, それを逃したのでしょう。 6 スクエアは 36 点星ですが,
6 個の 6 角形からできています。 もし6点星を使うことにしたら, それは12 個の3角形
の組合せと同じです。 それはスクエア星の精神
にそったものには見えません。 あなたはスクエア星をより
厳密に定義すべきでした。 しかしあなたは7番目
のスクエア星を作る 3つの方法があることは
好きになるでしょう。 とにかく,どういう星が
どんな数からできるか という理論全体はとても面白いです。 私はこれをあなたの数学のクラス
で探求することをおすすめします。