数学でいたずら書き: 病気の数ゲーム

たとえば，あなたと私が， いや，気にしないで下さい。 実は私は今日病気で家にいます。 そのかわりあなたがスタニスワフ・ ウラムになったつもりです。 これから私が話すのは実話です。 さて，あなたはウラムで， ある会議に出ています。 しかしそれはとても退屈だったので もちろんあなたはいたずら書きを始めます。 あなたはウラムで本当に数が好きで 好きで，数をいたずら書きします。 1 からはじめてうずまきに 沿って数えます。 私はあまり数学記法に慣れていないので， 数のようなものには集中できませんが， あなたが数を愛していても，それを 私があれこれ言うものではありません。 なぜならあなたは数をとても 身近かに感じるので， ギザギザの線で囲われていても 心で見て間違えません。 あなたは数論者で， 誰でも知るように， 数論者は素数に夢中ですから， それも「プライム(素晴しい)」と 名付けた理由でしょう。 あなたがいたずら書きをして いる素数はエキゾチックな 割り切れない獣のように 突然飛び出してくるものなので， あなたはそれぞれの素数の まわりにハートを描きます。 本当は箱だったのですが，私の 話のバージョンではハートです。 なぜなら，あなたは素数に対する本当の 気持ちを隠したりしないからです。 あなたは簡単にこれができるでしょ うが，私には少し時間がかかります。 たとえば 27 は1 と自分 以外に因数があるか? そうか，3 かける 9 で素数ではない。 29 は確実に素数でしょう。 しかし数論者のあなたは私がもたもた することにショックを受けるでしょう。 たぶんあなたは少なくとも 1000 までの素数を覚えているでしょうが， たとえそうでも一般に素数を見つけ るのは難しいことには変わりありません。 もしあなたに一番大きな偶数は何と 尋ねて，もしばかげたそれを答えても， 私はそれに 2 をたして，バーン， もっと大きな偶数ができます。 私たちの知る一番大きな 素数は何だと思いますか? 2 の 4311 万 2609 乗ひく 1 です。(訳注:2010年当時) どうしてこれがそんなに 重要なのかというと， この数をみつけた人は 賞として 10 万ドル， 日本円で 約1000 万円をとりました。 これを私たちは宇宙に送りました。 なぜなら科学者たちは エイリアンたちにはこれが， 何か重要なものだとわかる と考えているからです。 もし素数についてあなたが どうでもよいと思っているのなら， これはエイリアンと話をするのに 使うということを考えてみて下さい。 私はこれをでっちあげた わけではありません。 多分数学は全ての生命体に 共通なものですから， 理にかなっていますね。 とにかく，ポイントはあなたが退屈 していたずら書きをはじめたら， 何かすてきなパターンを みつけたことです。 素数が斜めに並ぶ傾向が あるのが見えますか? なぜそう並ぶ`のでしょうか? このような構造は魚の 骨のようですので， これらの素数の斜めの並びを 素数リブ(肋骨) と呼びましょう。 しかし，どんなふうに素数 リブは終わるのでしょうか? この次の数が素数かどうか。 しかし私は今頭痛がひどいので 自分でやってみて下さい。 とにかくおめでとう! あなたはウラム のスパイラルを発見しました。 これはちょっとした数学で いたずら書きの歴史です。 あなたはウルムであることをやめて もいいですし，続けてもいいでしょう。 ウルムでいることが好きでも大丈夫! またはあなたはブレーズ・ パスカルにもなれます。 これは他の数のゲームで，あなた はパスカルの3 角形を使います。 今日はなぜか数の話ばかりです。 しかし，私は風邪で， もう少し付き合ってくれるならば， 多分私のこの情熱をあなた にもうつせるでしょう。 パスカルの3角形では行の2つの隣り 合う数をたすことで次の行を作ります。 パスカルの3 角形はそれ自体 数のゲームの一種です。 それは単なるたし算の 練習だけではなく， 数の間のパターンと 関係をみつけるものです。 パターンがわかれば たし算をしなくていいです。 これがいたずら書きでみつけられ たのかは私は知りませんが， フランス，イタリア，ペルシア，中国や， 多分他の場所でも独立 して発見されています。 だから誰かは(いたずら書きを) やったでしょう。 実は今は私は個々の 数は気にしません。 あなたはまだウルムですよね。 するとあなたは数の性質を 選んで丸をつけます。 たとえば，数が偶数か奇数か。 もしあなたが全部の 奇数に丸をつけると， なにか見たことの ある形がでてきます。 シェルピンスキーの 3 角形がでて くるのは理にかなっています。 なぜなら，奇数たす偶数は奇数に等しく， 奇数たす奇数は偶数， 偶数たす偶数は偶数だからです。 するとこれはぶつかって燃える 2 分木のゲームと同じです。 このゲームの良いところは， 数の性質を知る必要もなく， 数が何かを忘れても いいところです。 この数が奇数かどうかを知るために この数が 9 とは知る必要はありません。 2 色で塗る代わりに， 3 色にしましょうか。 色は 3 で割った余り の数で決めましょう。 これがその図です。 3 の倍数は赤にします。 余り 1 は黒で，余り 2 は緑で塗ります。 この構造はシェルピンスキーの 3 角形とはちょっと違います。 もう私はそれぞれの数の余りが 何かを考えるのに疲れました。 ですからルールをみつけましょう。 2 つの 3 の倍数の和は いつも 3 の倍数です。 これは数学の授業で よく使う事実です。 でもここではそれは赤たす 赤が赤になるという意味です。 3 の倍数をそうでない 数にたした和は， そうでない数の余りが そのまま余りになります。 すると赤たす緑は緑， 赤たす黒は黒， 余り 1 たす 余り 1 は，余り 2， 余りの 2 たす 2 は 4 で，4 を 3 で割った余りは1 です。 1 たす 2 は 3 で余り 0。 どういうことかと言うと，あなたは今， 色の丸をあわせた時の ルールを作っています。 そして数学とアートがこれらの ルールに沿って起きます。 この時に数そのものはこの絵を 描くには必要ありません。 とにかく，これらは数のゲームの例で， あなたもルールを自分で作って みることをおすすめします。 もしパスカルの 3 角形で 素数に色を塗ると， 何が出てくるかは私は知りません。 別に面白くないかも。 または，目に見えない 1 の海で，最初を2 で始め (注: 1 は乗じても値を変えないため見えない) 次の行はたし算の代わりにかけ算で 求めたらどうなるでしょうか? もうこうしている人がいる のかどうかわかりません。 ちょっと待って，2 の羃です。 ああ，これを書く他の方法があります。 なるほど，あたりまえでした。 それからフロイドの 3 角形という 数をこんなふうに書くものもあります。 あなたも何かできるでしょう。 なんか皆が 3 角形を描くようです。 私は昼寝をします，