数学でいたずら書き: ドラゴンのダンジョン

さて，数学のクラスに 戻ってきましたが， あなたの先生がログについて言って いることが何もわかりません。 なぜなら，あなたは数学というものが 何か世界の基本的な真実だという 間違いに洗脳されて いるので仕方ありません。 数学の言葉や記法はある 考えを表現するために たまたま誰かが選んだものの 1 つで， でも教育のシステムは その考えを理解することを 期待していないからです。 意味のない文法の攻撃を防ぐため， ドラゴンに頼りましょう。 それはフラクタルのドラゴン曲線です。 ドラゴン曲線は，ホビットに でてくるようにトリッキーです。 単純な L から始めて，L 1 個を 互い違いになるような 新しい 2 個の L で置きかえます。 それを続けます。 しばらくそうしていると ドラゴンとその垂直性が 感じられるでしょう。 それからどうにかすると， 突然スマウグになります。 他のフラクタルもクールですよ。 しかしいくつかはそんなに 驚きがありません。 名前は特に言いませんが 「コホン，コホン」コッホ曲線。 そうでしょう? まずトゲトゲを作ります。 そして全部の直線を トゲトゲのものにします。 そしてさらに全部の直線を トゲトゲのものにします。 するとサプライズ! 本当に トゲトゲしたものになります。 コッホ曲線が悪いと いうことではありません。 しかしドラゴンではない。 ハンガリーの木蜂かな。 または真ん中の部分だけをとって， ある種のフラクタル建築 またはダンジョンにしましょう。 しかし，フラクタルなドラゴン ダンジョン建築には ある実用的な問題があります。 たとえば，ダンジョンに幸せな明るい色か 血の色を塗りますが， その時のペンキの量です。 ふつう，3 次元の世界では， 2 次元の面を塗ります。 その量は平方メートルで測ります。 しかし 2 次元の場合，1 次元の面， つまり線を塗ります。 それはメートルで測ります。 ではこの壁には 1 メートルの ペンキが必要としましょう。 しかしフラクタルをイタレートすると， それぞれの線分には， 真ん中の 3 分の 1 に この正三角形のコブができます。 全ての線分が同じように 前のものの 1/3 ずつ増えます。 するとそれぞれの線分は さらに 1/3 メートル分の ペンキがいります。 全部で 1 と 1/3 メートルの ペンキが必要です。 そして，これらのそれぞれの部分も 3 分 4 の比で増えます。 すると 1 と 3 分の 1 かける 1 と 3 分の 1 で， ヘイ，どうして 1 と 3 分の 1 を こんなふうに書くんでしょう? この意味は 1 たす 3 分の 1 です。 しかしこれは 1 かける 3 分の 1 ， それは単なる 3 分の 1 に見えます。 3 分の 4 ではありません。 ワォ。 いったいどんな人が 5 たす 2 分の 1 と 5 かける 2 分の 1 を同じ記法で 書くのが良いと考えたんでしょう? これがどれほどの間違いの 元になったのでしょう? とにかく，個人的に帯分数は 二度と使わないと誓いをたてつつ ペンキの量の計算を続けます。 一方で簡単化する気もおきません， なぜなら，はぁ，気がそれました。 しかし，それにあきたあなたは， それぞれのイタレーションで端をつかんで， これを引っぱって全体の 長さを測ることを考えます。 毎回，前回の全部の長さをとり， それを 3 個に分け， 1 個の部分を加えます。 これは毎回長さが 増えるだけではなく， 増える量そのものも増えます。 だからこれは無限大に 行くとわかっています。 もし完全なコッホ曲線があって， その両端を引っぱりはじめたら， いくらでもどこまでもひっぱれます。 それは展開し，広がり続け， 広げることはどうやっても終わりません。 あなたに無限に長い手と， そして引っ張る速さを無限に できない限りは無理です。 でもアインシュタンがそれには 何か言いたいことがあるでしょう。 重要な点は，ダンジョン要塞の 色塗りが，その要素をいくら広げても 終わらないことです。 あなたはサウロンが塔のさびと 水もれを心配したかなと考えます。 もしかしたらヘビから これができるかも。 いや? ステンレスを 言い間違えました。 しかし，ヘビでもできるかも。 無理かな。 尺取虫では? 無理かな。 尺取ドラゴン，一番小さいドラゴンです。 無理そうです。 羊と象を飲んだヘビ。 無理かな。 ラクダと象にしましょう。 しかし，最初ヘビは間違いでした。 ステンレスはどうやっても ヘビではありません。 ちょっと待って。 もし無限の蛇が必要なら，… いや，もし無限個の点を 塗る必要があれば， それを作るには無限の 長さのステンレスがいりますか? それはそれぞれのイタレーションで 大きくなります。 そして毎回新しい塔を加えます。 毎回 4 倍の数の塔を加えます。 前と同じく，無限の長さの塔は 無限の数に近づきます。 そうなのに，何か絶対 越えない極限があるようです。 このダンジョンは有限の 空間におさまるようですが， 町の安全のためはダンジョンの 計画が必要になるでしょう。 少なくとも，あなたは 2 次元の ドラゴンダンジョン町の ダークマスターに予算と 開発期間をそえて そう提案するでしょう。 なぜなら，事務処理や 官僚のような邪悪な オーバーロードは何も 言わないからです。 それであなたは 1 つの 大きなコッホ曲線の町を作ります。 ヘイ，ところでどうしてこんなに 明らかにとげとげしているのに コッホ「曲線」と言うのでしょうか? とにかく，それぞれのイタレーション のスケール係数は 3 です。 この町は 2 番目のイタレーションで 高さは 3 分の 1 で，それは，… すると面積は 3 分の 1 よりも小さくなります。 もしシェルピンスキー三角形 のように大きさが半分なら， 待って。 高さ 1 の正 3 角形の 面積は実は 2 分の 1? ただ大事なことは，面積の比率です。 ではこの 1 のステンレスの 面積は 1 と言うことにして， 何かの高さの 2 分の 1 の 平方になるでしょう。 確かに。 とにかく，高さが半分の 3 角形の面積は 4 分の 1 です。 しかしそれは中の埋まった 3 角形の場合です。 シェルピンスキーの 3 角形は 真ん中が空いていて， 面積は 3 分の 1 位かな? とにかく，中の埋まった 3 角形では 3 分の 1 の高さなら 9 分の 1 の面積です。 任意の単位か，ステンレスでの 量はとにかく 9 分の 1 です。 これが正方形と同じことなのは， 面白いですね。 1, 4, 9 で，4 かける 4 で 16, 5 かける 5 で 25 です。 これは全部平方数で， 1 の 2 乗，2 の 2 乗，3 の 2 乗， これが 1 の 3 角形なら， これは 2 の 3 角形， これが 3 の 3 角形です。 これは正方形と同じ 面積ではありません。 しかし，最初の面積を 1 とするなら， 4 倍，9 倍, 16 倍， 25 倍，36倍と大きくなります。 でも実は 3 角形は 4 角形の 半分なので，当然ですね。 もちろん，9 倍... ヘイ，なぜかけ算の記号を x みたいに書くんでしょう? これも混乱のもとです。 なぜなら 25x の意味は 25 かける x です。 しかしこれは 25 x の 2 乗に見えます。 それは 25 かける x の 2 乗に見えます。 そしてこれは 25 かける x x の 2 乗みたいで， それは 25 x の 4 乗みたいです。 多分このあいまいな「かける」を 小さな新聞の絵とかに 変えた方がいいでしょう。 割り算の記号は似ていますが， 見出しを何か政治にしましょう。 そして，待った。 これはばかげています。 誰が今時紙の 新聞を読むでしょうか? 新しい記号は小さなウェブサイトで 小さなコラム，タブ， 検索窓に写真入りにして， 割り算の記号は，小さな テレビが...うーん。駄目です。 「かける」の記号は砂時計で， 割り算の記号はローマ数字で あなたの大学の スポーツの予算によって 1 か 2 か 3 にしましょう。 良し。 大きさを 2 倍にすると， 面積は 4 倍です。 あなたは他の形でも そうなるのかと思うでしょう。 円の場合，面積は πr 2 乗です。 ただし，本当は π， r 2 乗と言うべきです。 そうしないと，πr の 2 乗と 間違います。これ重要。 なぜなら円を 2 倍の 大きさにするということは， r を 2 倍にすることです。 すると，何かが起こる 前に r に 2 をかけます。 2r の 2 乗であって， 2，r の 2 乗ではありません。 2 を 2 乗すると，4 倍になります。それは 3 角形の時の それは 3 角形の 時の2 乗と同じです。 これは面白い。 なぜなら円を 4 つの等しい領域に 分ける方法に関係するからです。 そして何かが正方形からできていると， もちろん，この 2 乗のルールに沿って それぞれの正方形を拡大できます。 あなたがこんなふうに考えていくと， どんな形でも無限にたくさんの正方形から できるという理論ができるかもしれません。 そして同じことが 3 次元の 立方体でもできるかも。 マインクラフトが教えてくれることは， どんな形でも立方体で 近似できるということでしょう。 より多く立方体ならもっと良くなります。 すると，あなたが 3 次元の ドラゴンダンジョンを作る時， それを 2 倍の大きさにしたい時， 素材は 8 倍，重さは 8 倍， 値段も 8 倍必要です。 あなたはこのパターンが 続くかどうか考えます。 4 次元のドラゴン ダンジョンデザイナーたちは 2 倍大きなものを作る時には 16 倍の量の素材を 使う必要があります。 そしてもし 3 倍にすると， 3 の 4 乗で， それは 81 倍重くなるでしょう。 4 次元のドラゴン ダンジョンデザイナーは 予算オーバーしたり，自分の 重さでつぶれたりしないように ダンジョンをとても小さく する必要があるでしょう。 そして 2 次元のドラゴン ダンジョンの設計者は より合理的なことに 特権を感じるでしょう。 たぶんあなたは 1 次元に したいと思うでしょう。 その場合，2 倍大きいものが 2 倍の素材でできます。 それは良さそうです。 しかし，シェルピンスキーの 3角形はどうなんでしょう? このルールは通用 しないかもしれません。 なぜなら，それは 2 倍高い時に， 3 倍の量になっているからです。 3 は 2 の何乗に等しいか? ちょっと待って。 どうして 81 を書く時に 8 の隣に 1 を書くのでしょう? 普通隣に置くとかけ算になります。 しかしすると 8 かける 1 で 8 です。 これは 8 たす 1 でもありません。 これは 8 かける 10 たす 1 のことです。 もしこれがそういう意味なら， 8 たす 1 とかと間違えないよう， 最初からちゃんと書くべきでしょう。 ただ，10 は 1 かける 0 と 間違えそうです。 すると多分，2 かける 5 と書くべきで， それはもちろん 2 5 と書けます。 すると結局 81 は 8 かける 2 かける 5 たす 1 です。 良くなりました。 もし 825 なら， 8 かける 2 かける 5 かける 2 かける 5 たす 2 かける 2 かける 5 たす 5 です。 こんなふうに書く方がいいでしょう。 しかしあなたが記法のグランド プランを完全に実装する前に， あなたはクラスが終わりに 近いことに気がつきました。 良いことにあと 1 回耐えれば 対数のクラスは終わりです。 次は何か面白い ものならいいのですが。