数学でいたずら書き: ドラゴン

たとえばあなたが私で， 数学のクラスにいます。 対数，ログ，について 学ぶ予定です。 それは多分何かアバンギャルドな パーカッション演奏と 関係あるのでしょう。 しかし，集中しようとするたびに， 先生のログの説明では(ログ (Log)は丸太の意味もある) 木のドラム演奏以外に 何も思いつきません。 とにかく，先生がにらんでます。 そこでドラムはやめて いたずら書きにします。 何か動きや興奮が必要です。 そこでノートの端にパラパラ 漫画を描くことにします。 紙が薄いのでかなり簡単です。 前のコマをなぞって， 少しだけ変えます。 そしてもし，いたずら書きの至福 の禅のゾーンに到達したれば， それぞれの新しいコマを 簡単なルールだけで作りましょう。 たとえば，新しい葉を ラセンで加えるとか， 次のラセンの場所に点を打つとか， ぐにゃぐにゃナミをもっと ぐにゃぐにゃにするとか。 しかしぐにゃぐにゃとは どういう意味なのでしょうか? たとえば，ナミの曲率を上げるとか， ナミの間にナミを描くとか。 なにか厳密なナミの ルールをみつけたいです。 そうすればナミの ゾーンに行けます。 ナミをジグザクの線に 離散化しましょう。 次の層では，ザグだけ深くするか， 古いジグとザクの上に新しい ジグザグを描くこともできます。 またはジグがジグザクになって， ザグがザグジグになる。 すると次は，ジグザグ ザグジグ，ジグ， うーん違うな。 これはザグで，これは ザグジグになる。 するとジグザク，ザグ， ジグ，ザグジグ。 次はジグザグ，ザグ，ジグザク， ジグ，ジグ，ジグザク，ザグジグ， おや，これはジグ? 多分，何かの参照図にまとめて， 新しいパターンを生み 出すための，… 違う! これはナミのゾーンの心を空にした ジグについてだったはずです。 これでは受けいれられません。 では新しいステージに来るたびに， 古いパスは単に，ジグザグ， ジグザグ，というふりをしましょう。 そしてこれをきれいにしておくために， あなたは全部の 線分の長さは同じで， その間はいつも直角に しておくと決めました。 やってみましょう。 デュバ。 デュバディバ。 デュバディバデュバデュバ。 [♪リズムに乗ってドラゴン曲線を描く♪] ちょっと待って。どうして こんなに… ふむ? 3 本の直線から始めたらどうか? ジグザグズグ。 そしてそれぞれのジグは ジグザグズグになるべきです。 するとそれぞれのザグは ズグザグジグ? すると，ズグはどうなるのか。 多分単純に 内側か外側を通るかで， 行ったり来たりするだけかも。 するとどこから始めれば いいのでしょう? 全部が自分とぶつかるし， どんどん大きくなって 紙に収まりません。 よし，自分にはぶつからないように もう少し広げてみましょう。 六角形の半分みたいにすると， 全部の角度を完璧にできます。 すると台形が内と外に。 やりました。これは すごく上手くいきます。 実は，こんなふうに 内側を先にもできて， 行ったり来たり，そして 自分ともぶつからない。 次に，もっとここを 近付けることができて， それでもまだ自分とは ぶつかりません。 ただし，その場合は外側 から始めなくてはいけません。 しかしそれは OK です。 なぜなら次はまた内側から 始められるからです。 簡単なパターン。 台形が中，台形が外， 台形が中，台形が外。 最後の台形が入るまで 行ったり来たりです。 それから次には台形を 外から始めます。 しかしこうなってくると， くねくねしすぎていて， どこが外か内かわかりにくいです。 なのである線の内か外だけに 集中して考えましょう。 待った。 これはどこかで見たような。 もしかしてシェルピンスキー の 3 角形? このフラクタルは 3 角形の中に 3 角形を描き， そしてその 3 角形の中に 3 角形を描き， そしてその 3 角形の中に 3 角形を描く。 なぜ 3 角形を 3 角形で 埋めていったものが， 台形をくねくねさせたものと 同じになるのでしょうか? 本当にこれは同じものかな? これでもう一つの3角形でできた フラクタルを思い出しました。 3角形に3角形をたすことで 雪の結晶を作るものです。 それぞれの辺の真ん中の 1/3 のそれぞれで， これはこれまでの線をなぞる方法 で完璧なことに気がつきます。 コブのある 1 本の直線から始めて， それぞれの直線をコブの ある直線でなぞり，続けます。 これは興味あります。 なぜなら，今回は行ったり来たりか， 来たり行ったりではなく， 毎回「外にコブ」だからです。 でも，行ったり来たりも試しましょう。 しかしそうすると，何が実際に 出てきたのか知りたくなります。 毎回外にジグで始める代わりに， 外にジグと中に ジグを交互に始めます。 どうも自分自身にぶつかるようです。 そしてこれはグラフ用紙などですると もっと完璧でしょう。 OK，こんどは 3 角形 みたいになりました。 一方で，いつも同じように ジグをする時には， ラセンのようには クールではないです。 またどうして3角形になるんでしょう? 中がつまった3角形みたいです。 もしこれをずっと続けていたら， 三角形の中を 埋めつくすでしょうか? これらは埋めつくしませんね。 しかし，この部分には埋めて いくものがありそうです。 もしかすると，こちらでも ある所からそうなるかも。 しかし，穴はずっとありそうです。 グラフ用紙を使って， この手順の先まで スキップする方法が あったらなと思います。 なにかダイアグラムの ようなものはないか。 これは右に曲る直線です。 次は右，右，左。 そしてその次は，右，右， 左，右，右，左，左。 ルールがありまあすか? 多分，ジグ，ザグ， ザグ，ジグみたいな。 ルールはないかもしれません。 よし，でも多分何か ルールがありそうです。 突然，友だちの サムからの手紙です。 「どうも集中しているようだね。 実は数学をしているなんて 言わないでよ。」 それであなたは「そんなわけない。 単なるいたずら書き。」と返事をします。 そして数学でない証拠に， これをドラゴンにして，ドラゴン 曲線という名前にします。 よし。 あなたのすてきな ドラゴンのいたずら書きを グチャグチャにはしたくありません。 しかし，その手紙を机の 2 行 前まで投げないといけません。 それでその手紙を槍の ようにカッコよく折ります。 半分に何度も折って， 先生が後ろを向いた隙に 槍のように，バーン! よし! 完璧なコントロールです。 サムがそれを開くのを見ます。 突然あなたに何か見たことの あるものが目に入ります。 紙が何か似ている。まさか? あなたはダイアグラムの 紙を半分に折ります。 さらに半分に。 そしてまた半分に。 ワォ。これは似ているの ではなくてそのものです。 多分，これは新しい方法でしょう。 ジグとザグがどうなっているのかを 見るのではなく， 単に一つ前をコピーして それを 90 °回すものです。 完全に再現可能です。 バーン! 簡単。 始めと終わりを追跡して いけば良いです。 直線を描く順番を覚える 必要もありません。 だいたいマス目に 沿っていくだけでいいです。 簡単ですね。 紙に一杯になったら， ドラゴン化しましょう。 面白いです。ある意味， これはどんどん大きくなります。 ずっと続ければ無限に大きくなります。 しかし，最初の方法ではこれは 基本的に同じ大きさのままです。 ただ細かくなるだけ。 それはずっと続ければ， その直線は無限に長くなるはずです。 しかし，全体の大きさは同じままです。 そんなに上手くいきますか? つまり無限に長い線が， 有限の面積に入りますか? 紙を折ると，全体は どんどん小さくなって消えてしまいます。 なぜなら紙の長さはどう折っても 同じ長さのままだからです。 コピーしてどんどん長くはできません。 その場合は毎回倍の長さになります。 その代わりに，全体は どんどん小さくなります。 するとこのマスは無限に 長いくねくねで埋まって 中のつまった2次元の3角形になり， 隙間はなくなるかもしれません。 たぶんそうなるでしょう。 または，クレイジーになるか。 直線には厚さはありません。 しかしそれが無限にあると， 無限がキャンセルされたりするかも。 直線がどんどん近くなり， 重ならないけど触れて 間に隙間がなくなるように。 しかし，全体で一度にそうならない 限り意味がなさそうです。 でも誰に違いがわかるでしょう? 確かに，それは合法に聞こえます。 しかし，この場合， けして埋まらない穴が どこにでもあります。 すると無限の線があって， それは空間を埋めません。 穴はずっと穴のままで， けして重なりません。 するとこの無限の線は どこにいったのでしょう? とにかく，クラスは終わりです。 質問は次にとっておきましょう。 結局明日も 数学のクラスはあります。