数学でいたずら書き: ドラゴンのスケール

さて，また数学の クラスに戻りました。 単に，… そういうものです。 毎日あなたはノートと一緒にこの 机の後ろに閉じこめられています。 ノート，そのくすんだ鏡は あなたの考えを その上に気分良く写しています。 あなたは先生がログについて 話していることを聞くふりもせず， 限りある人生のかけがいのない 一時間を無駄にすごします。 または，少なくとも彼女が教えようと するログについて考えはします。 あなたは何気なくここに座り， 今しかないこの瞬間に 注意を払いません。 おっと，また一つ(その瞬間が) 過ぎました。 しかしどちらにせよ，それは 結局あなたが習う気もない ログのことです。 それに対して，先生は たとえば微積分を あなたが気にかけないと 思っています。 ですから代わりに，これは いたずら書きの時間です。 2 日前，あなたは無限に 自分自身を似せた獣， フラクタルを発見しました。 そして昨日，あなたは 2 次元の ものを 2 倍にスケールすると， 4 倍大きくなることを発見しました。 どんな量でもスケールすると， 面積はその 2 乗分大きくなります。 1 次元はその量だけです。 そして 3 次元は 3 乗の量になります。 そして 4 次元の量は 4 乗されます。 そして n 次元では， n 乗の量になります。 こうしてみると，あなたは地上 で過ごす限られた時間を 有意義に過ごしているようです。 ただ，いつか私たちは皆不死身の ロボットになるかもしれませんが。 とにかく，あなたは無限の ドラゴンダンジョンの フラクタル町の計画を続けます。 3 角形の上に 3 角形を， 毎回 3 のファクターで 縮小して載せます。 それは 9 分 の 1 の面積です。 しかし，それは 4 倍の数があります。 次のセットは前よりも 4 倍の数があって， しかし前よりも 9 分の 1 の大きさです。 すると鉄の量は 1 たす 9 分の 4 たす 4 の 2 乗割る 9 の 2 乗たす 4 の 3 乗割る 9 の 3 乗 点，点，点，たす 4 の n 乗 割る 9 の n 乗です。 もしかしたら，無限級数 をたす方法をいつか 学ぶことができるかもしれません。 先生がログを終わりにするなら。 しかし，少なくともあなたは 完璧なフラクタル町を 作る方法がわかりました。良し。 スケールファクターの 理解と町の計画は あなたが不死身の ロボットになる途上で， 他の種族を助けたいと思った 時に役立つでしょう。 もし 2 倍の大きさにすることが， 唯一の改善策だとしたらどうでしょう? それとも 3 倍では? そこであなたはこの部分の 設計はとっておいて， 次のイタレーションを描きます。 2 次元の 3 倍の スケールという意味は， 9 倍の鉄が必要ということです。 しかし，これらの計画を描くうちに， 9 倍の難しさではなく， 4 だけ難しいようです。 なぜなら，難しいのは， トゲトゲの外側です。 そして 3 倍にスケールするためには 4 回だけのコピーです。 OK, ちょっと待った。 変なことその 1。 3 倍にスケールアップするということは， 9 倍の鉄がいるということ。 しかし，同じものを 4 回コピーし， それにたすこの真ん中の 3 角形を埋める。 すると，4 かける鉄の量たす 9。 するともしこの無限級数 のミステリーな和， 全部の鉄の量を x とすると， 9x が 4x たす 9 に等しい。 すると，5x が 9 に等しく x はちょうど 5 分の 9 に等しい。 どうだ無限よ! それみたか。 よし。 変なことその 2。 実際のコッホ曲線の中を埋めず に辺だけをみてみましょう。 もし無限にトゲトゲでは ない普通の直線なら， 3 倍にすることは 3 倍の 長さ(を描く)のインクがいります。 予想どおり。 しかしもし，トゲトゲの線が ドラゴンダンジョンドームの 町の魔法で無限に トゲトゲを表すなら， このようにスケールすると， 詳細がなくなります。 この直線を長くしても， そこにはトゲトゲがあるはずです。 理論的には，どれだけ町を スケールしても， どれだけ細かく見ても，平らな 部分はまったくないはずです。 この全体をこの部分と同じに なるようにスケールダウンすると， それはこの部分と同じで， それはこの部分とも同じです。 などなど。 3 倍大きいと，4 倍の素材がいります。 普通の 1 次元の直線と 違って 3 倍ではないです。 そしてこの中の 2 次元の面積 はもちろん 9 倍でもありません。 どうにかしてこのものの 無限のフラクタルっぽさは， 他の 1 次元のものや 2 次元 のものとは違うようです。 あなたは全部の 1 次元 のものを 2 倍にすると， 2 倍の素材がいると考えます。 なぜなら，これらは線分 に分解できるからです。 そしてあなたは線分が どのようなものか知ってます。 そして全ての 2 次元のものは 2 倍にスケールすると，4 倍の 素材がいるとわかっています。 なぜなら 2 次元のものは， 正方形の集まりで， あなたは正方形がどんな ものか知っているからです。 しかしこれには直線がありません。 そしてこれは正方形の 面積でもできていません。 3 対 1 よりも大きく， 3 対 2 よりも小さい これはまるで 1 次元と 2 次元の間にあるようです。 シェルピンスキーの 3 角形に戻ります。 多分，それを線分で作ったと 考えられるでしょう。 でも，それは無限の量あり， それぞれは無限に小さいです。 それを 2 倍高く作る時は， この絵の全部の直線を 2 倍長くします。 すると詳細がまたなくなります。 しかしこの小さすぎて 描けない小さな線は 2 倍長くなって今は見えます。 こうやって無限に小さな 線分までいきます。 フム。 あなたは相似の直線の性質は， 実際には長さがない線 でもあるのかと思います。 待った。長さのない直線? それはものと言えるのでしょうか? まず，2 倍に大きくすると， シェルピンスキーの 3 角形は 3 倍のものになることがわかりました。 1 次元の 3 角形のアウト ラインのように 2 ではなく， 2 次元の中の詰まった 3 角形のように 4 ではなく。 しかし，どこかその中間です。 この中間ぽさは，どんなふうに 作るにしても真のようです。 線でも，2 次元の 3 角形をひくでも， くねくねの波でも。 いつも同じ結果です。 分数の次元を持つもの。 無限に小さい直線が無限に あるので，1 次元ではなく。 全部の面積をひくので 2 次元でもなく。 無限にくねくねする直線は， 無限でくねくねなので直線でもありません。 しかし，くねくねは自分 自身には交わらないし， 2 次元の面積もありません。 ただ，ドラゴン曲線の場合には， 自分自身に交わっていそうです。 フム。 これが完全なドラゴン 曲線というふりをして， こんなふうにイタレートすると， 2 倍の素材がいります。 もし 2 倍になるのなら，それは 1 次元の直線と同じです。 しかし，これは，そうですね。 2 倍ではないです。 見てみましょう。 もし完璧ならば， 2 等辺直角 3 角形のはず。 すると ルート 2。 フム。 もしこれが 2 次元なら， ルート 2 の拡大ならば， ルート 2 かける ルート 2 の素材。 そしてルート 2 かける ルート 2 はもちろん 2 です。 これが必要な素材の量です。 ドラゴンが丁度 2 次元になるとは変です。 しかし最後には，フラクラル の辺で埋めつくします。 そしてそれはドラゴンのダンジョン を埋めるみたいなものです。 中は 2 次元のピンクのスチールで， 無限のフラクタルの青緑が外です。 ドラゴン曲線は3角形という 2 次元のものではなく， くねくねから始まったのに 2 次元 ぽいというのは，変な感じです。 さて他の考えがあなたを悩まします。 ここで扱ったような線分ではなくて， 無限に長い本当の 直線はどうなのか? ある意味，無限に長い 直線には長さがないです。 少なくとも定義されたものは。 無限に短い直線のように，それを 記述できる実数がありません。 そしてもしそういう数がないとしたら， どうやってそういうものを 2 倍にできますか? もし，直線を 2 倍の長さにしても， 2 倍の長さの線分には ならないとしたら。 直線は本当に 1 次元 のものなのでしょうか? もしコッホ曲線が 1 次元 よりも大きくなるだけの くねくねを持っていたらどうですか? そしてもしそれをもとの 直線にひきのばしたら? 対応について想像してみます。 もしこの点がここに 対応するとしたら， この点は無限に向こうにあります。 そしてこれは無限の 2 倍先にあり， それには意味がないです。 そしてこれも無限の先にあります。 そしてこれもこれも。 しかし，全部が同じ無限に 終わることはできません。 なぜならそれぞれの間に 無限の直線があるからです。 するとあなたは， これら全部をあわせると， 無限の無限倍長い 直線になると考えます。 するとその直線は 1 次元 ではないかもしれません。 しかし，これが何次元であるにせよ， あなたはコッホ曲線や シェルピンスキーの 3 角形の 厳密な次元を知るには どうするのかを考えています。 3 の次元乗が 4 倍の素材になるはず。 しかしこの数はどうやったら わかるのでしょうか? もしこれをみつける方法があったらなぁ。 突然ベルがなり， あなたは荷物をまとめて もう二度とログなんか聞かないですむ ということにウキウキしながら， できるだけ早く教室を出ていきます。