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数学でいたずら書き: ドラゴンのスケール
Vi Hart により作成されました。
ビデオのトランスクリプト
さて,また数学の
クラスに戻りました。 単に,… そういうものです。 毎日あなたはノートと一緒にこの 机の後ろに閉じこめられています。 ノート,そのくすんだ鏡は
あなたの考えを その上に気分良く写しています。 あなたは先生がログについて
話していることを聞くふりもせず, 限りある人生のかけがいのない
一時間を無駄にすごします。 または,少なくとも彼女が教えようと
するログについて考えはします。 あなたは何気なくここに座り, 今しかないこの瞬間に
注意を払いません。 おっと,また一つ(その瞬間が)
過ぎました。 しかしどちらにせよ,それは
結局あなたが習う気もない ログのことです。 それに対して,先生は
たとえば微積分を あなたが気にかけないと
思っています。 ですから代わりに,これは
いたずら書きの時間です。 2 日前,あなたは無限に
自分自身を似せた獣, フラクタルを発見しました。 そして昨日,あなたは 2 次元の
ものを 2 倍にスケールすると, 4 倍大きくなることを発見しました。 どんな量でもスケールすると, 面積はその 2 乗分大きくなります。 1 次元はその量だけです。 そして 3 次元は
3 乗の量になります。 そして 4 次元の量は
4 乗されます。 そして n 次元では,
n 乗の量になります。 こうしてみると,あなたは地上
で過ごす限られた時間を 有意義に過ごしているようです。 ただ,いつか私たちは皆不死身の
ロボットになるかもしれませんが。 とにかく,あなたは無限の
ドラゴンダンジョンの フラクタル町の計画を続けます。 3 角形の上に 3 角形を, 毎回 3 のファクターで
縮小して載せます。 それは 9 分 の 1 の面積です。 しかし,それは 4 倍の数があります。 次のセットは前よりも
4 倍の数があって, しかし前よりも 9 分の 1
の大きさです。 すると鉄の量は
1 たす 9 分の 4 たす 4 の 2 乗割る 9 の 2 乗たす
4 の 3 乗割る 9 の 3 乗 点,点,点,たす 4 の n 乗
割る 9 の n 乗です。 もしかしたら,無限級数
をたす方法をいつか 学ぶことができるかもしれません。 先生がログを終わりにするなら。 しかし,少なくともあなたは
完璧なフラクタル町を 作る方法がわかりました。良し。 スケールファクターの
理解と町の計画は あなたが不死身の
ロボットになる途上で, 他の種族を助けたいと思った
時に役立つでしょう。 もし 2 倍の大きさにすることが, 唯一の改善策だとしたらどうでしょう? それとも 3 倍では? そこであなたはこの部分の
設計はとっておいて, 次のイタレーションを描きます。 2 次元の 3 倍の
スケールという意味は, 9 倍の鉄が必要ということです。 しかし,これらの計画を描くうちに, 9 倍の難しさではなく,
4 だけ難しいようです。 なぜなら,難しいのは,
トゲトゲの外側です。 そして 3 倍にスケールするためには 4 回だけのコピーです。 OK, ちょっと待った。 変なことその 1。 3 倍にスケールアップするということは, 9 倍の鉄がいるということ。 しかし,同じものを 4 回コピーし, それにたすこの真ん中の
3 角形を埋める。 すると,4 かける鉄の量たす 9。 するともしこの無限級数
のミステリーな和, 全部の鉄の量を x とすると, 9x が 4x たす 9 に等しい。 すると,5x が 9 に等しく x はちょうど 5 分の 9 に等しい。 どうだ無限よ! それみたか。
よし。 変なことその 2。 実際のコッホ曲線の中を埋めず
に辺だけをみてみましょう。 もし無限にトゲトゲでは
ない普通の直線なら, 3 倍にすることは 3 倍の
長さ(を描く)のインクがいります。 予想どおり。 しかしもし,トゲトゲの線が
ドラゴンダンジョンドームの 町の魔法で無限に
トゲトゲを表すなら, このようにスケールすると,
詳細がなくなります。 この直線を長くしても, そこにはトゲトゲがあるはずです。 理論的には,どれだけ町を
スケールしても, どれだけ細かく見ても,平らな
部分はまったくないはずです。 この全体をこの部分と同じに
なるようにスケールダウンすると, それはこの部分と同じで,
それはこの部分とも同じです。 などなど。 3 倍大きいと,4 倍の素材がいります。 普通の 1 次元の直線と
違って 3 倍ではないです。 そしてこの中の 2 次元の面積
はもちろん 9 倍でもありません。 どうにかしてこのものの
無限のフラクタルっぽさは, 他の 1 次元のものや 2 次元
のものとは違うようです。 あなたは全部の 1 次元
のものを 2 倍にすると, 2 倍の素材がいると考えます。 なぜなら,これらは線分
に分解できるからです。 そしてあなたは線分が
どのようなものか知ってます。 そして全ての 2 次元のものは 2 倍にスケールすると,4 倍の
素材がいるとわかっています。 なぜなら 2 次元のものは,
正方形の集まりで, あなたは正方形がどんな
ものか知っているからです。 しかしこれには直線がありません。 そしてこれは正方形の
面積でもできていません。 3 対 1 よりも大きく,
3 対 2 よりも小さい これはまるで 1 次元と
2 次元の間にあるようです。 シェルピンスキーの
3 角形に戻ります。 多分,それを線分で作ったと
考えられるでしょう。 でも,それは無限の量あり,
それぞれは無限に小さいです。 それを 2 倍高く作る時は, この絵の全部の直線を
2 倍長くします。 すると詳細がまたなくなります。 しかしこの小さすぎて
描けない小さな線は 2 倍長くなって今は見えます。 こうやって無限に小さな
線分までいきます。 フム。 あなたは相似の直線の性質は, 実際には長さがない線
でもあるのかと思います。 待った。長さのない直線? それはものと言えるのでしょうか? まず,2 倍に大きくすると, シェルピンスキーの 3 角形は
3 倍のものになることがわかりました。 1 次元の 3 角形のアウト
ラインのように 2 ではなく, 2 次元の中の詰まった
3 角形のように 4 ではなく。 しかし,どこかその中間です。 この中間ぽさは,どんなふうに
作るにしても真のようです。 線でも,2 次元の 3 角形をひくでも, くねくねの波でも。
いつも同じ結果です。 分数の次元を持つもの。 無限に小さい直線が無限に
あるので,1 次元ではなく。 全部の面積をひくので
2 次元でもなく。 無限にくねくねする直線は, 無限でくねくねなので直線でもありません。 しかし,くねくねは自分
自身には交わらないし, 2 次元の面積もありません。 ただ,ドラゴン曲線の場合には, 自分自身に交わっていそうです。 フム。 これが完全なドラゴン
曲線というふりをして, こんなふうにイタレートすると,
2 倍の素材がいります。 もし 2 倍になるのなら,それは
1 次元の直線と同じです。 しかし,これは,そうですね。
2 倍ではないです。 見てみましょう。 もし完璧ならば,
2 等辺直角 3 角形のはず。 すると ルート 2。
フム。 もしこれが 2 次元なら,
ルート 2 の拡大ならば, ルート 2 かける ルート 2 の素材。 そしてルート 2 かける
ルート 2 はもちろん 2 です。 これが必要な素材の量です。 ドラゴンが丁度 2 次元になるとは変です。 しかし最後には,フラクラル
の辺で埋めつくします。 そしてそれはドラゴンのダンジョン
を埋めるみたいなものです。 中は 2 次元のピンクのスチールで,
無限のフラクタルの青緑が外です。 ドラゴン曲線は3角形という
2 次元のものではなく, くねくねから始まったのに 2 次元
ぽいというのは,変な感じです。 さて他の考えがあなたを悩まします。 ここで扱ったような線分ではなくて, 無限に長い本当の
直線はどうなのか? ある意味,無限に長い
直線には長さがないです。 少なくとも定義されたものは。 無限に短い直線のように,それを
記述できる実数がありません。 そしてもしそういう数がないとしたら, どうやってそういうものを
2 倍にできますか? もし,直線を 2 倍の長さにしても, 2 倍の長さの線分には
ならないとしたら。 直線は本当に 1 次元
のものなのでしょうか? もしコッホ曲線が 1 次元
よりも大きくなるだけの くねくねを持っていたらどうですか? そしてもしそれをもとの
直線にひきのばしたら? 対応について想像してみます。 もしこの点がここに
対応するとしたら, この点は無限に向こうにあります。 そしてこれは無限の 2 倍先にあり, それには意味がないです。 そしてこれも無限の先にあります。 そしてこれもこれも。 しかし,全部が同じ無限に
終わることはできません。 なぜならそれぞれの間に
無限の直線があるからです。 するとあなたは,
これら全部をあわせると, 無限の無限倍長い
直線になると考えます。 するとその直線は 1 次元
ではないかもしれません。 しかし,これが何次元であるにせよ, あなたはコッホ曲線や
シェルピンスキーの 3 角形の 厳密な次元を知るには
どうするのかを考えています。 3 の次元乗が 4 倍の素材になるはず。 しかしこの数はどうやったら
わかるのでしょうか? もしこれをみつける方法があったらなぁ。 突然ベルがなり,
あなたは荷物をまとめて もう二度とログなんか聞かないですむ ということにウキウキしながら, できるだけ早く教室を出ていきます。