9.999... 個の .999... = 1 となる理由

99.9 の循環のパーセント の数学者が 0.9 の循環は 1 であることに 賛成しています。 私がそう言ったらそれを 信じる人はもう他のビデオに 行けばいいでしょうが， そういう人には 0.9 の循環が 1 というのは，「one」derful だから 1 と言っても納得するでしょう。 理由 2 または 理由 1.9 の循環。 0.9 の循環はちょっと変な数です。 私たちは数 1 や 2 を普通は 1, 2, 3, 4, 5 のような 自然数と考えます。 この場合，1 の次の数は 2 です。 9.9 の循環は 10 に 等しいかもしれませんが， あなたは 9.9 の循環の 諸侯がジャンプしているとは 言わないでしょう。 同じように，9.75 人と 4 分の 1 人の諸侯が ジャンプしているとも 言わないでしょう。 人の数は自然数だからです。 すると，この文で，0.9 の 循環が 1 に等しいという意味は いったいそもそも 何なのでしょうか? それが 1 に等しいとは， 2 分の 1 が 0.5 に 等しいと同じで， 同じ値だということです。 あなたはこれを哲学的に，1 は 一番淋しい数とかなんとか考えて， 0.78 たす 0.22 は 同じように淋しいとか 考えることもできます。 しかし，数学的にそれらが 等しい値というのは 100 年の孤独は，カッコの 10 たす 40 カッコ閉じの 2 倍 の孤独と同じ，または， 99.9 の循環年の孤独ということに 疑問はありません。 すると理由 2 は証明ではなく， 心を柔軟にして，違う外見の数でも 同じ値のものがある，と考えることです。 他の例として，代数は 0 と -0 は等しいがあります。 理由 3. 0.9 の循環は小数に 見えるので実数としましょう。 0.9 の循環は 1 に無限に近い数で， しかし，1 ではない数としましょう。 これを直視して下さい。 あなたのうち何人かは， 間違った数を書いています。 それは 1 に無限に近く， しかし 1 よりも小さい ある「数」ですが， それは 0.9 の循環でも 実数でもありません。 よし，もっと 3.9 の循環が 4 の証明をしましょう。 このとき 3.9 の 循環の式によれば， 3.9 の循環は 4 です。 ステップ 1，0.9 の循環を x に等しいとします。 ステップ 2，この両辺に， 10 をかけます。 ステップ 3， 0.9 の循環を 左辺でひきます。 右辺では，x をひきます。 すると，9.9 の循環ひく， 0.9 の循環は，9 に等しく， そして 10x ひく x は 9x で， 両辺を 9 で割ると， 1 が x に等しいとなります。 お気づきでしょうが，x は0.9 循環にも等しかったです。 ここにはトリックはありません。 単純なかけ算とひき算と 9 での割り算だけで， 全て可能な操作です。 なぜなら，それらは 一貫しているからです。 0.9 の循環で，何かが 一貫していない時には， 私たちは代数を あきらめます。 たとえば，代数では，0 で 割ろうとすると，問題です。 そこでは何でもどんな 値にでも等しくなります。 もしあなたがどんなものでも 等しいと言いたければいいですが， するとあなたの代数は つまらないでしょう。 生徒をなぎ倒し，あたかも他には 代数がないというふりをする 基本の代数では， 0 で割ることは許されません。 それが今日の一貫して不思議 なほど実用的な代数です。 私たちは，100 をかけることで 小数点を 2 回ずらすこともでき， 99.9 の循環本の壁の ビールビンがあるとすると， 99.9 の循環本の 1 本を倒して， 飲み干して 99 で 割って酔っ払います。 理由その 5。 無限の 9 があります。 もし誰かが一番大きな数が あると考えたとします。 しかしそれは無理です。 なぜなら，その数に 1 をたすか，2 をかければ， どんな数であってもそれよりも 大きくなるからです。 しかし，無限は数ではありません。 1 や 2 をたすことで 大きな数を得ることが できるのは，代数です。 それは実数を扱っています。 無限ではひき算も 上手くいきません。 無限の数のビールビンひく 1 は 無限の数のビールビンのままです。 この 10 をかけて 小数点をずらす時， 限りのある 9 では 0 が 作りだされます。 しかし，そうはなりません。 無限の 9 に 9 を (最後に1桁) たしてもまだ無限の 9 です。 この，あるいまいましいと いってもいい特性のため， この証明が上手くいきますが， 無限は実数ではありません。 もしあなたが 9.9 の循環が 10 に等しいという考えに 不満を持っているような タイプの人なら， 1 割る 0 は無限であるべきだ と感じることでしょう。 実は基本の代数とは違う 他の計算のシステムがあって， そこではそれは正しいです。 そうです。数学者たちは どうやって 0 で割るかを ずっと昔に理解していました。 しかし基本の代数は無限を 扱うことができないので， あなたの基本の代数で 無限を使おうとすると， とたんに矛盾が生じます。 無限は実数ではないかも しれませんが， それは超実数です。 超実数は無限小の中の 無限大のように， 他のルールに従います。 そして，代数では扱えません。 ある人たちはそれらは 数であるべきで， それらを使うことできると 考えました。 そしてどうするかを 理解すると，バン! 微積分学とかなんとかです。 理由 その6。1 から 0.9 の 循環をひきましょう。 無限の 0 が並ぶのは 明らかでしょう。 しかしあなたは無限を 越えたどこかに 最後の 1 があると考えたく なるかもしれません。 それを，0.0 の循環の 1 と 書きたいと思うかもしれません。 もちろん，0 は無限に続きます。 するとその 1 にはけして たどりつくことはできません。 そこでそれをそのままに しておくでしょう。 すると，0.9 の循環と 1 の差は 0 です。 差はありません。 ここにもうひとつの差がない 証明があります。 1 の次に大きな数が 2 と いうゲームを覚えていますか? 次に大きな実数は 何でしょうか? このゲームでは次の数として どんな数をあなたが言っても， 私はもっとそれに近い数を いうことができます。 実数の数多い楽しい ことの一つは， どんなに近い 2 つの 実数をとっても， その間には無限の数があり， それらの間にも無限の数が あり，と続くことです。 1 の次に大きな実数と いうものはなく， 同じように次に小さな実数と いうものもありません。 もし，0.9 の循環と 1 が違う数ならば， その間には無限の 実数があるはずです。 もし，あなたが 0.9 の 循環よりも大きくて， 1 よりも小さい数を 言えないのであれば， それは 0.9 の循環が 1 だからです。 もしこの考えが 好きではないなら， 大学に行って超実数を 習いましょう。 またはさらによい 超現実数があり， それはある数の体系で， 1 に無限に近いが， 1 ではない数があって， もっと変なことには， 無限にそれよりも近い数が 無限にあります。 とにかく，理由その 8。 もう一つのよくある証明は， 0.3 の循環をとり， それが 3 分の 1 に等しいと して，3 をかけると， あきらかに定義から 3 分の 3 は 1 で， 0.3 の循環かける 3 は 0.9 の循環で， お気づきかもしれませんが， それは 1 に等しくなります。 ここで 1 つだけ 仮定したことがありますが， それは 0.3 の循環が3 分の 1 に等しいということで， 多分あなたは一般に 小数表記が嫌いなのでしょう。 これから理由 その 9 がでてきます。 これは無限級数の 和を使います。 10 分の 9 たす， 100 分の 9 たす， 1000 分の 9 たす，・・・ この級数の和は 1 です。 しかしなぜあなたがこの証明を 気にいらないか想像できます。 これはある部屋を 通ることはできないという ゼノンのパラドックス みたいだからです。 そのためには先ず部屋の 半分まで行く必要があり， そのためにはさらに部屋の 半分まで，などなど。 どうやったら矢を的に 打つことができるのか， そのためには矢は 半分までの距離を行き， そのためには半分の 半分までの距離を行き， そしてそのためには半分の 半分の半分までの距離を行き， とすると，無限の点を通りますが 無限は有限の時間で通れないので， けして物は動くことはできない。 1 までには 1/2 たす 1/4 たす 1/8 ・・・で どの地点でもまだ 1 に着かない ので，物は動けません。 しかし，ラッキーなことに， 無限がそれを可能にします。 つまり，それが無限の定義です。 とても大きな数でそこに たどりつけなくても， どんなに大きな数を 数えることができなくても， この・・・を書くことや， 循環部分へのバーや点が， 無限級数を書くショートカットに なっています。 そこでは 1 につくまで 10 分の 9 たす 100 分の 9 たす， ・・・となっており， 3 分の 1 につくまで， 10 分の 3 たす， 100 分の 3 たす， ・・・となっていて， いくら 3 を書いてもそれは いつでも 3 分の 1 よりも小さいが， しかし，それはまたいつでも無限 の 3 の循環よりも小さいです。 無限を使うとそこに 到達できますが， 実数でそれができる数は ありません。 2 進数の 0.9 の循環と 等価なのは， 0.1 の循環です。 それは 1/2 たす それは 1/2 たす 1/4 たす 1/8 ・・・で， そうやって私たちは点々の 半分の音符が 1 の音符に等しいと わかります。 0.9 の循環が 1 に等しい 究極の理由は，それで 上手くいくからです。 それは一貫しています。 1 たす 1 が 2 に等しいように 一貫しています。 しかし 1 割る 0 が無限大に 等しいは一貫していません。 数学とは，規則をでっちあげて 何が起こるかを 見るという学問です。 それには良いルールを でっちあげるという 良い創造性が必要です。 数学と芸術の ただ一つの違いは， もし数学であなたが自分が 発明したルールに 正確には従わない時には， 人はあなたが間違えていると 言う傾向があることです。 あるルールは基礎の 代数と実数を与えます。 そのルールでは， 0.9 の 循環と 1 の違いを言えません。 それは 0.5 と 2 分の 1 の違い， または 0 と -0 の違いを 言えないのと同じです。 これで 0.9 の循環が 1 に等しくないとは 簡単に言えないことが わかると嬉しいです。 このビデオで私は 7.9 の循環が， 8 ということを考えました。 あなたがもう，ああ，それは素敵だ， 4.9 の循環が 5 だから， ハイ 4.9 循環だと 考えると嬉しいです。 もしあなたがこの数学が 好きになれないなら， 私はあなたを 気の毒に思います。 しかし，0.9 の循環は 1 です。 この話のモラルは， ある数に無限に近いが， それよりも少ないという考えは 馬鹿げてもいないし， 間違いでもなく， すばらしく，美しく， 興味深いものです。 真の数学者は「それはできない」 というのを挑戦とみます。 もし誰かが，小さな数から 大きな数はひけないと言うと， 負の数を発明します。 誰かが自分自身をかけて負に なるような数はできないと言うと， 虚数を発明します。 もし誰かが 2 個の 0 でない数を かけあわせて 0 にはできないとか， 0 でない数にそれとは 違う数のベキを考えて 0 はできないというと， あなたは 「そんなことは一度に同時に できる」と言うかもしれません。 8 次元で。 もしあなたが彼らの言うことを 無視してその数が 8 次元でないと言い， これは偽の数の発明というのは 意味のない時間の浪費です。 実際にそれをやってみようとすると， あなたは 8 元数を 分解しているでしょう。 それはとにかく とても素敵で，たまたま 電子の波動方程式とかを 記述するのに 完璧な方法だったりします。