無限にはどれだけの種類がありますか?

ある人達にとって個人的な 無限の定義は 可能な限り大きな数，とか， 全ての全体，とか，宇宙全部， 神，永遠，などでしょう。 しかし数学では，ある数が 無限であるためには， あらゆる有限の数より 大きければそれで良いです。 すると，無限は「実数」と いう良くない名前で 呼ばれているものとは 違う振舞いをします。 いったい誰が実数なんて 名前にしたのだか・・・。 しかし無限の数は 有限の数よりもちょっとだけ 大きいか，とても大きいものです。 そして無限の数は異なる 大きさを持つだけではなく， まったく異なった香りがあります。 このビデオで私がしたいことは， あなたにこれまでに発見されている 無限の多くの香りについての 概要をお見せすることです。 そして異なる無限の異なる感じ， たとえば，5 の持つ 5 の半分らしさや， 2 の 2 らしさ， 1 の持つ単一性の感じのような ものをお見せしたいです。 加算無限は ... (点点点) の無限です。 永遠の無限とか， 以下同様の無限です。 無限を得るには 1 たす 1 たす 1 たす ... のたし算 または，2 分の 1 たす 4 分の 1 たす 8 分の 1 ... で 1 が得られます。 この 1 は無限にたした結果です。 しかし，1 はそんなに 大きな数ではないです。 私が加算無限を見る方法は， そんなにたいしたものではありません。 無限個の 1 をたすことは， その実際よりも印象的な気がします。 私たちは巨大な 実世界の考えを表すために いつでも 1 から始めます。 1 人の人，1 時間，1 個の光子。 そして実世界の物で 加算無限の量は， 理解を越えているか， 不可能です。 しかし数学はあなたが 数をどう使うのか 知りませんし，気にもしません。 あなたが有限の数を時間や 粒子の数のようなものに 使いたい時，それは無限の 問題ではありません。 しかし加算無限は 数ではありません。 それは数学的な記述で， 多くの異なる無限数や 関数とかに適用します。 一方で，アレフ・ナルはある数です。 メタな数の一種です。 それは基数(数える時に 使う数)の数です。 無限に続いていく基数の 最初の無限の基数です。 そしてそれはただ 1 つの 加算無限のものです。 それはちょうど 永遠の時間の数と同じで， パイの桁数とも同じです。 もし加算無限が個々の 刺すようなライトが 無限の海岸線に 並んでいるものとすると， アレフ・ナルはこれらの 刺すような光が 水面に反射しているようなものです。 そしてそれらは アレフ・ナルたす 1 が アレフ・ナルに等しいように， 波となり流れとなり 自分自身を並びかえます。 そしてアレフ・ナルの 2 乗は アレフ・ナルに等しい。 つまりアレフ・ナルとはある数で 普通の数のような 扱いはできますが， 実数という悪い名前が ついているもののようには 振る舞わないという意味です。 それから順序数があります。 順序付きの無限は 完全に別の種類の無限で， そこではライトは流れず， 自分自身を並びかえもできません。 ライトは無限のライトの 沼に固まっています。 加算無限の順序数オメガは 順序数で，ちょうどアレフ・ナルと 同じ数のライトがあります。 これら無限のライトの全てが 同じプールに固まっていて， もしその最初に 1 個の ライトを加えたら， もちろんそのライトの上で固まって， オメガライトのままです。 しかしもしライトを無限の 他のライトの後に加えると， オメガたす 1 です。 そのライトは水平線の 向こうにとらわれます。 これら無限のライトの 最後を越えて詰めこまれます。 そしてそれは単にライトの 積み重ねの 無限の最後の後に あるわけではありません。 なぜなら，これは無限です。 最後のライトというものは ないからです。 ですからある意味， そこらをさまよっています。 するとオメガたす 1 は オメガよりも大きく， 1 たすオメガよりも大きい。 明らかに無限につまった スポットライトは非可換です。 無限に可算無限の 順序数があります。 そしてそれぞれの異なる 無限の順序数には， 異なるライトのかたまりの パターンがあります。 順序数はより 実数のように振舞います。 オメガたす 1 たす 2 は オメガたす 3 に等しい。 しかし 2 たすオメガたす 3 は， オメガたす 3 に等しいです。 非可換性があるので， 加算無限の異なる形を使っても 間違って 1 が 2 に等しい とかにはなりません。 オメガたす 3 たす オメガでは， 3 は 2 番目のオメガに取られて， オメガかける 2 になり， それは 2 かけるオメガとは違います。 2 かけるオメガはまざります。 オメガのオメガ乗のオメガ乗の オメガ乗・・・のようなことができます。 よし，ちょっと気がそれていますが， とにかく順序数はクールです。 より大きな基数があり，無限 よりも大きいと証明のできる 無限があり，数えることで 得られるそれは 賢くも非可算無限と呼ばれます。 点々の無限は近づくことすら 始められません。 最初の非可算無限は実数です。 スムーズ，しかし個々に 密なものの海で どの 2 つをとっても どれだけ近くても まだ測度のある違いがあります。 それらは互いにはくっつきません。 それらは直線上に 順序だてて並べられ， 一方で 1 つずつ 並べることはできません。 実数の基数性は， アレフ 1 かそうでないか 標準の公理と独立で， 新しいたくさんの順序数に まとめられます。 そしてより大きな超限基数は より大きな箱に より大きな無限を入れています。 実は，無限の量の基数， 無限の大きさの無限， アレフ 1，アレフ 2， アレフオメガ，そして無限の順序数， それらのそれぞれの 基数オメガ 1，オメガ 2。 私はオメガ 3 は脳に 良いと聞いています。 しかしもし無限に無限の 種類があるとしたら， あなたは不思議に思うでしょう。 どんな種類の無限の量が 無限にはあるのだろうかと。 それは可算よりも大きく， 非可算よりも大きく， あるとても大きな数があって， それは無限だけれども， 無限の種類の数で 数としては大きすます。 たとえば，あなたが 全ての基数をとり， それを箱に入れて， いや，それはできません。 それは箱に入らないでしょう。 それぞれの大きなアレフは 無限のオメガにでき， それぞれのより大きな オメガは無限の より大きなアレフを提供します。 それはたとえば，全ての箱を入れる 理論的な箱を作ろうと いうようなもので， その箱は全ての箱を入れようにも 自分自身が入りません。 ですからそれを入れるもっと 大きな箱を作りますが， しかしそうするとその箱には 自分が入りません。 まるでどんな有限な数よりも 大きな有限の数のようです。 無限の数の数はどんな 無限の数よりも大きいです。 それは数ではないか，少なくとも 数学を壊さずにそれを 作った人はいません。 しかし無限は順序数や 基数ではないのみならず， 微積分の無限があり， それは特別の場合にデリケートな 扱いをされた働き者で ある有限の数をその極限まで 導くことだけを目的にした 仮想粒子のように生成し， 消滅します。 あなたの日常の無限は 人生に受けつがれますが， ほとんど省みられません。 それから超実数があり， それは実数の拡張で 無限小の近さと柔かさを含みます。 小さな数の漂流ではなく， 他の数よりも近くほとんど 区別ができないほどです。 超実数は無限小の 可算から実数まで どんな数の体系でも 異なる度数で扱えます。 しかし面白いのは超実数は 順序数や基数と違い， 算術の普通のルールに従うことです。 つまり割り算とかができます。 もし 1 をある無限に 0 に近い数で割れば， 無限に飛ばされます。 同様に有限の数を無限に 大きな数で割れば， 無限に小さいが 0 ではない 数が得られます。 準超実数は似たようなことを しますが，もっと他のこともします。 それから痛々しいほど美しい 超現実数があります。 全ての次元方向に大きく 開き伸ばされ， 新しく作られた次元でも また花開き， 可能な全ての空間を埋め， それから不可能な空間を閉じます。 超現実数は実数と超実数と 準超実数を含み， また，全ての順序数の無限の無限， つまり，超現実数は 全ての基数を含みます。 全ての超現実数を 含む集合はありません。 なぜならそれは 1 つの集合には 大きすぎて入らないからです。 それらは基本的に可能な最も 大きな数というべき数です。 つまり，それらはあなたの 公理によりますが， 多分最も大きな順序体でしょう。 それらはそれでも数のように振舞い， 算術が使えます。 加減算，乗除算，交換則，結合則， 倍数に加法単位元。 すると無限ひく 1 とか， 無限割る 2 とか 全てが上手くいきます。 0 での除算を除いて。 1 を無限に小さな数で割って 無限に大きな数を 得ることはできますが， 全てをだいになしにすることなしに， 0 で割ることはできません。 すると 0 の方がこういう無限の 数よりもずっと変な数です。 しかし数について他の 考えかたをすれば 他の種類の無限があります。 もし自然に数える数のもつ それぞれの数っぽいことを考えると， それはユニークな数たす 1 から来るものです。 すると無限を 1 をたすことを 無限にすることで 定義すれば，意味が通ります。 しかし，それぞれの自然数には ユニークな素因数分解があります。 多くの人たちがある数の 素因数分解を 個々の数が何からできているか ということと考えます。 16 は 17 よりも 32 に近いと 考える方法があります。 超自然数の世界です。 超自然数はある数のシステムで， そうです。 自然数が素因数分解の一意性から 数っぽいことを得ていると決めたものです。 ですから，もしあなたが 無限の素因数分解を許したら? たす 1 のような数の定義です。 2 かける 2 かける 2 かける点点点 は 7 かける 7 かける 7 かける ・・・と同じです。 しかし素因数分解ではこれらの 無限は基本的に異なります。 それらは異なった感じです。 超自然数はかけ算も割り算もでき， 無限の超自然数 a と 無限の超自然数 b の 最大公約数が求まります。 何ができないかというと， たし算です。 16 に 1 をたすと 17 になると考えていると 上手くいきません。 実は，ある超自然数が 他の超自然数より大きいか どうかわかりません。 確かに超自然数は 自然数を含みますが， 超自然バージョンの自然数には このたす 1 の順序付けが ありません。 しかしそれらを p-adic の方法で 順序付けることができます。 それは，16 を 17 よりも 32 に近いとできます。 おかしなことに，p-adic 数は一番 無限っぽい感じのする数です。 それらは無限の桁を持ちますが， それは単に記法です。 p-adic 数は，たとえば， よし，有理数は意味が通る， というようなものです。 では，実数という悪名で 呼ばれる数の おかしな代替品を完成させましょう。 しかし，有理数はさておき， 実数という悪名で呼ばれる 数をしっかり見ましょう。 それはそれ自身ある意味変です。 無限を含まないすごい数の システムはたくさんあり， たとえば，全てのタイプの 多元数がそうです。 超現実数を複素数に適用すると， 超複素数ができ， それは数の中で交換則と結合則と 四則演算などができる ある意味最大のものです。 すると普通の四元数なども 興味がわきます。 とにかくたくさんの 無限数がありますが， しかしこれらは全て数です。 無限の空間はどうなのでしょうか? 幾何学的無限は直線に 無限遠点を加えたもので， それは円になります。 それは正の無限と負の無限が 等しいもので問題ありません。 射影幾何は無限を皆 むぞうさに他の点と同じように扱い， 本当にそうしたければ 0 で割ることもできます。 イェーイ，射影幾何学。 射影幾何学では平行線は 無限遠点で交わり， しかし無限の空間は あなたの空間がどれだけ大きいかを ある遠さの意味で参照します。 それはまた次元の数でも 参照できます。 無限次元の空間は 完全に「ある物」です。 ヒルベルト空間は任意の 次元数を持つ ユークリッド空間のための名前です。 そしてそれは加算無限次元であり， または任意の 基数次元でもあります。 またはあなたは任意の 順序数をとり， それを順序空間に変えると トポロジーになります。 トポロジーは直線や球や メビウスの輪のようなものが どんなふうにつながっているかを 知るために 距離は関係なく伸ばしたり， 曲げたりすることを扱います。 短い線分をとって， それをより長いのものに伸ばし， それから無限の直線を得るために さらに伸ばすことを考えましょう。 または無限に長い線をとって， 1点に縮めることもできます。 つまり，この線分は基本的に 無限の線よりも短く見えます。 しかしあるトリックがあり， この線分には端がありません。 それはまるで 0 と 1 の 区間のようですが， 0 と 1 を含んでいません。 するとあなたがこの直線上の点で， 端に行きたいとすると， 1 に着く前の最後の実数は いったい何でしょうか? それは 0.9 の循環よりも 小さいですが， それは 1 に等しいです。 するとあなたは単にどんどん 9 を続けていくだけで 端にはけして着けません。 それは無限に長い直線を たどることとまったく同じです。 するとトポロジーはこの線分を 無限に長い直線と まったく同じと見ます。 しかし普通の無限の線は 単に普通の種類の無限で， トポロジーでは，それより 長い種類の線があって， とてもぴったりした名前で， しかし混乱することに， それは「長い直線」と 呼ばれます。 長い直線はあまりに長いので 有限の線分を伸ばして 長い直線にすることはできません。 たとえそれを無限に 伸ばしたとしてもです。 同様に長い直線は 縮めることができません。 ここに長い直線の一部があって， こちらが他の部分だとすると， もしあなたがこれをつかんで 互いに無限に縮めても， けしてここからそこまで 縮めることができません。 無限に伸ばすことは十分ではなく， これらの点は同じ線の一部ですが， ある意味互いに つながっていないのです。 それが長い直線がどれだけ 長いかという意味です。 つまり，本当に長いので， それはちょうど ばかげていてすばらしく， 他のものと同じく，完全に 数学的に証明可能なのです。 最後に，数学的な コンセプトとは言い難い オメガの大文字の 絶対無限があります。 この最大の無限は 全部の箱を含む箱のように それ自身と矛盾する 必要はありません。 しかしながら，数学的に 一貫したものでもなく， 数学者の中にはそれを信じている 人もいるというものです。 これは何か事ではないとは わかっていますし， 数学として考えられませんが， しかし，まだある意味，事なのです。 さて，これが私の知っている限りの たくさんの異なる数学的な 無限の意味です。 これは私のなじみの 数学ではないので， 多分間違った説明も しているでしょう。 なぜなら，これらの事は 数学のかなり違った 分野のものだからです。 順序数は集合論から来ていますし， 超実数はゲーム理論から， 超自然数は場の理論から， 順序数はトポロジーで使われ， ヒルベルト空間は解析と 量子力学からきています。 無限はあなたに射影 幾何学の射影をさせ， 無限小は計算幾何学で あなたに 0 を避けさせます。 実は有限の数学は 珍しい方に入ります。 原始的帰納算術(P.R.A.)， それは無限を許さない算術です。 それは順序数の 分析を適用することで， 数学のシステムを 量で扱う強みを持ちます。 証明理論の一部と P.R.A.は 順序数オメガのオメガ乗の 理論的証明を持ちます。 それはちょっと弱いところです。 とにかく，このビデオが 無限になる前にやめましょう。 しかしもし他の種類の 無限を知っている人がいたら， 教えて下さい。 私はそのリストを作ります。 どうやらまだ誰もそれを 作っていないようですから。