ある無限は他の無限よりも大きいことの証明

あなたが思い浮かべる どんな数列でも 面白そうなパターンや， あなたの好きな有名人の誕生日に ランダムな数を追加するなど， 何でもこの全てに加えて， あなたが思いつかない 全ての数列も， それぞれは小数です。 それには実数という悪い 名前がついています。 そしてこれらのどの 数列のランダムな桁を 1 桁変えたものは他の実数です。 ほとんどの人が気がつかないことは 全ての実数の組はどんな 組合せの桁も含むことです。 それはアレフヌル個の 小数点の位置も含みます。 数の最後の桁というものはなく， 桁の数は実数よりも，どんな基数， それは桁の無限の数を 作りますが，よりも大きく， それはかろうじて桁の 無限の数にすぎません。 なぜなら，それは有限の数よりも かろうじて大きいだけだからです。 しかしそれでも，桁の数の無限は 可能な最も小さな無限です。 この無限はジョークではありません。 それは十分に大きく，たとえば， 0.9 の循環が 1 に等しくないのは， あなたの無限が実は 無限ではない場合です。 もしかしたらあなたはある 無限が他の無限よりも 大きいということを聞いた ことがあるかもしれません。 これは比喩的に聞こえます。 しかし，無限が実際に 存在しているか， または何かが未来永劫 存在するとか， 人生には無限の瞬間が あるのかどうかとか， これらは数学では 答えられない質問です。 しかしもし人生に無限の実数に 対応する瞬間があるのならば， それは数学でも答えられます。 しかし，今回は比喩の話はせず， それを証明しましょう。 異なる種類の無限はあるとても 基本的な質問から始まります。 たとえば 5 は 4 よりも大きいか。 あなたはそれを習ったでしょうが， しかし本当にそうなのですか? なぜなら，これだけの数は， これだけの数より多いと言っても これは両方とも 1 つの手で 互いに等しく， ちょっと違う指のおりたたみ 方をしているだけです。 これはもしあなたが数という 概念を抽象化しておらず， 数はあなたが習ったように 働くと理解していない場合です。 長い人生は短い人生よりも 何かが多いでしょう。 そうでないと，1 つの人生は 1 つの人生として みな同じになります。 まるで異なる形に折り畳んだように。 これは比喩的な響きです。 すると 5 と 6 は 12 よりも大きい。 5 と 6 は結局 2 個のもので， 12 は 1 個しかありません。 無限はどうなんでしょうか? もし無限よりも大きい数を 作りたいとして， どうしたらそれは同じ 無限が異なった形に 折り畳まれたものではなく， より大きい無限だと わかるのでしょうか? 5 たす 5 は単に 10 の他の形です。 大きな数を作る 1 つの方法は， 数の数，メタ数をとることです。 これは 5 と 6 の入っている箱は 2 個のものを入れていて， 12 の 1 個だけ入っている 箱よりも実は大きいです。 1 から 5 の数の数をとって， 箱に入れると， あなたには 5 個の集合の 箱が 1 個あります。 または，あなたは 5 の数の数をとると， それは 1 個です。 または，基数の数をとったり， 実数の数をとったりできるでしょう。 基数の数それ自身は 基数ではなくて， アレフ・ヌルと呼ばれる無限の 数なのでちょっと変です。 この無限の大きさは通常 可算無限と呼ばれます。 というのもそれは数える 無限だからです。 しかし，私はジェームズ・グリムのように リストができる無限と 呼ぶのが好きです。 なぜなら通常の基数は 基本的に無限のリストを作るもので， 他の数の数もまた全ての リストを作るからです。 全ての正の整数はこのように 無限のリストにでき， 負の数も含めた整数も 正負を互い違いにすることで 全部リストにのせられます。 全ての整数とその中間の点も リストに載せることができます。 全ての有理数さえ，全ての 可能な 1 つの整数と 他の整数の組み合わせを 賢く数えあげることで リストに載せることができます。 全てのものの可算無限， 全てのアレフヌルの加算無限は， もし，私がこれらのものの無限な リストを作ることができれば， これら全てのリストを作ることが できると言うようなものです。 変なことは，この定義では ものがいくつであっても かまわないことです。 もちろん，もしこのリストが 文字通り無限であれば， これら全てをリストに 載せることができます。 しかしそれはできません。 では実数に戻りましょう。 たとえば，全ての実数を リストに載せたいとします。 もしそうしたら，こんなふうに 始まっているでしょう。 しかし特定の中身は どうでもよいのです。 なぜなら，実数と いうものは多すぎて， どんなにあなたが賢く並べても， 最後にはそれが無限のリストにも 収まらないことを証明するからです。 大事なことは，あなたは 無限の桁数のある どんな実数でも作ることが できるという考えです。 そしてこの力を使って， たとえリストが無限の 長さを持っていても そのリストには乗っていない数を 作ることができます。 ここですることは， リストがどんなものであれ， リストの最初の数ではない 実数にして， そして，2番目の数でもない 実数にして， そして，どの数でもない 実数を作ります。 ここであなたのうち誰かは， そうだ，カントールの 対角線論法だと言うでしょう。 友よ，その通りです。 これからするのはそれです。 リストの最初の桁は 1 でした。 そこで，新しい数として 最初の桁は3 にします。 そうするとたとえ全ての 残りの桁が同じであっても 私の新しい数はリストの 最初の数とは等しくありません。 とはいえ，桁の残りが全部 同じということはないでしょう。 リストの 2 番目の数は 3 から始まりますので， この新しい数がそれと同じか どうかまだわかりません。 しかし私の新しい数は 2 番目の桁の数を 5 か 8 か，とにかく， リストの数とは違うようにします。 そして私の数の 3 桁目の数は リストの 3 番目の数にある 3 ではなく 5 にします。 新しい数はリストの 3 番目の 数とはもう違っていますが， 1 つの桁が確実に 違うのであれば， 私は他の桁をチェックする 必要がありません。 それは桁数が 200 億桁とかになれば リストの最初の 200 億の 数のそれぞれの 200 億の桁をチェック するよりは便利です。 この方法を使えば，私の 今作っている新しい数は リストの前の 200 億の数と 確実に違うことを保証できます。 私の数はリストのすべての数と， 少なくとも 1 桁は どこかで違っています。 それはどんなリストがあっても， 新しい数をリストの数の全ての数と 違うように作れるということです。 それは無限のリストよりも 多くの実数が あるという意味です。 これはどんなリストでも かまいません。 対角線の数をとって それぞれの桁に 2 でも 5 でもなんでも たせば良いです。 しかし。あなたは実際には 無限のリストを書くことや 無限の数を書くことはできません。 そこで，何か起こっているかを考える そこで，何か起こっているかを考えるもう一つの方法を言 います。 実は私たちは 1 つの数の集合から もう 1 つの数の集合への 写像関数を作ろうとしています。 あなたは簡単な 「ひく1」という関数で， 全ての自然数を全ての非負の 整数に写像することができます。 0 と 1 の間の全ての実数から 0 から 10 の間の全ての実数へは 「かける 10」という関数を使えば， 全ての数がどこに行くかわかります。 それらは 1 対 1 に対応しています。 すると本当の質問は全ての実数， または 0 から 1 の間の 実数だけでもいいですが， それを基数に対応させる， またはその逆のできる 関数はありますか? になります。 カントールの対角線論法は 基数と実数のそれぞれを 写像できると言う関数は， 必ずどこかで失敗 することを言っています。 実は，無限のリストの 1 つ だけ足りていないのなら， それをリストの一番上に 加えることができるでしょう。 しかし足りていないのは， 1 つだけではなく， 無限の長さのリストが 足りていません。 それらのリストを組み 合わせることもできて， その対角線の桁に また 2 や 4 や， その無限の組合せをたすことで， さらにリストにない数ができます。 あなたはこれらの欠けている数を 2 進数の実数へと写像する 関数を作ることもできます。 もちろん 2 進数は 実数を書くための もう 1 つの方法にしかすぎません。 それは実数の無限のリストは 文字通り，これらの 無限の実数の 全てがたたりていないのです。 無限のリストが無限に あるということは， 実は数学的には何でもありません。 それは嫌なものです。 なぜなら，可算無限は それでもスーパー巨大で， あなたも知っているとおり， 無限に大きいのです。 しかし実数の無限は それを越えています。 それはこの単純な点点点 よりも大きな無限であり， より大きな濃度の数であり， アレフヌルを越えています。 それがアレフワン? ですかね。多分。 奇妙なことに， この無限がアレフヌルより どれだけ大きいのかを 言う方法がありません。 それは次のステップの 大きさかもしれないし， その間に他の種類の無限が あるかもしれません。 しかし，これらの どれがそうなのかは， 標準の公理とはある意味 独立したものになっています。 とっても変です。 しかしそれが何であれ， これは無限の数のアレフ数のうちの 単に 2 個の比較的小さな無限です。 全てのアレフ数について， 無限の順序数があり， それは無限が他の形に 折りたたまれたようなものなんでしょう。 そして超現実シュタイニッツ数 などなども忘れないよう。 もしあなたがこれらの 公理に詳しいのなら， ここにいつかの ベート数を見るでしょう。 私の親友の何人かが 選択公理を使っても， 私はだからといって 友だちを 判断することはありません。 とにかく，ある無限は他の 無限よりも大きいです。 しかし数学者ならば， あるアレフアルファとアレフベータがあり， アレフアルファがアレフベータよりも 大きいと言うかもしれません。 それは完璧に真ですが， これらの異なる種類の無限は 時間の瞬間みたいな ものに適用できるか どうかはわかっていません。 私たちが知っていることは， もし人生が無限の瞬間や， 無限の愛， 無限の存在からできているなら， 2 倍の長さの人生も 同じ量の何か無限であり， 他の無限よりも大きくは見えます。 そしてある無限はとても 小さく見えるけれども， その 10 倍の大きさの無限とも 同じ価値を持つことでしょう。