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たとえばあなたは私で 数学のクラスにいます。 そこでは関数のグラフを学ぶ予定で, y と x の間にある深い関係があると あなたの先生はゴシップを流します。 しかし多くのゴシップのように, あなたは y の 不健康な x への 依存はどうでも良いと思っています。 幸運なことに,あなたの 友だちがメモを渡します。 あなたは先生が黒板を向くのを待ち, こっそりとメモを開きます。 それがこの pi が 4 に等しいという証明で, インターネット上に何十億とあるものです。 しかし,あなたは退屈でこれは 少なくともグラフではありません。 そこでちょっと見てみます。 それはこんな感じ。 直径が 1,円周が π の円から始めます。 その周りに正方形を描きます。 この正方形の辺の長さは 1 です。 すると正方形の 周長はもちろん 4 です。 さて,この周長をジグザグにして 円に近づけます。 この形の周長は 4 のままです。 そこでもう一度ジグザグに してもやはり 4 のまま。繰り返し。 そして周長が変わらないまま 円に近づきます。 したがって,π は 4 に等しいです。 明らかに何かが間違っています。 この円の周長は π です。 しかし π は 3.14 のような数で, 4 よりも小さいです。 この円に近づけるプロセスは 何か円に近づきますが, 実は円ではありません。 そもそも円とは何でしょうか? この輪のような線です。 それからこの円盤の形です。 これらは全部関係していますが, 実は同じ数学的物体ではありません。 この嘘の証明はとても面白い`です。 なぜなら,このジグザグを ずっと無限まで繰り返すと, 円盤の意味では円の形に 近づいていきます。 それは円の面積に 近づいていきます。 しかし円には近づきません。 これはしわしわです。 こういうストローをさして ふくらますことを想像してみます。 すると,周長は 4 のまま全部の しわしわが滑らかになっていきます。 そして,周長が 4,直径が π 分の 4 の円になります。 実際,正方形をふくらまして 同じ結果を得ることができます。 多分,円が同じ周長の場合に 最大の面積になる形だということや, なぜシャボン玉が球なのか 雨粒が実際にはとても球形などと 何か関係があるのでしょう。 しかし,あなたは友だちに 同じ偽の証明で 答えることが一番 よさそうだと決めました。 たぶん,ルート 2 とかの他の無理数 を使うことができるでしょう。 実際,ルート 2 は良い例です。 なぜならそれもまた幾何学的な数で, 正方形の周長と斜辺の比だからです。 つまり,もしこれが 1 辺の長さが 1 の正方形だとすると, この直角三角形があります。 そして a の 2 乗たす b の 2 乗は c の 2 乗です。 実際,あなたはここから友だちへの 証明を始めることにします。 直角 2 等辺 3 角形をとります。 それぞれの辺の長さが 1 です。 すると斜辺の長さはルート 2 です。 これを周長が 4 の 正方形に入れます。 そしてこの 3 角形へ 同じ方法で近づきます。 毎回,この形の全体の 周長は 4 のままです。 こうすると 3 角形になる時, 斜辺の長さは 2 のはずです。 したがって,ルート 2 は 2 に等しいです。 これを友だちに渡します。 あなたがある 3 角形の面積を 形は 3 角形に近づかずに 求めていることに, 友だちは気がつくでしょうか? 3 角形は 3 辺があります。 しかし,この形は無限の辺の ある多角形です。 無限角形? しかしそんなに退屈なものでは ありません。 正多角形が円に近づく時には 無限の辺を持つようなものです。 なぜなら,無限角形は辺の間に実際 の角がある時には面白いからです。 ジグザクばかりなので,あなたはこれを ジグ無限角形と呼びます。 他のジグ無限角形を 作ることができるか考えます。 もし星から始めて 全ての点をジグにする。 そしてそれを無限まで繰り返します。 すると五角形みたいな何かになります。 しかしこれは実はジグ無限星で, 元の星と同じ周長を持ちます。 またはそれぞれのステップはジグ 下向きだけのルールもできるでしょう。 するとジグ無限角形は より質感がでます。 いくつかのザグを入れてもいいでしょう。 何かフラクタルっぽいものがありますが, ただし周長は変化しません。 3 角形でもできます。 または,正方形をジグ 無限角形にもできるでしょう。 おおっと,先生が近づいてきた。 何か軸を描いて数学を しているふりをしないと。 そしてあなたは考えを少し 変えて,0 から始めます。 y が 1, x が 1 に等しい点へ, そして x が 2 の時に y が 0 の点に戻ります。 次のイタレーションでは, この点が 0 に落ちます。 するとジグザグ関数は,(y が) 0 から 1/2, 0,1/2, 0 となります。 次のステップは 1/2 を 0 にします。 すると y の一番高い点は 1/4 に等しくなります。 それぞれのステップでは一番 高い点が 0 に落ちます。 新しい最高点は半分の高さになります。 それぞれのステップの全体の 長さはいつも同じです。 するとこれをジグ無限にすると 何が起きますか? 1 つの見方では,この直線は x 軸, つまり y が 0 の直線に近づきます。 頂上があっても,全部 0 へと 落ちていきます。 したがって,頂上はありません。 しかし,それぞれのステップで 2 倍の数の頂上ができます。 無限の頂上があって,かつ頂上 がないことがあるでしょうか? なぜなら全ての頂点が いつかは 0 になるからです。 しかしもし全部の y が 0 に 等しくなるのなら, 長さ 2 の線分が 1 本だけになります。 これでは意味が通りません。 ジグザグの長さは毎回の ステップで同じです。 そして始めは直角 3 角形の 2 つの斜辺だったので, 長さが 2 ルート 2 です。 そして 2 は 2 ルート 2 とは 等しくありません。 もう一つの問題は, 頂点だけが 0 になることで, しかし全ての数が頂点とは 限らないことです。 2 のベキの分数は何でも どこかのイタレーションで 頂点になりますが, たとえば数 1/3 のようなものや, 無理数なら けしてこのジグザグの頂点に なることはありません。 するとそれらは全部ジグとザグの 間にあります。 しかしジグとザグの間は どんな長さもありえませんし, そうでなくても頂点は 低くなっていきます。 どうにかして,それは無限のジグザグ の中になくてはありません。 そこでは何か長さのある 線分というものがありません, ジグとザグだけです。 それでもジグとザグの間のそれぞれ には無限の数の数があり, 全ての無理数がつまっています。 そしてどうにかして 全部の長さ 0 の部分が たしあわさると何か長さの あるものになっています。 あなたは2 ルート 2 の長さの 線分の端をつかんで, ひっぱることを想像できる かもしれません。 そして多分,あなたはその 2 ルート 2 の長さの線分を まるめて 1 点に折り畳むことが できるでしょう。