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楽しさと栄光のための数学
コース: 楽しさと栄光のための数学 > 単位 1
レッスン 4: πとτについてpi = 4 の証明ラプソディ
訂正: グラフに私が pi と書いた所は pi/2 のことです!
注意: もしこのビデオがあなたに何か教えようとしているとしたら,私は多分,これをもっとつまらないものにして,極限の1つの意味を言うことになるでしょう。台無しの警告。あなたは実際には円と線に近付いていきます。この明らかなパラドックスを解くには,長さの普遍性は無限では保持されないことを言うことになるでしょう。しかし私は幸いなことに芸術家です。そしてこれはラプソディです。もしそうしたければ,「学ぶ」かわりにあなたは実際に考えなくてはいけません。 Vi Hart により作成されました。
ビデオのトランスクリプト
たとえばあなたは私で
数学のクラスにいます。 そこでは関数のグラフを学ぶ予定で, y と x の間にある深い関係があると あなたの先生はゴシップを流します。 しかし多くのゴシップのように, あなたは y の 不健康な x への
依存はどうでも良いと思っています。 幸運なことに,あなたの
友だちがメモを渡します。 あなたは先生が黒板を向くのを待ち, こっそりとメモを開きます。 それがこの pi が 4 に等しいという証明で, インターネット上に何十億とあるものです。 しかし,あなたは退屈でこれは
少なくともグラフではありません。 そこでちょっと見てみます。 それはこんな感じ。 直径が 1,円周が π の円から始めます。 その周りに正方形を描きます。 この正方形の辺の長さは 1 です。 すると正方形の
周長はもちろん 4 です。 さて,この周長をジグザグにして 円に近づけます。 この形の周長は 4 のままです。 そこでもう一度ジグザグに
してもやはり 4 のまま。繰り返し。 そして周長が変わらないまま
円に近づきます。 したがって,π は 4 に等しいです。 明らかに何かが間違っています。 この円の周長は π です。 しかし π は 3.14 のような数で,
4 よりも小さいです。 この円に近づけるプロセスは 何か円に近づきますが,
実は円ではありません。 そもそも円とは何でしょうか? この輪のような線です。
それからこの円盤の形です。 これらは全部関係していますが, 実は同じ数学的物体ではありません。 この嘘の証明はとても面白い`です。 なぜなら,このジグザグを
ずっと無限まで繰り返すと, 円盤の意味では円の形に
近づいていきます。 それは円の面積に
近づいていきます。 しかし円には近づきません。 これはしわしわです。 こういうストローをさして
ふくらますことを想像してみます。 すると,周長は 4 のまま全部の
しわしわが滑らかになっていきます。 そして,周長が 4,直径が
π 分の 4 の円になります。 実際,正方形をふくらまして
同じ結果を得ることができます。 多分,円が同じ周長の場合に
最大の面積になる形だということや, なぜシャボン玉が球なのか 雨粒が実際にはとても球形などと
何か関係があるのでしょう。 しかし,あなたは友だちに
同じ偽の証明で 答えることが一番
よさそうだと決めました。 たぶん,ルート 2 とかの他の無理数
を使うことができるでしょう。 実際,ルート 2 は良い例です。 なぜならそれもまた幾何学的な数で, 正方形の周長と斜辺の比だからです。 つまり,もしこれが 1 辺の長さが
1 の正方形だとすると, この直角三角形があります。 そして a の 2 乗たす
b の 2 乗は c の 2 乗です。 実際,あなたはここから友だちへの
証明を始めることにします。 直角 2 等辺 3 角形をとります。 それぞれの辺の長さが 1 です。 すると斜辺の長さはルート 2 です。 これを周長が 4 の
正方形に入れます。 そしてこの 3 角形へ
同じ方法で近づきます。 毎回,この形の全体の
周長は 4 のままです。 こうすると 3 角形になる時, 斜辺の長さは 2 のはずです。 したがって,ルート 2 は
2 に等しいです。 これを友だちに渡します。 あなたがある 3 角形の面積を 形は 3 角形に近づかずに
求めていることに, 友だちは気がつくでしょうか? 3 角形は 3 辺があります。 しかし,この形は無限の辺の
ある多角形です。 無限角形? しかしそんなに退屈なものでは
ありません。 正多角形が円に近づく時には
無限の辺を持つようなものです。 なぜなら,無限角形は辺の間に実際
の角がある時には面白いからです。 ジグザクばかりなので,あなたはこれを ジグ無限角形と呼びます。 他のジグ無限角形を
作ることができるか考えます。 もし星から始めて
全ての点をジグにする。 そしてそれを無限まで繰り返します。 すると五角形みたいな何かになります。 しかしこれは実はジグ無限星で, 元の星と同じ周長を持ちます。 またはそれぞれのステップはジグ
下向きだけのルールもできるでしょう。 するとジグ無限角形は
より質感がでます。 いくつかのザグを入れてもいいでしょう。 何かフラクタルっぽいものがありますが,
ただし周長は変化しません。 3 角形でもできます。 または,正方形をジグ
無限角形にもできるでしょう。 おおっと,先生が近づいてきた。 何か軸を描いて数学を
しているふりをしないと。 そしてあなたは考えを少し
変えて,0 から始めます。 y が 1, x が 1 に等しい点へ, そして x が 2 の時に
y が 0 の点に戻ります。 次のイタレーションでは,
この点が 0 に落ちます。 するとジグザグ関数は,(y が)
0 から 1/2, 0,1/2, 0 となります。 次のステップは 1/2 を 0 にします。 すると y の一番高い点は
1/4 に等しくなります。 それぞれのステップでは一番
高い点が 0 に落ちます。 新しい最高点は半分の高さになります。 それぞれのステップの全体の
長さはいつも同じです。 するとこれをジグ無限にすると
何が起きますか? 1 つの見方では,この直線は x 軸,
つまり y が 0 の直線に近づきます。 頂上があっても,全部 0 へと
落ちていきます。 したがって,頂上はありません。 しかし,それぞれのステップで
2 倍の数の頂上ができます。 無限の頂上があって,かつ頂上
がないことがあるでしょうか? なぜなら全ての頂点が
いつかは 0 になるからです。 しかしもし全部の y が 0 に
等しくなるのなら, 長さ 2 の線分が
1 本だけになります。 これでは意味が通りません。 ジグザグの長さは毎回の
ステップで同じです。 そして始めは直角 3 角形の
2 つの斜辺だったので, 長さが 2 ルート 2 です。 そして 2 は 2 ルート 2 とは
等しくありません。 もう一つの問題は,
頂点だけが 0 になることで, しかし全ての数が頂点とは
限らないことです。 2 のベキの分数は何でも どこかのイタレーションで
頂点になりますが, たとえば数 1/3 のようなものや,
無理数なら けしてこのジグザグの頂点に
なることはありません。 するとそれらは全部ジグとザグの
間にあります。 しかしジグとザグの間は
どんな長さもありえませんし, そうでなくても頂点は
低くなっていきます。 どうにかして,それは無限のジグザグ
の中になくてはありません。 そこでは何か長さのある
線分というものがありません, ジグとザグだけです。 それでもジグとザグの間のそれぞれ
には無限の数の数があり, 全ての無理数がつまっています。 そしてどうにかして
全部の長さ 0 の部分が たしあわさると何か長さの
あるものになっています。 あなたは2 ルート 2 の長さの
線分の端をつかんで, ひっぱることを想像できる
かもしれません。 そして多分,あなたはその
2 ルート 2 の長さの線分を まるめて 1 点に折り畳むことが
できるでしょう。