数学でいたずら書き: ラセン，フィボナッチ，そして植物であること [第2部/全3部]

たとえば，数学の授業を受けていて， 花びらを落書きするとしましょう。 花びらをたくさん重ねて描きたい時は， 何かのルールにしたがって描くでしょう。 たとえば，すでに描いた花びらの すき間に花びらを追加します。 正確にこの方法でやってみましょう。 たとえばまず花びらを 5 枚描きます。 そして次の層を間に加えます。 しかし次の層は 10 枚追加が必要で, その次の層は 20 枚です。 このやり方の不便なところは， 1 つの層を終わらせないと 次に行けないことです。 退屈するまで同じ方法で花びらを追加 できるルールがあれば理想的です。 ここで自分が植物だと想像しましょう。 できるだけ楽に多く日光を浴びるよう， 葉を広げてつけたいものです。 残念ながら，私は植物なので， 考えることはたくさんできず， あまり賢くありません。 たし算を使った数列や， 幾何学も比例も知りません。 ラセンも長方形も， なめくじネコも描けません。 しかし，多分 1 つの簡単なルール なら従えるかもしれません。 植物学者は植物の 1 枚の葉と 次の葉の間の角度がかなり一定 していることに気がつきました。 では，それを試しましょう。 まず最初の葉を伸ばします。 もし角度を変えなかったなら，次の 葉は最初の葉の真上に出ます。 これはいけません。 なぜなら下の葉の日光を 完全にさえぎるからです。 では 180 度はどうか。 すると次の葉は反対側 に出ます。完璧! しかし 1 回だけです。 また 180 度回すと 3 番目の 葉は最初の葉の真上に出ます。 実は，円の一周を整数で割った角度だと， その数だけ葉を出すと葉が重なります。 そして落書きと違って， 植物は自分が何をしたか見れないので， やり方を変える時が分かりません。 重なりを遅らせるために分数を小さくすると， 始まりは詰まってしまう上，残り のスペースが全部無駄になり， 完全に悲惨です。 もしかしたら，他の分数ならうまく行くかも。 葉を星形のパターンで 生やすようなもの。 この方法は重なり合うまで 少し時間があります。 そして葉もしばらくはより 均一な間隔で出せます。 でももし 決して葉が完全には重なら ない分数だったらどうでしょうか? どんな有理数の分数でも， 最終的には重なります。 しかしもし，無理数だったら? 無理数とは，整数の比 としては表わせない数です。 もしも一番強い無理数を 使ったらどうでしょうか? 無理数が強い弱いは変だと思うのなら， あなたは数論の研究者に 向いているかもしれません。 あなたが数論研究者なら， phi が最も強い無理数 だと言うでしょう。 それは整数の中で 1 が最も 強い整数だと言うようなものです。 または完全に無意味と言うかもしれません。 とにかく phi です。 1 より大きく 2 より小さく， 2 分の 3 より大きく， 3 分の 5 より小さく 5 分の 8 より大きく， 8 分の 13 は大きすぎ， 13 分の 21 はちょっと小さすぎます。 21分の 34 はもっと近いけど， 大きすぎる，などなど。 隣り合うフィボナッチ数の ペアを使って比を作ると， 数が大きくなるにつれ phi にどんどん近づきます。 これらは前の正方形の 1 辺の長さの数でした。 では数論研究者はやめて， また植物になりましょう。 どこかに最初の葉を出し， 2 番目の葉は，円の phi 分の 1 の角度で出します。 左回りか右回りかによりますが， だいたい 225.5° か 137.5° です。 よし，2 番目の葉は最初 の葉からかなり遠くに出て， 日光を受けるスペースはたくさんです。 その次の葉も円の phi 分の 1 に 当たる角度離して出します。 これを何度も何度もくり返します。 新しい葉が古い葉の間のスペース から出てくるのが見えるでしょう。 しかし決して等間隔にはなりません。 すると新しい層を作らずに，いつも もう 1 枚の葉が加わります。 これはとても実際的で， 植物のあなたならこうしたいでしょう。 これは豆のさやや花びらにも十分 なスペースを与える妙案です。 植物として，この方式に沿うと， 有利なことが多いでしょう。 でもしかしラセンはどこから? 同じ方法で松かさの いたずら書きをしましょう ところで，自分用の phi 角度子 (angle-atron) を作りましょう。 まずノートの角を折ります。 こちらが 45° でこの 90° をたすと，135° です。 これは 137.5° にかなり近いです。 慎重に 2， 3 度角度を増やして， 切り離すと，phi 角度子ができました。 新しい松かさの鱗片を phi 角あけて加えます。 毎回少しずつ離して描きます。 角度子に離れた距離の目盛りで 記録すれば間違いません。 ほら，自然にラセンになります。 腕の数を数えると，5 と 8 です。 なぜラセンになるのか， なぜいつも Phi ボナッチ数 になるのか不思議なら， また数論研究者か，幾何学者 か何かに戻りましょう。 ここでちょっとした直感ですが， 花を描く簡単な方法の 1 つは， ある枚数の花びら，たとえば 5 枚から始めることです。 一周したら，次の層を加えます。 最初の花びらと近いですが， ちょっと大きくします。 毎回 5 枚ずつ加えると， 腕が 5 本のラセンができます。 では phi に戻りましょう。 一周する前に花びら を 3 枚つけます。 花びらの幅が十分大きければ， また花びらを 3 枚加えると 最初の層に重なります。 やせた花びらで描き始めると， こんどは 1 周しても，それ 程重なり合わないので， 2 周で花びらを 8 枚描けます。 これでやっと重なり合うように なって，ラセンが見えます。 今回腕は 8 本と 13 本になりました。 これらどの植物でも，ラセンは 物理的には存在しません。 植物を良く見ると，そういう パターンが見える ということに過ぎません。 素敵なフィボナッチ数個の ラセンを描くために， 植物がしているのは毎回新しい部分を 137.5° 度で加えるだけです。 すると後は自動で出てきます。 これがフィボナッチ数列が 多くのものに潜んでいる理由で， これらが何かという話，というよりも これは数学の話です。 これこそが数学でしょう。 単純なルールで複雑な結果を導く。 プロセスが簡単すぎて， 植物でもできるのに， 身の回りにこんなに素晴らしい 構造を作り出します。 ちょうど，少数のシンプルな公準が 信じられないほど強力な 幾何学を作るようなものです。 どんな植物でもこうできると 仮定していますが， あなたが角度を測れば， 植物がどうにかそうしている ことがわかるでしょう。 植物は角度子を持っていませんが， 長い世代を生きてきて， 多くの経験を積んでおり， 多分そうしてこういうものが 生き残ったのでしょう。 それでいつもラセンがみつかります。 このアーティチョークも 5 と 8 。 この松かさも 5 と 8。 このカリフラワーだって 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7... あれ？ とにかく 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7... は？ そして 1, 2, 3, 4? これらを突然変異として無視するのは簡単です。 しかし，普通でないからといって， 無視すべきということはありません。 4? 7? 11? この数はどういう 意味なのでしょうか? もしかして，本当は私が考えて いたほど簡単でないのかも。 パート 2 終わり。前はパート1，次はパート3。