数学でいたずら書き:ラセン，フィボナッチ，そして植物であること [第1部/全3部]

たとえば数学の授業で， 先生が何を言っているかわからないときは， いたずら書きにいい時間です。 今日はちょっとラセン渦巻き の気分です。 それに今日は教室が足りなくて 数学の授業が第3温室になりました。 植物だらけ。 とにかく,あなたはラセンには 3 種類 あると適当に決めました。 ラセンがまわる時，一定の距離のもの, だんだん狭くなって閉じるもの， そしてだんだん広くなる ものの 3 つです。 最初のものは，ページを線で 一杯にするのにいいです。 ぐるぐる巻きのヘビにもいいです。 しかし，ゆがんだラセンから始めても， だんだん丸くなります。 多分，異なる 2 つの数の両方に 同じ数を繰り返したすと その比が 1 に近づくことに 関係あるんでしょう。 でもでっぱりを誇張して， もっとゆがませると， だまし絵ができます。 ところで，2 番目のラセンの どこがいいかはわかりません。 多分，丸くなった猫を 描くのにいいのかも。 この種のラセンが役立たずと思われない ように，そういう猫を発明しました。 しかし，3 番目のラセンは 何にでもいけます。 カタツムリ，オウムガイ， ゾウの丸まった鼻も描けます。 羊の角，シダの葉，内耳の蝸牛， 耳自体も描けます。 他のラセンはこのラセンの すごさに嫉妬するでしょう。 もっとナメクジ猫を描きますか 完璧なラセンを描く方法ですが， 1 個の正方形から始めて，隣に 同じ高さの正方形を描きます。 次の正方形はその横に，高さを そろえると一辺の長さが 2 です。 その次の正方形の辺の長さは 3 です。 全体はいつも長方形です。 ラセンの順に，どんどん大きな 正方形を加えます。 この正方形の辺の長さは, 1,2,3... 13 です。 次は21。 こうしたら,それぞれの正方形の 1つの角から反対側の角へと 曲線を描きます。 滑かなラセンにするには， あわてて対角線を引かないように。 さて，松かさのラセンみたいな パターンを見て， 「これは本当のラセンかな?」と 思ったことはありませんか? なぜ松かさがここにあるのか? 温室だからでしょう。 とにかくラセンがあって， そして 1 つだけではありません。 ほらここに，1,2,3... 8本あります。 別の方向にも 1,2,3... 13本あります。 どこかで聞いた数? 8 と13 は フィボナッチ数列の数で， 1 と 1 から始めて， 1 ⁺ 1 = 2, 1 ⁺ 2 = 3, 2 ⁺ 3 = 5， 3 + 5 = 8, 5 + 8 = 13 と 前の 2 つの数をたして作る数列です。 1 + 1 から始めず，0 + 1 から 始めるべきと言う人もいます。 すると，0 + 1 = 1,1 + 1 = 2, 1 + 2 = 3 と後は同じです。 1 + 0 から始めてもできますね。 これもうまく行きます。 もっと戻って，-1 からでも 悪くないでしょう。 とにかく,フィボナッチ数列が好きなら, その数列を憶えたでしょう。 1,1,2,3,5 ときて 1 桁の数は 8 で終わる。 次は 13，不吉… そして 2 桁の数は 21, 34, 55, 89。 誰かの歳がフィボナッチ 数列の数になったら, 「ハッピー・フィブ・バースデイ!」 です。 そして，144, 233, 377 は ぞろ目で面白いのですが, 610 でパターンが崩れます。 その次 987 は素敵です。 まだまだ続きますよ。 とにかく，このいい匂いの松かさに ラメ入りのペンでラセンを描きます。 数学の授業中ですが,いいでしょう。 ラセンの数は 5 本と 8 本。3 本と 5 本。 また 3 本と 5 本ですね。5 と 8。 これは 8 と 13 です。 これはフィボナッチの松かさですが， 全部がそうでしょうか? 何がどうなっているのでしょう? これはちょっと変なので， 違うかもしれません。 上から数えると 5 と 8。 下から数えると 8 と 13。 数学的にリアルな松かさを描きたい時は, まず，5 本のラセンを描いて， 別の方向に 8 本のラセンを描きます。 私は描きやすいように，始点と終点に 点を打ってから腕を描きます。 8本を1つの方向に， 5本を別の方向に。 そして,鱗片を塗ります。 松かさの中にはフィボナッチ数 があります。 しかし他のパイン (松かさは英語で Pine cone) にもフィボナッチ数は隠れています。 このラセンを数えましょう。 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8本 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13本です。 葉を数えるのは難しいですが, これもやはりフィボナッチ数 のラセンです。 こうしたほとんど垂直なタイトな ラセンも調べましょう。 1,2,3,4,5,6,7,8, ..., 20, 21本です。 フィボナッチ数ですね。 この松かさには第3のラセンが ありますか? もちろん。こんな風に下がります 1, 2, 3, 4, 5, ...18, 19, 20, 21本ですね。 これはほんの例に過ぎません。 道ばたで見つけたこれはどうかな? これは何ですかね。 多分パインの一種でしょう。 5 と 8。 この陰謀説がどこまで 行くのか調べましょう。 他のラセンにも (フィボナッチ数が) 隠れているか? これらアーティチョークも 5 と 8 です。 このサボテンもそうです。 このオレンジカリフラワーも 5 と 8。 この緑のカリフラワーも 5 と 8 です。 あれ，おや，いや， やっぱり 5 と 8 です。 多分植物は単にこの数が好きで, フィボナッチ数は関係無いかも。どうかな。 もっと大きな数を調べましょう。 花がいります。 この花は 13 と 21 でしょう。 このデイジーは難しいですが 21 と 34 です。 もっと大きな花はどうですか。 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 22, 23, 24, 25, 26, 27, 28, 29, 30, 31, 32, 33, 34本です。 それから1, 2, 3, 4, 5, ... 53, 54, 55本です。 これはたまたま手元にあった花で フィボナッチ数だった花だけを 見せているのではありません。 ぜひ，何かラセンが見える花を， 自分自身で数えてみてください。 茎から出た葉にもフィボナッチ 数が隠れています。 この芽キャベツは，きれいで おいしい 3 と 5 が隠れています。 フィボナッチ数は,このバラの花弁にも隠れており,そのフィボ ナッチ数は 144 にもなることがあります そのフィボナッチ数は 144 にもなることがあります。 この話は何となく深くて 不思議な感じですが, フィボナッチ数列とラセンの 素敵なところは, 深淵で複雑で神秘的で難しい数学の よくわからない理由で どこにでも出てくるものでは 「ない」のです。 これらの数は得に不思議で ないことを見ていきましょう。 実はこの数でない方が奇妙なのです。 素敵なことに，このとても 入り組んだパターンは まったく単純なことから始まります。 パート 1 終わり。 次はパート2。 フレー!