数学でいたずら書き: ラセン，フィボナッチ，そして植物であること [第3部/全3部]

たとえば数学の授業で，先生を無視して フィボナッチのラセンをいたずら描き しながら，緑を片付けましょう。 ただ，先生が間違って興味 ある話を始めたので， 最初の正方形の数が多すぎた ことに気がつきました。 それを消しすぎた時，先生は また退屈な話に戻りました。 それならこれを使って ラセンを描きましょう。 3 かける 3 の正方形を作ります。 これは 4 かける 4 で，7，11 と続きます。 これも正方形のラセンです。 この数は，1, 3, 4, 7, 11, 18 です。 フィボナッチ数列に似てますね。 1 たす 3 は 4， 3 たす 4 は 7 のように続きます。 または，2 たす 1 や，マイナス 1 たす 2 から始まります。 どちらにしても，完全に良い数列です。 そしてこれはフィボナッチに似ています。 続く数の比も phi に近付きます。 .よし。たくさんの植物に フィボナッチのラセンがあります。 しかしどうやってそうしているのかは 例外からも学べます。 この松かさは 7 と 11 のラセンがあり， ルーカス数かもしれません。 フィボナッチ数とルーカス数は関係があり， 説明がつきそうです。 植物がフィボナッチ数を 持つことの理論の 1 つは 新しい部分がいつも円の phi 分の 1 で成長することです。 ルーカス数の角度は何でしょうか? この松かさでは，鱗片は前の ものから約 100 度で出ています。 ルーカス角度子が必要ですね。 90 度子は簡単です。 その 3 分の 1 は 30 度で， その 3 分の 1 が 10 度です。 これです。これを使うと，ルーカス数の 植物のラセンができます。 これはルーカスラセンを 作る簡単な方法です。 もし植物が角度子を隠し 持っているなら，これでしょう。 しかし，100 は 137.5 とはかなり違います。 もし植物がどうにかして 角度を測っているなら， 円の phi 分の 1 に近い間違い がみつかるでしょうけど， 急に 100 まで飛ぶのは変です。 違う種類の植物なら違う 角度も持ちそうですが 同じ木の 2 つの松かさがそうでしょうか? 同じカリフラワーの 2 つのラセンが? そして例外はこれだけではありません。 多くの植物はラセンを持ちません。 葉がたがい違いです。 たがい違いの葉は180 度ずつでるので， Phi ともルーカスの角度とも全然違います。 でもこれらはまったく違う 成長のパターンをもつので 違う種類の植物だからと 言えるかもしれません。 しかし，これらの違いが実は 1 つ の単純な理由で起きるなら， もっと素敵だと思いませんか? これらの違いは，植物がこの角度や フィボナッチ数を持つ良い手掛かりです。 これは何か他のプロセスの結果で， 太陽が真上にある時に 光を一番受けるための 数学的な最適化ではなかったら? 太陽は真上にばかりはないし， 植物はいつも真っ直ぐではありません。 するとどうなっているのでしょうか? よし，観察しましょう。 それは科学っぽいですね。 植物の先を拡大すると， 成長する部分があり， これは分裂組織と呼ばれます。 ここは植物の欠けらが 生まれる所です。 巨大な植物も最初はこの 分裂組織から分かれ出て， 真ん中の方が新しいものです。 成長するにつれ，欠けらはこの 分裂組織から押し出されます。 でも全てはここから始まります。 重要なことは，科学者が 植物の欠けらが押し出される 様子を見たことです。 分裂組織からだけではなくて， 互いも離れていきます。 数人の物理学者が 磁気を帯びた水滴を 油を塗った皿に落として どうなるか試しました。 その水滴も植物の欠けら のように，互いに押しあい， 皿の端にひかれました。 ちょうど植物の欠けらが中心 から押し出しあうように。 最初の 2 つは互いに 反対に向かいます。 しかし 3 番目は両方と反発し， より最近の近い方からより 強く押しやられます。 それぞれの水滴は前の水滴に対して 離れている Phi の角度になるでしょう。 すると結局水滴は フィボナッチのラセンを作ります。 つまりフィボナッチのラセンになるためには， 欠けらが互いに押し合い さえすればいいのです。 私たちは全部は知りませんが， それでもわかっていることは， 植物の欠けらを成長 させるホルモンがあって， 欠けらは自分の周りの ホルモンを使うことです。 すると離れたところにホルモンが残り， その方向に成長します。 これで植物の欠けらができた後は， 分裂組織から離れていきます。 一方，分裂組織は新しい 植物の欠けらを作り， それはあまり密になって いない方向に成長します。 これで欠けらはよりスペースのある 方向へと自動で移動，成長します。 そしてひとたびあるパターンができると， それをやめるのは難しいです。 なぜなら，この植物の欠けらは ホルモンのある空いたスペースでも ない限り，前の欠けらの後を追い， 好きにさまよったりはしないからです。 しかしたとえホルモンのある 空いたスペースがあっても， その近くの全部の欠けらが 殺到して空きを埋めます。 数学者やプログラマーは それぞれシミュレーションをして 同じことを発見しました。 新しいかけらが広い場所にでてくるのは， 植物が角度を知っているからではなく， そこにホルモンがあるからです。 一度それが始まると，自動で それを続けるようになります。 これらの花のかけらは皆，近くの 一番広い所で成長します。 後は automathicallyです。 (訳注: 自動的と数学的のもじり) するとこれらの植物たちが フィボナッチ数を見せるのは 不思議ではありません。 見せない方が不思議なのです。 こうなるはずなのです。 この理論の良いところは， ルーカスの松かさも説明できるところです。 もし分裂組織で始めにちょっと だけ違うことが起きると， 新しいかけらが一番広いところに行き， 少し違った，でも安定したパターンができます。 それが 100 度のパターンです。 互い違いの葉 (のパター0ン) もこれで説明できます。 もし葉が成長のホルモンの場所に比べて， 十分に離れていると，これらの 葉はもう互いに反発しません。 すると，これらの葉は上下から 一番遠い所に出て， その場合 180 度が最適です。 もし，葉が対で反対側 に一度出ると， それらの葉から一番離れる対は， 90 度ずつ離れたものです。 もっと詳しくみると，もっと変わった パターンにも気がつくでしょう。 この何だかわからないものの首にある点は 14 と 22 のラセンで， それはルーカス数の倍です。 この松かさは 6 と 10， フィボナッチ数の倍です。 するとこの松かさが 松かさらしくなる方法は? デイジーや芽キャベツとの共通点は? 数が共通するのはなく，どうやって 成長するかが共通なのです。 このパターンは単に役に立つとか， 単に美しいだけでもなく， 必然なのです。 これが科学と数学が 楽しい理由です。 とても真実とは思えないことを発見し， それから，それが，そうでなくては いけないこと理解する。 ラセンの理解をここまで深めるには， 数学者，物理学者， 植物学者，生化学者たちが 皆で協力する必要がありました。 私たちも学びました。 しかし，まだまだ謎は隠されています。 多分，数学の授業でいたずら 描きを続けていけば， それがわかるかもしれませんね。 （終わり。これはパート 3 でした。 パート 2 が一つ前です。）