メインのコンテンツ
楽しさと栄光のための数学
フラクタル分数
簡単な代数を使ってかっこよく見えるフラクタル方程式を作る方法。さらなるアバカバダバカバ(訳注: abacabadabacaba は回文かつ入れ子になっています): http://www.abacaba.org/ and http://books.google.com/books?id=QpPlxwSa8akC&pg=PA60&lpg=PA60&dq=abacabadabacaba+%22martin+gardner%22&source=bl&ots=92eAyvrZGV&sig=J2uvF2DAyn9kY8nSarSy-XIXW74&hl=en&sa=X&ei=Np45T4K9GYixiQK92NG2Bg&ved=0CCEQ6AEwAA#v=onepage&q&f=false. Vi Hart により作成されました。
ビデオのトランスクリプト
オーケー,フラクタル分数。
5 は 5 に等しい。 ちょっと我慢して下さい。では,この
5 を 5 分の 1 で書きましょう。 正確には 5 分の 25 です。 では,これを 2 つの部分に分けます。 たとえば,5 分の 17 たす
5 分の 8 です。 でも 1 たす 24 でも
何でもかまいません。 オーケー,これからが
楽しい部分です。 この下の 5 は,どの 5 とも
同じ位 5 なので, この全体が 5 に等しいです。 ですから,この 5 を
少し複雑に見えますが, やっぱり 5 のこれと置きかえます。
そうしてもやっぱり 5 です。 こちらも置きかえます。 おや,そうするとまた
5 がありますので, もう一回置き換え,
もう一回,もう一回, そしてこの全体を誰かに見せると, おぉ,これが 5 ですか,となるでしょう。 何かを本来よりも複雑に
見せると混乱しますが, 繊細な芸術であり,
代数の真の心です。 ルールに従う限り,あなたは
数を一日中こんなふうに シャッフルすることができて,
いつも上手くいきます。 オーケー,もう 1 つあります。 たとえばあなたが 7 で
何かしたいとしましょう。 7 割る 7 が使えます。
それは 1 です。 するとあと 6 がいります。
これは単純にたしましょう。 すると,7 が等しいのは,
7 割る 7 たす 6 です。 これでまた 7 を 1 個
置きかえることができます。 いや,両方とも 7 は
7 割る 7 たす 6 これ割る 7 割る 7 たす 6,
たす 6 に等しいです。 これをもう一度全部書く代わりに, これをこんなふうに
拡張しましょう。こうです。 これは 7 に等しいです。 そしてこんなふうに
無限に拡張できます。 7 がある意味消えますが, しかし,最初にこれが
何かはどうでも良いことです。 これら全部は 3 とか 10 億でも パイの i 乗でも同じものなら
何でもかまいません。 そしてこうなってもこの分子と
この分母が等しい限り, この分数は 1 に等しいので,
これ全部は 7 に等しいです。 あなたが代数で何を考えても 少なくともこれは 1 たす 6 が 7 であるという礼儀を
毎回守っています。 この最初の分数のフラクタル
構造は,2 進木のようです。 それぞれの層は 1 つ上の
層の 2 倍の項を持ち, 指数関数的に増加します。 そしてこれもそうです。
でも横方向に。 しかし,十分すごいことは, これは明らかにアバカバ
ダバカバのパターンで, それはフラクタルのパターンです。 それは実はいろんな
場所でみつかります。 しかしそれは今は置いておきます。 ただ,もしあなたが
この一番中の層を A, 次を B,次を C,次を D として, 上から下に読もうとすると,
アバカバ ダバカバになります もしあなたの分数が無限なら, アバカバダバカバ
イ アバカバダバカバ ファ バカバダバカバ
イ アバカバダバカバ ガバカバダバカバ
のように続きます。 とにかくばかげた代数の先生は, あなたに代数とは方程式を
解くことだと教えるでしょう。 まるで人生の目的は x を片側に, それ以外をもう片方に
分けることだというように, まるであなたの体の全部の繊維が x が両辺にあると文句を叫ば
なくてはいけないというように。 しかしあなたはその x を それが等しいものと置きかえ, それを繰り返し繰り返し
することができます。 その途中あなたの方程式は
いつでも真のままです。 こちら側の x は消えましたか? 特別な数と等式を何でも使って 方程式をもっと混乱するように
することができます。 ただし,x に 0 を
忍びこませればです。 あなたは残りがどんなものか
知る必要すらありません。 または,分数の上下が同じだと
わかっていれば,1 になります。 これらの 6 は 6 である必要もなく, 3 でもいいし, 8 ルート 13
でもかまいません。 そしてそれぞれの層を違うように
7, 8, 9, 10, 11 ともできます。 これはとても混乱してるように
見え,とても素敵です。 それであなたはこれらの
1 つを実際に解こうとします。 たとえばこのパズルから
始めましょう。 1 割る (1 たす 1) で でもそれぞれの 1 は (1 たす 1)
の上にあり,と無限に続きます。 これを手で解くこともできるでしょう。 これは何かに収束するかも。 1 割る (1 たす 1) は 2 分の 1 で, 次の層は 2 分の 1 がたされて 1, これは 1 割る 1 で 1。 3 層目は 2 分に 1 に戻る。 おや,整数数の層は 1 か 2 分の
1 のいずれかになります。 するとこれは何になることが
できるのでしょうか。 そうですね。代数を試す
ことができるでしょう。 これ全体が x に等しいとします。 x を左辺に分離して, 残りは右辺に置いても, 実は何の解決にもなりません。
あの数学の先生! しかし,もしこれ全体が x だとすると, これ全部も同じ x です。 するとあなたはこれを 1 割る
(x たす x) と書くことができて, 完璧に上手くいきます。 x を 1 割る (x たす x) に置き
変えることでこれを再現でき, この x が方程式の両方に
間違ってあることで, これを解くことができ, この数を元のつまらない
方法で書くことができます。 最後のこの分数は注意の
サインがついています。 たとえば,何かが 1 に等しい時, 1 を 2 分の 1 たす
2 分の 1 に分けます。 これらの 1 はまた 2 分の 1
たす 2 分の 1 に置きかえられ, 何回やっても上手くいきます。 しかし,もしこれを無限回
するとどうなるか? 変なことに,2 の層のどこをみても 何かに収束するのならば,
いつも分数が 2 になります。 すると無限でもそれぞれの
分数が 2 だと考えると, 1 が 4 に等しい? これだけを見てそれを
逆に見ようとすると, こちら全体は x に等しく,
これ全体も x に等しい, すると,それは (x たす x) 割る 2 で, それを解こうとすると,問題です。 何かの半分たす何かの
半分はいつでも何かに等しい。 x は何でもかまいません。 するとこれは何でも良く,
定義されません。 または,こんなふうに
全部を 1 にしてみると, x は (x たす x) 割る 1 で,
x は x たす x に等しい。 代数の範囲ではこれは矛盾します。 代数ではこれは定義されません。 または知っているうちで 2 つのもの, 無限と 0 がこの状況に
あてはまります。 これはつまり多分,どちらかか両方, あるいは何もあてはまらない。
わかりません。 多分,分子がどこかで迷ってしまい, 何か興味あることになったのか。 ところが,面白いことに
分母が無限で迷った時には, これをまだ解くことが
できて 5 に戻ります。 これが私には代数の
クールな所です。 学校の教科書にあるような
行儀のよい問題と違って, 全部の問題が解けるわけではなく, 答えがあるか無いかいつも
明らかとは限りません。 変なことはいつも起こっていて, 一番重要なことは,代数は古代
の死んだものではないことです。 x がどんな x かというような
最もシンプルな考えのように, あなたができることで 誰もまだやったことのないことが
あることです。