フラクタル分数

オーケー，フラクタル分数。 5 は 5 に等しい。 ちょっと我慢して下さい。では，この 5 を 5 分の 1 で書きましょう。 正確には 5 分の 25 です。 では，これを 2 つの部分に分けます。 たとえば，5 分の 17 たす 5 分の 8 です。 でも 1 たす 24 でも 何でもかまいません。 オーケー，これからが 楽しい部分です。 この下の 5 は，どの 5 とも 同じ位 5 なので， この全体が 5 に等しいです。 ですから，この 5 を 少し複雑に見えますが， やっぱり 5 のこれと置きかえます。 そうしてもやっぱり 5 です。 こちらも置きかえます。 おや，そうするとまた 5 がありますので， もう一回置き換え， もう一回，もう一回， そしてこの全体を誰かに見せると， おぉ，これが 5 ですか，となるでしょう。 何かを本来よりも複雑に 見せると混乱しますが， 繊細な芸術であり， 代数の真の心です。 ルールに従う限り，あなたは 数を一日中こんなふうに シャッフルすることができて， いつも上手くいきます。 オーケー，もう 1 つあります。 たとえばあなたが 7 で 何かしたいとしましょう。 7 割る 7 が使えます。 それは 1 です。 するとあと 6 がいります。 これは単純にたしましょう。 すると，7 が等しいのは， 7 割る 7 たす 6 です。 これでまた 7 を 1 個 置きかえることができます。 いや，両方とも 7 は 7 割る 7 たす 6 これ割る 7 割る 7 たす 6， たす 6 に等しいです。 これをもう一度全部書く代わりに， これをこんなふうに 拡張しましょう。こうです。 これは 7 に等しいです。 そしてこんなふうに 無限に拡張できます。 7 がある意味消えますが， しかし，最初にこれが 何かはどうでも良いことです。 これら全部は 3 とか 10 億でも パイの i 乗でも同じものなら 何でもかまいません。 そしてこうなってもこの分子と この分母が等しい限り， この分数は 1 に等しいので， これ全部は 7 に等しいです。 あなたが代数で何を考えても 少なくともこれは 1 たす 6 が 7 であるという礼儀を 毎回守っています。 この最初の分数のフラクタル 構造は，2 進木のようです。 それぞれの層は 1 つ上の 層の 2 倍の項を持ち， 指数関数的に増加します。 そしてこれもそうです。 でも横方向に。 しかし，十分すごいことは， これは明らかにアバカバ ダバカバのパターンで， それはフラクタルのパターンです。 それは実はいろんな 場所でみつかります。 しかしそれは今は置いておきます。 ただ，もしあなたが この一番中の層を A， 次を B，次を C，次を D として， 上から下に読もうとすると， アバカバ ダバカバになります もしあなたの分数が無限なら， アバカバダバカバ イ アバカバダバカバ ファ バカバダバカバ イ アバカバダバカバ ガバカバダバカバ のように続きます。 とにかくばかげた代数の先生は， あなたに代数とは方程式を 解くことだと教えるでしょう。 まるで人生の目的は x を片側に， それ以外をもう片方に 分けることだというように， まるであなたの体の全部の繊維が x が両辺にあると文句を叫ば なくてはいけないというように。 しかしあなたはその x を それが等しいものと置きかえ， それを繰り返し繰り返し することができます。 その途中あなたの方程式は いつでも真のままです。 こちら側の x は消えましたか? 特別な数と等式を何でも使って 方程式をもっと混乱するように することができます。 ただし，x に 0 を 忍びこませればです。 あなたは残りがどんなものか 知る必要すらありません。 または，分数の上下が同じだと わかっていれば，1 になります。 これらの 6 は 6 である必要もなく， 3 でもいいし， 8 ルート 13 でもかまいません。 そしてそれぞれの層を違うように 7, 8, 9, 10, 11 ともできます。 これはとても混乱してるように 見え，とても素敵です。 それであなたはこれらの 1 つを実際に解こうとします。 たとえばこのパズルから 始めましょう。 1 割る (1 たす 1) で でもそれぞれの 1 は (1 たす 1) の上にあり，と無限に続きます。 これを手で解くこともできるでしょう。 これは何かに収束するかも。 1 割る (1 たす 1) は 2 分の 1 で， 次の層は 2 分の 1 がたされて 1， これは 1 割る 1 で 1。 3 層目は 2 分に 1 に戻る。 おや，整数数の層は 1 か 2 分の 1 のいずれかになります。 するとこれは何になることが できるのでしょうか。 そうですね。代数を試す ことができるでしょう。 これ全体が x に等しいとします。 x を左辺に分離して， 残りは右辺に置いても， 実は何の解決にもなりません。 あの数学の先生! しかし，もしこれ全体が x だとすると， これ全部も同じ x です。 するとあなたはこれを 1 割る (x たす x) と書くことができて， 完璧に上手くいきます。 x を 1 割る (x たす x) に置き 変えることでこれを再現でき， この x が方程式の両方に 間違ってあることで， これを解くことができ， この数を元のつまらない 方法で書くことができます。 最後のこの分数は注意の サインがついています。 たとえば，何かが 1 に等しい時， 1 を 2 分の 1 たす 2 分の 1 に分けます。 これらの 1 はまた 2 分の 1 たす 2 分の 1 に置きかえられ， 何回やっても上手くいきます。 しかし，もしこれを無限回 するとどうなるか? 変なことに，2 の層のどこをみても 何かに収束するのならば， いつも分数が 2 になります。 すると無限でもそれぞれの 分数が 2 だと考えると， 1 が 4 に等しい? これだけを見てそれを 逆に見ようとすると， こちら全体は x に等しく， これ全体も x に等しい， すると，それは (x たす x) 割る 2 で， それを解こうとすると，問題です。 何かの半分たす何かの 半分はいつでも何かに等しい。 x は何でもかまいません。 するとこれは何でも良く， 定義されません。 または，こんなふうに 全部を 1 にしてみると， x は (x たす x) 割る 1 で， x は x たす x に等しい。 代数の範囲ではこれは矛盾します。 代数ではこれは定義されません。 または知っているうちで 2 つのもの， 無限と 0 がこの状況に あてはまります。 これはつまり多分，どちらかか両方， あるいは何もあてはまらない。 わかりません。 多分，分子がどこかで迷ってしまい， 何か興味あることになったのか。 ところが，面白いことに 分母が無限で迷った時には， これをまだ解くことが できて 5 に戻ります。 これが私には代数の クールな所です。 学校の教科書にあるような 行儀のよい問題と違って， 全部の問題が解けるわけではなく， 答えがあるか無いかいつも 明らかとは限りません。 変なことはいつも起こっていて， 一番重要なことは，代数は古代 の死んだものではないことです。 x がどんな x かというような 最もシンプルな考えのように， あなたができることで 誰もまだやったことのないことが あることです。