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ピタゴラスの定理を証明するために 数やファンシーな方程式はいりません。 必要なのは 1 枚の紙だけ。 この定理を証明する方法はいくつもあり, 人々は日々新しい証明を 発明しています。 しかしここで私が見せたいのは 私の大好きな方法で,図で示す代わりに 紙を折ります。 まず必要なのは正方形で, 長方形から作ります。 ステップ 1, 正方形を半分に折り,さらに 半分に折って正方形にし, 対角線に折ります。 ここでは次のステップのために 正方形の対称性を 利用するだけなので,折り目は きっちりしなくても良いですが, 正確さは必要です。 ステップ 2, 紙のへりのある 3 角形の辺に 平行になるような折り目をつけます。 あなたの直角 3 角形は長くでも, 短くてもとんがっていても どんなものでも好きなもので かまいません。 なぜならこれはどんな場合でも 通用する証明だからです。 これを広げると正方形の 中心に正方形があります。 これらの折り線を伸ばし, 折り目をつけると, 4 本の直線が全部辺から 等しい距離にできます。 こうすると全部まったく 同じ直角 3 角形を 多数作ることができます。 ステップ 3,この点から ここまでの線を折ります。 基本的にこの長方形の 対角線をとります。 これで最初の直角 3 角形が できました。 これら 2 つの 3 角形は 同じ形と面積です。 では,これらを短い辺,長い辺, 斜辺と呼びましょう。 90 度回転し,他の 3 角形も折ります。 それらは最初のものと同様です。 もとの紙の残りの 2 辺も同様です。 これらの 4 個の 3 角形を折ると, 素敵な正方形がまたできます。 この面積は? そうですね。 この正方形の辺の長さは これらの 3 角形の斜辺ですから, 面積は斜辺の 2 乗です。 ステップ 4,紙を広げます。 今度は違う 4 個の 3 角形を折ります。 1 本の小さな辺を切って, これらの 2 個の 3 角形を折ります。 このもう一つの 2 個の ものも折ります。 広げた紙の面積ひく 4 個の 3 角形の面積は どの 4 個の 3 角形を あなたが消したとしても同じです。 この面積は何か。 私たちはこれを 2 個の 正方形に分けました。 これは 3 角形の小さな辺を持ち, こちらは,大きな辺を 持つ正方形です。 すると両方の面積をたすと, 小さな辺の 2 乗たす, 大きな辺の 2 乗です。 それがこの面積, 斜辺の 2 乗に等しいです。 もしあなたの 3 角形の大きさをもう少し 抽象的に A, B, C と呼ぶのならば, A の 2 乗たす B の 2 乗は C の 2 乗です。 ではおさらいです。 ステップ 0, 正方形の紙を得る。 よし,ステップ 1,半分に 3 回折る。 ステップ 2, 好きな長さで辺に平行に折り, 折り目を伸ばします。 ステップ 3,正方形の回りで 直角3角形を折ります。 そして斜辺の作る残った 正方形の面積を愛でます。 ステップ 4,折り返した短い辺を切り, 4 個分の直角 3 角形を折り返し, 残った 1 辺の 2 乗ともう 1 辺の 2 乗の和の面積を愛でます。 これで全部です。 もちろん数学者たちは 反対するでしょう。 数学者たちは自分たちで 証明したこと以外, 誰かが言ったことはけして信じません。 ですから私が「これは正方形です」と 言ったことを信じてはいけません。 何通りも考えて, この外側の 3 角形がなんであっても, これはいつも正方形で, 何か特別なひし型,平行四辺形, イルカなどでないことを 自分で納得して下さい。 ただ,これはイルカかもしれません。 その場合,イルカとは何か定義して, これがその定義に 従うかを示しましょう。 また,この辺はそろって いるように見えますが, それはいつもなのか, 厳密にそうなのでしょうか?