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楽しさと栄光のための数学
雪片,星片,そして渦片
紙の雪片の普通でない変形. Vi Hart により作成されました。
ビデオのトランスクリプト
たとえば,今はホリデーの季節で, あなたはお祭り気分で, 幸せであるべきとされていますが, 多分あなたはそういう
タイプじゃないでしょう。 私はこの鋭いものを
物に使いたいです。 あなたは自分のホリデーについての
感情にかかわりなく, ホリデー中に紙のスノーフレーク
(雪片) を作ります。 ものを細かく切ることは 芸術の一種で,あなたは
それを真剣に考えます。 ある人たちは紙のスノーフレークを 紙を半分に折り,
また半分にと何回も折って それから切ります。 しかし紙のスノーフレーク愛好家は 本物のスノーフレークは 6 回対称だと知っています。 これは 4 回対称で, 自然ではけして起きないものです。 そこであなたは本当の方法,
半分に 2 回, それから 3 分の 1 と折ります。 または,半分,3 分の 1,
半分と紙を折ります。 しかし,3 分の 1 で半分,
半分はできません。 なぜなら,それは意味がありません。 しかし,あなたは最初の半分が どんな角度でも
良いことに気がつきます。 そろえる必要などありません。 ある意味不思議なのは,
6 回対称が必要な時には, 12 個の部分に折ることです。 6 個の部分になるように折ると,
3 回対称です。 実は時々スノーフレークはそうなります。 するとこれは許される形です。 時々自然には 12 回対称の
スノーフレークもあり, そうするためにはもう一度折ります。 しかしけっして
4 回対称はありません。 紙を折る問題点はやがて
厚さが邪魔になることです。 厚さは点を非対称にしますが, それをより自然にするかもしれません。 ほとんどの本物のスノーフレークは ゴツゴツして欠陥があります。 普通人はそういうものの写真をとらないし, シェアしないので見えないだけです。 そしてあなたはそういうスノーフレークを 作りたいとも思わないでしょう。 つまり,この角度を
3 分の 1 に折って, この部分をこの下に置き, もしここで辺をそろえると, 少なくとも少し短くなります。 しかしもし 1 つを表に, もう 1 つを裏にという
アコーディオンスタイルで折れば, 3 つの部分は同じになります。 実はこんなふうに半分に
折るのではなく, それぞれの部分を前後にすれば,
さらに良くなります。 または,6 回対称に飽きて, 5 回対称にすることに決めたら, 5 本の対称線が必要です。 それは 10 個の部分になるので, まずは半分に折って, それからこれを 5 分の 2 に
折る必要があります。 分度器か目の子で折って
調整すれば, 5 回対称のスノーフレークです。 実はこの最初の 5 回対称を
折るのが得意なら, 1 回はさみを入れるだけで, この星をすばやく作ることができます。 またはこれのスライスをとれば,
たくさんの星ができ, ファンシーに切れば,
ファンシーな星片になります。 星もホリデーの精神でしょう? そして同じように 7 回
対称もできます。 しかしその時には緊急用の
分度器が必要でしょう。 9 回なら分度器はいりません。 なぜなら 3 分の 1 を
2 回すればいいからです。 もし同じように 5 分の 1 が
できれば10 分の 1 ができます。 それは 5 分の 1 かける
2 分の 1 です。 私はハッピーホリデーとは
言いましたが, どれとは言いませんでした。 バレンタインデーは確実に
冬のホリデーで, 11 は素数なので, また分度器の時間でもう一度
素因数分解をしましょう。 よし,理論的にはどんな
n 回対称もできます。 しかし回転対称はどうでしょうか? それには鏡面対称線がないので,
折り線がありません。 するとそもそもそれに
意味があるのか? スノーフレークの
効率的なデザインとは, 切る線を上手く重ねることです。 そうすることで 1 回
切るだけですみます。 ではこれらの層をちょうど互いに
全部重ねるだけにするような 回転対称のデザインは
どうすればいいのでしょうか? たぶん,回転対称をそろえるために 回転させるというのはそんなに
驚くことではないでしょう。 もし中心を切ってずっと
回転させて巻いて対称を作ると, あるユニークなものになります。 手で正確に回転対称を
描くのは難しいですが, これで私はこの下手な渦の
デザインを対称にできます。 スノーフレークは
まず紙に切れ目をいれて, 錐になるように巻いていきます。 1 回,2 回,またはもっと巻きますが, 大事なことは切れ目を
それ自身とそろえることです。 対称性を考える限り,
この切れ目は存在しません。 私はほどけないようにテープで止め,
それから切るのが好きです。 渦巻きっぽいものが上手くようです。 紙を折ることは切るのに
良い方法ですが, 折り目は対称を作ることを
思いだしましょう。 そこで私は折り目を
ハサミの目印だけとして, そこから非対称に切れば,
ほら,渦巻片です。 星片や渦巻片のためには, 紙を 4 ~ 5 回巻く
必要があります。 何か変ですね。なぜなら私は
これを 1 回と考えましたが, 実は 2 回で,とにかく
平らな紙は 1 回重なります。 とにかくそうしましょう。それから
素敵な渦巻パーティです。 素敵でファンシーな
星片かスノーフレーク, あるいはすごい片を
作ることができます。 もちろんスノーフレークの固定の
パターンを折って切ることから ほんの 1 歩で,
それでパターンは全てです。 もし折ってからメビウスの輪を
作ったらどんなパターンが? それからまず折ってから
球を切ってみたら? すると全てがめちゃくちゃに
なりそうなのでここで止めましょう。