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球片

球を折って切る。ジョージ・ハートによるカードの構成を含むすてきな対称ボール,それはここで学べます(さらに他のものも georgehart.com にあります): http://youtu.be/YBUEYrzMijA マーチン・ガードナーに敬意を表して作られたガードナーボール。これはスコット・キムによりデザインされ,オスカー・バン・デベンターにより作成されました。これについてはここで学ぶことができます: http://youtu.be/rVHXlltXIlI そしてウォルフラムひし形ヘクサコンタヘドロンとかいうものや,その他! Vi Hart により作成されました。

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ビデオのトランスクリプト

前のビデオで私は紙の代わりに 球を折って切るという 冗談を言いましたが 考え直すとそれも良さそうです。 ユークリッド平面上の有限対称群は 楽しいですが,実は 2 つの タイプしかありません。 ある点回りのある数の直線と, ある点回りのある量の回転です。 球のパターンはもっと楽しいです。 そしてたまたま私はこれらの対称群の ほんの少しのファンです。 ほんの少しだけ。 雪片は実は 3 次元です。 この雪片は単に 鏡面線対称なだけではなく, 平面に対しても鏡面対称です。 そしてさらにもう 1 つ鏡面平面があり, 雪片の平らな面を通ります。 なぜなら紙の 1 面はもう 1 面の鏡像だからです。 あなたは雪片が球の中に あるとも想像でき, そうすると鏡面対称線を より簡単にひけます。 さて,もしあなたが 群論を勉強したら, この球は 3 次元の紙の 雪片と同じ対称性を持ち, これを群論でラベルづけできるでしょう。 私がこの球をこれらの線で どう折って切っても 球の上であるという以外は 紙の雪片と同じ対称の 何かになります。 それはめちゃくちゃなので, もう一つの球の上に貼りましょう。 これでどうみても完璧で美しい。 しかしポイントはこれは この雪片と対称ということだけを 考えれば等価ということです。 よし,これは古い正規の 6 線対称雪片ですが, 12 線対称の雪片の絵を 見たことがあります。 どうなっているのでしょう? 時々雪片ができ始めの所で ちょっと変になり, 互いに 30 度だけずれて 2 個の雪片が広がっていきます。 もしこれを 1 個の 平らなものだと考えると, 12 線対称ですが, 3 次元では実はそれは 真ではありません。 層がこうするのです。 それは平面対称ではなく, 左の枝が上に 一方で右の枝の鏡面が上にあります。 するとこれは通常の 6 線対称の雪片と同じです。 対称の 7 番目の平面は どうなのでしょうか? しかしこの平面の片面は もう片面の鏡像ではなく, 余計な対称面はありません。 しかし,これをこの線の回りに 回転させると, もっとクールな対称, 回転対称があります。 もしこれをこの直線に沿って 回転させると同じものになります。 左の枝はまだ上にあります。 もし球の中にそれが 浮かんでいると想像すると, 鏡面対称線を描くことができ, 12 点の回転対称になります。 すると私はこれを折って, 切ることができます。 それから回転中心で渦をまいて, これと同じ雪片木と 同じように球片を切ります。 完璧。他のパターンにするために 球を他の方法で折ることもできます。 OK. こんなふうな ファンシーなものはどうでしょう? ここで必要なのは 対称をみつけてそれを折ることです。 さてここに,立方体があります。 対称面は何でしょう? 対称はここと,ここと,ここと, 他には? こんなふうに斜めはどうでしょうか。 しかし最後には, 全部の折り線が求まって, 1 個の小さな 3 角形の ようなものにするために, これらにそって球を 折る必要があります。 それができれば,それを広げて 立方体と同じ対称の何かになります。 もちろん,あなたは正四面体の 対称のような こともする必要があるでしょう。 本当にそうしたければ, 正 20 面体の対称もできます。 しかし,プラスチックは厚く 不完全で,完全な混乱なので, どうなるのか知る人はいないでしょう。 しかし少なくともあなたは回転対称 などなどを試すことができます。 そして混乱を作り,すぐに空間 そのものを折って切って, 素敵な無限 3 次元の対称群を 得ようとするでしょう。 たとえば,あるモダンな分子が, それを固体の氷の結晶の中に つめこむ時に従うような群です。 そうとは知らないうちにあなたは マルチ次元準結晶学や リー代数か何かの 世界にいるでしょう。 ですから多分このあたりで やめたほうがいいでしょう。