ピタゴラスはどうしたんでしょうか?

オーケー，私はピタゴラスと 彼の暗黒面について 学んでいますが， とても良いです。 多分あなたはピタゴラスの 定理については 聞いたことがあるでしょうが， ピタゴラスがカルトの リーダーだったり， 何千年以上も前に神と取引して 彼の前世を全部 覚えていることとか， 彼が人を殺したとか， とにかくあまりに昔のことです。 彼は豆を恐れました。 豆はとにかく狂っていたか， 何か私が知らないことがありました。 しかし私の話したいのは 殺人の部分です。 ピタゴラスと彼のカルト， ピタゴラス教団は クールな子どものクラブで， 一日中一日中比例について 話をしていました。 彼らは，ヘイ，私は 2x3 の長方形を 定規とコンパスだけで描けるよ。 素敵だろう? とか， やあ皆，私は 2 かける 3 と半分の 箱を持っているとか言います。 クールな子は， 3 と半分は数じゃない， クラブから出ていけと 言ったりします。 そして彼らは単位を 半分の長さにして， それを 4 かける 7 と言うでしょう。 もし箱が 2.718 かける 6.28 であっても， 単位を 1000 分の 1 にすれば， 2718x6280 という 素敵な数になります。 これは単純な比例では ありませんが， 箱はまだ整数比です。 そしてピタゴラスは箱が 豆の箱でなければ幸せです。 私は彼らがどんなふうに数を 考えたかを想像することが 好きです。 多分，あなたは数が 直線だと考えるでしょう。 数は 0 よりも大きい方向と， 逆の負の方向があり， 数の間の数として分数， 有理数がその間を埋めます。 しかしピタゴラスは数を こうは全く考えていませんでした。 数は連続の中の点ではなく， 数はそれぞれ分離した 存在だったのです。 それでもかなり モダンな考えです。 なぜならそれ以前は 数は形容詞で， いつも「何かの」数だったのです。 ピタゴラスの世界では， 7 と 8 の間には数はなく 2 分の 3 という数はありません。 3 と 2 の間の関係は比例関係で， それと 6 対 4 は同じ関係です。 なぜなら数はこの偶数性を 共有するからです。 そのためにこれは 3 対 2 になります。 ピタゴラスの宇宙はこれらの 関係で作られています。 数学とは数の学問ではなく， 数学とは数の間の関係の 学問でした。 しかし人々はピタゴラスがいかに 比例関係を愛していたかを ほめたたえる一方で，彼には 暗黒の一面もありました。 彼がこの比例関係に執着し， それを守るために どれだけのことをしたか， 彼はそのためには人殺しをしたか， そのためには自分の死を望んだか。 その答えですが，彼はかなりの ことをしたようです。 タイムラインの時間です。 数学者は直線が好きです。 ただ文脈が必要です。 今日の学校では定規と コンパスを持ちだすと， 何か幾何学をしようとなるでしょう。 では，2 本の直線を定規と コンパスを使って 90 度で交わるように描きましょう。 これでハッピーな正方形です。 それからたぶん何年もの 数学のクラスにいて， 幾何学は大きな数をたすよりも 難しいと思っているでしょう。 それに 0 は簡単なコンセプトで， 小数も簡単だと 思っているでしょう。 ここが 2012 年現在で， ここがアインシュタイン， オイラー，ニュートン， ダビンチで， 確かにちょっと昔です。 ずっと戻ってアラビア数字が 発明され， フィボナッチが西洋に伝えた ところまで戻りましょう。 それ以前，算術は悪夢のように 難しいものでした。 もしあなたが複数桁の かけ算ができるなら， 昔に戻ってピタゴラスよりも すごいと自慢できるでしょう。 それ以前は，0 というコンセプトは ありませんでした。 この頃にインドで 0 が 発見されました。 もしずっと時間を戻ると，0 年は もちろんありません。 なぜなら 0 がまだ発明されて いなかったからです。 それより前に戻るには，逆に 数えてアリストテレス， ユークリッド，アルキメデス， やっとピタゴラスと， 紀元前 6 年まで戻ります。 重要なのは，算術が あまり上手くなくても かなりクールな数学はできることで， 人々は長い間そうしてきました。 学校では，本当の数学を学ぶ前に， かけ算の表を覚え，放物線を描く 必要があると教わるでしょう。 しかしそれは嘘です。 ピタゴラスの時代には， 変数も方程式も， 式もありませんでした。 今はピタゴラスの定理を a の 2 乗たす b の 2 乗が c の 2 乗と書きますが， それは直角三角形の 斜辺を一辺とする 正方形の面積が， その他の辺を一辺とする 正方形の面積の和に 等しいというものでした。 彼が 2 乗と言うのは，3 角形 につく正方形という意味です。 1 辺の長さが 3 の正方形たす 1 辺の長さが 4 の 正方形の面積が， 斜辺につく 1 辺が 5 の長さの 正方形の面積と同じ， この 2 個の正方形の面積の和は， この 1 辺が 5 の正方形の 面積と同じです。 9 と 16 の正方形を切ると 25 の正方形にちょうどおさまります。 同じように，斜辺の 25 の 正方形を切って， 残りの 2 個の正方形に おさめることができます。 ピタゴラスはこのトリックは どんな直角 3 角形でもでき， それはそれぞれの辺を いくつに分割するか というだけの問題だと考えました。 それは 1 辺ともう 1 辺の間の関係でした。 そして彼はこの写像を みつけたかったのです。 しかし，両方の辺が同じという 一番シンプルなもので もう問題がありました。 両方の正方形が等しい時です。 もし両方の辺の長さが 1 ならば， 斜辺の長さは 2 乗が 2 になる 何かです。 するとそれはルート 2 です。 どうやったらルート 2 を整数の比で 表わすことができるでしょうか? ルート 2 は 1.4 に近い数で， 10 対 14 という整数比で表せますが， しかし，10 の 2 乗たす 10 の 2 乗は 14 の 2 乗ではありません。 そして 1000 対 1414 は もっと近いですが， 1 億対 1億 4142 万 1356 は 確かにもっと違いです。 しかし，それはまだ 厳密には違います。 ではそれは何でしょうか? ピタゴラスは完璧な比を 求めようとしました。 彼はそれがあるはずと考えました。 しかしその間に， ピタゴラスの仲間が ルート 2 は整数比で 表せないと証明しました。 それは無理数で， 小数表記が発明されると， 小数では桁が永遠に 続いてしまいます。 ふつう，代数を知っていれば， この証明はこんなふうに とてもシンプルで美しい形で 与えられます。 しかしピタゴラスは（代数を） 知りませんでした。 そこで私はこの証明を代数なしで 彼らがどう考えたか想像します。 ピタゴラスは整数の比で 「確実にこれが表わせる」と 言ったでしょう。 しかしこちらの人は「表せない」。 「表せる。」「表せない。」「表せる。」 よし，あなたが言うように， 整数比が既約の形であれば， この正方形たすこの正方形は この正方形になる。 それは私が作った ピタゴラスの定理じゃないか。 その通り，この 3 角形は 定理全部はいらない。 簡単にわかるように， それぞれの部分を 4 個の 3 角形に分ければ同じ 面積だとわかります。 でも私は正方形を 3 角形に分けたくない。 単位正方形が欲しいんだ。 するとこんなふうに分けると， この正方形が 単位正方形に分けられて， こちらの正方形が 完全にこちらにあてはまり， 逆も同じ。 しかし，これはあと一歩までは うまくいきますが 正方形を 2 個の等しく 正方形に分けるには， 大きな正方形の方の数が 奇数なら 1 個が余る。 奇数個の正方形から始めれば， 2 個の正方形には等しく分けられない。 その議論には直角 3 角形 すら出てこない。 何がいいたいのかね? 単に 7 のような奇数は 2 つに 等しく分けられないと言うことです。 奇数だけではなく， 奇数の 2 乗も奇数です。 するとこの数がなんであれ， それは 7 ではなく，偶数です。 OK。すると斜辺は偶数でいい。 だから何だね。 もし私が 1 辺が偶数と言うなら， これは既約の形ではない。 どんな比でも両方が偶数ならば それは 2 で割れる。 割れなくなったら， 片方が奇数です。 するとその比がベストです。 確か既約の比について 考えていたはずだが・・・ そうです。もし，既約の比であれば， 少なくとも片方は奇数です。 そして斜辺は 2 で 割りきれるはずなので， その他の辺は奇数である 必要があります。 ではもし私がその他の辺も 偶数でなくてはいけないと 証明したらどうですか? しかし同時に奇数と偶数の 両方のわけがない。 ただし，それが存在しないなら。 あなたが忘れているのは， もしこれが正方形だというのなら， 辺は皆同じ長さなので， こちらが 2 で割れるなら， こちらも 2 で割れるはずです。 そして正方形のこちら側は その他の辺の長さで それは偶数で，そして小さな 正方形の数も偶数です。 いったいその数は 何ですかピタゴラス。 おー兄弟よ，その他の 辺の長さは偶数だ。 すると正方形の辺の 長さは偶数だが， しかし，それは奇数でないといかん。 ただし，そんなものが存在しない限り。 しかしもし両方が偶数ならば， 両方を 2 で割ることができて， また最初に戻る。 しかし，それはもう偶数だった， つまりそれはこれが 偶数であるという意味だ。 それはこれがまた 2 で割れて， そうしたらまた 2 で割って， と無限に続く。 つまり完全な比には たどりつけない。オー，豆。 彼は世界は数の関係で できているという 美しいビジョンを 持っていましたが， しかしそれが整数比でなければ いったい何でしょうか? ピタゴラスはそれでも信じました。 いや，信じようとしましたが， 世界は整数比だというのは 間違いでした。 彼は世界はそうであって ほしいと思いました。 そこでこの証明は秘密にされました。 (誰かが豆をこぼすまで) ある筋によると，この人の 名前はヒッパソスで ピタゴラスは 完璧なはずの世界を だめにした罪で彼をボート からつき落としたとか またはそれは誰か他の人で こんなふうに発見したとか， また他の人がピタゴラス教団に ピタゴラスの死後ずっと 後に殺されたとか， あるいは，彼は単に 追放されたとか。 そしてある人によれば， ピタゴラスの死は， ある人がクールな子どもの クラブに入れなかったことに 怒ったからと言います。 その人によればピタゴラスの家は 放火され，ピタゴラスが逃げると， 彼らは追いかけ，ピタゴラスは ある畑につきました。 それはよりによって豆の畑で， ピタゴラスは豆を恐れて 追跡者の方に向き， 豆を踏むくらいなら敵に 切り殺されたほうがましだ， と言ったそうです。 他の人が言うには，彼は 逃げて飢えて死んだとか， 豆の畑を回り道したので 敵につかまったとか。 人々はピタゴラスが 豆嫌いといいます。 なぜなら彼は豆が消化に 悪いと言ったとか， 悪夢を見るとか， それが男性器に見えると 言ったとか， あるいは彼のクラブにそんなに 数学者がいない方が いいと思ったのか， または，彼は何か比喩的に 豆が嫌いだったとか。 彼とその追随者はベジタリアン だっとかなかったとか， 動物を捧げたとか捧げなかたとか 特定の色の鳥だけ 食べても良かったとか， つまり彼はとても沢山の 規則を持っていて， 単に彼らが何だったのか， どういう意味だったのかが 歴史から失なわれたのかも。 私はピタゴラスにいったい 何が起きたのかについて あなたにカラフルな話を したいのですが， しかしどうしてかそのような 種類の真実は長持ちしません。 私が知っていることは， 2 の平方根は無理数， つまり正方形の一辺の長さと その対角線の長さが 両方とも整数になることは ないということです。 数学的真実は時に耐え， この証明は今でも 2500 年前 でも同じように良いです。 世界には整数だけでは ないことを見るのは 素敵だと思います。 そしてピタゴラスには それを認めるだけの 豆がなかったのは残念です。